高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 一 1 不等式的基本性质同步配套教学案 新人教a版选修4-5

1不等式的基本性质 对应学生用书P11实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小在数轴上，右边的数总比左边的数大(2)如果ab0，则ab；如果ab0，则ab；如果ab0，则ab.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差ab的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号2不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba.(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bcac.(3)如果ab，那么acbc.(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb0，那么anbn(nN，n2)(6)如果ab0，那么(nN，n2)3对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c(或代数式)结果有三种：c0时得同向不等式；c0时得等式；cbd，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而ab0，cd0acbd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除(3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且nN，n2，否则结论不成立而当n取正奇数时可放宽条件，abanbn(n2k1，kN)，ab(n2k1，kN)(4)在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“”与“”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”这要求必须熟记与区别不同性质的条件如ab，ab0，而反之不成立 对应学生用书P1实数大小的比较例1已知x，y均为正数，设m，n，试比较m和n的大小思路点拨解mn，x，y均为正数，x0，y0，xy0，xy0，(xy)20.mn0，即mn.(当xy时，等号成立)比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差变形判断差的符号结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等1已知a，bR，比较a4b4与a3bab3的大小解：因为(a4b4)(a3bab3)a3(ab)b3(ba)(ab)(a3b3)(ab)2(a2abb2)(ab)20(当且仅当ab时，取“”号)所以a4b4a3bab3.2在数轴的正半轴上，A点对应的实数为，B点对应的实数为1，试判别A点在B点的左边，还是在B点的右边？解：因为10，所以1.当且仅当a时取“”，所以当a时，A点在B点左边，当a时，A点与B点重合不等式的证明例2已知ab0，cd0，e.思路点拨可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明证明法一：，ab0，cd0，ba0，cd0.bacd0，c0.同理bd0，(ac)(bd)0.e0.即.法二：.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件3判断下列命题的真假，并简述理由(1)若ab，cd，则acbd；(2)若ab0，cd0，则；(3)若ab，cbd；(4)若ab，则anbn，(nN且n2)解：(1)取a3，b2，c2，d3，即32，23.此时acbd6.因此(1)为假命题(2)因同向不等式不能相除，取a6，b4，c3，d2，此时2.因此(2)为假命题(3)cd，因此(3)为真命题(4)当ab0时，才能成立，取a2，b3，当n为偶数时不成立，因此(4)为假命题4已知a，b，x，y都是正数，且，xy，求证：.证明：因为a，b，x，y都是正数，且.xy，所以，所以.故11，即.利用不等式的性质求范围例3(1)已知：，求的范围(2)已知：1ab1,1a2b3，求a3b的范围思路点拨求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质解(1)，.且.且0.0.即的范围为，0)(2)设a3b1(ab)2(a2b)(12)a(122)b.解得1，2.(ab)，2(a2b).a3b1.即a3b的范围为.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和5若8x10,2y4，则的取值范围是_解析：2y4，.又8x10，25.答案：(2,5)6已知14，21，求2的取值范围解：设2m()n()，又14，212.2的取值范围为 对应学生用书P31已知数轴上两点A，B对应的实数分别为x，y，若xy0，则|x|与|y|对应的点P，Q的位置关系是()AP在Q的左边BP在Q的右边CP，Q两点重合 D不能确定解析：xy|y|0.故P在Q的右边答案：B2下列命题中不正确的是()A若，则abB若ab，cd，则adbcC若ab0，cd0，则D若ab0，acbd，则cd解析：当c0，d0时，才有ab0，acbdcd.答案：D3已知abc，则下列不等式正确的是()Aacbc Bac2bc2Cb(ab)c(ab) D|ac|bc|解析：abcab0(ab)b(ab)c.答案：C4已知a，b，c(0，)，若，则()Acab BbcaCabc Dcba解析：由，可得111，即，又a，b，c(0，)，所以abbcca.由abbc可得ac；由bcca可得ba，于是有cab.答案：A5已知0a1，则a，a2的大小关系是_解析：a0，a.又aa2a(1a)0，aa2.a2a.答案：a2a6给出四个条件：b0a，0ab，a0b，ab0.能得出成立的有_解析：由，得0，0，故可推得y，则实数a，b应满足的条件为_解析：xy，xya2b252aba24a(ab1)2(a2)20.ab10或a20.即ab1或a2.答案：ab1或a28若a0，b0，求证：ab.证明：ab(ab)，(ab)20恒成立，且已知a0，b0，ab0，ab0.0.ab.9若f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围解：f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2bAf(1)Bf(1)，则f(2)3f(1)f(1)2f(1)4,1f(1)2，33f(1)6，5f(1)3f(1)10，5f(2)10.10已知a0，a1.(1)比较下列各组大小a21与aa；a31与a2a；a51与a3a2.(2)探讨在m，nN条件下，amn1与aman的大小关系，并加以证明解：(1)a0，a1，a21(aa)a212a(a1)20.a21aa.a31(a2a)a2(a1)(a1)(a1)(a1)20，a31a2a，a51(a3a2)a3(a21)(a21)(a21)(a31)当a1时，a31，a21，(a21)(a31)0.当0a1时，0a31,0a20.即a51a3a2.(2)根据(1)可探讨，得amn1aman.(证明如下)amn1(aman)am(an1)(1an)