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共点力的平衡 复习目标 1知道在共点力作用下物体平衡的概念 2理解物体在共点力作用下的平衡条件 3能灵活的运用图解法、力的合成与分解法 、正交分解法等多种方法解答平衡问题 4进一步熟悉受力分析的方法，培养学生处 理力学问题的基本技能 复习重点和难点 重点：物体在共点力作用下的平衡概念和平 衡的条件的理解和应用 难点：共点力的平衡条件的应用 一、共点力的平衡 问题1 什么是共点力？举例说明 几个力作用在物体上同一点或力的作用线相 交于同一点，这几个力叫共点力 1共点力 2平衡状态 例题1 在下列运动状态下，物体处于平衡状态的有 （ ） A蹦床运动员上升到最高点时 B摆到最低点时 C相对静止于水平匀速运动的传送带上的货物 D宇航员费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号进入轨道做圆周运动时 【思路点拨】一个物体处于平衡状态的特点是加速度a=0，则有两种 情况：一种是保持静止，另一种是做匀速直线运动“保持”静止与“ 瞬时” 静止是有区别的蹦床运动员上升到最高点时，虽然速度为零 ，但加速度不为零，不属于平衡状态秋千摆到最低点时，是振动 的平衡位置，秋千同时做圆周运动，加速度不为零，也不属于平衡 状态同理D选项也不正确相对静止于水平匀速运动的传送带上的 货物，加速度为零，速度保持不变，可知C选项正确 C 问题2 共点力作用下的平衡状态是什么? （1）静止：物体的速度和加速度等于零的 状态 （2）匀速直线运动：物体的加速度为零， 速度不为零且保持不变的状态 3平衡条件 问题3 我们知道了共点力作用下的平衡状态， 那么共点力的平衡条件又是什么呢？ （1）物体所受合外力为零：F合=0 （2）若采用正交分解法，则平衡条件表 示为Fx=0,Fy=0 问题4受到两个或多个共点力作用而处于平衡 的物体，其受力各有什么特点？ 二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必 定大小相等，方向相反 多力平衡：如果物体受多个力作用处于平衡，其中任何一个力与其余力 的合力大小相等，方向相反 平衡力不一定是性质相同的力，也不是同时产生，同时消失，这点与牛 顿第三定律有区别。 三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任意两 个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反这三个力的作用线必 定在同一平面内，而且必为共点力 二、处理平衡问题的基本方法 问题5 处理平衡问题的基本方法有哪些？ （1）力的平行四边形法则 （2）力的三角形法则 （3）正交分解法 （4）整体法与隔离法 （1）力的平行四边形法则 物体受三个力作用而平衡时，其中任意两个力的合力必定跟第三个 力等大反向可利用力的平行四边形定则，根据正弦定理、余弦定理 或相似三角形等数学知识求解 （2）力的三角形法则 物体受同一平面内三个互不平行的力作用处于平衡时，可以将这三 个力的矢量首尾相接，构成一个矢量三角形；即三个力矢量首尾相接 ，恰好构成三角形，则这三个力的合力必为零 例题2 一细绳一端固定在竖直放置的光滑圆环上的B点 ，另一端系一质量为m的小球于A点，小球穿过圆环， 细绳与竖直方向的夹角为30，如图所示，求细绳的拉 力和环对小球的弹力 【思路点拨】此题是静态平衡 ，可构成一个矢量三角形，小 球受力分析矢量平移力三 角形和几何三角形相似列方 程求解 解答:分析小球受力，如图所示，将重力mg与环的弹力FN合成，其合 力为F合，则F合大小等于FAB，方向与FAB相反将mg、F、F合建立一 矢量三角形，此三角形与几何三角形ABO相似 则： 所以: 所以: 矢量平移 FN F合 mg FN mg 【点评】解三角形的典型思路有三种：分割成直角 三角形（或本来就是直角三角形）；利用正、余弦 定理；利用力学矢量三角形和几何三角形相似本 题利用了第三种思路来求解 （3）正交分解法 将各力分解到x轴上和y轴上，运用两坐标轴上 的合力等于零的条件Fx=0，Fy=0。此方法多用于 三个以上共点力作用下的物体的平衡。 例题3 有一只小虫重为G，不慎跌入一个碗中，如图所 示，碗内壁为一半径为R的球壳的一部分，且其深度为D ，碗与小虫脚间的动摩擦因数为，若小虫可顺利爬出碗 口而不会滑入碗底，则D的最大值为多少?（用G、R表 示D） 【思路点拨】小虫可顺利爬出 碗口的最高点时即D为最大， 那么小虫在碗口的最高点就是 物体的平衡状态，然后对小虫 进行受力分析，建立坐标系求 解 解答：如图所示，设过碗的边缘的半径与竖直方向 的夹角为，小虫爬到碗的边缘时 所受到的支持力为FN ，摩擦力为Ff，沿半径和切线建立直角坐标系Fx和Fy， 由平衡条件有： Fx=GsinFf=0，Fy=GcosFN=0. 又Ff = FN，所以有tan= 由几何关系可知：D=R(1cos) 联立上述各式解得： 问题6 在应用正交分解法解题时，怎样合理选取坐标轴 呢？ 在正常处理问题时，坐标轴的选取一般遵循这样的方式 ： 优先选加速度的方向为坐标轴的方向； 选速度的方向为坐标轴的方向； 使尽可能多的力落在坐标由上； 被分解的力尽可能是已知力，不宜分解待求力。 合理选取坐标轴目的是使问题最大程度的简化。 （4）整体法与隔离法 当多个物体组成的系统处于平衡状态时，系统内 任何一物体均处于平衡状态，因此，对系统可列 平衡方程，也可对任何一物体列平衡方程 整体法隔离法 概念将加速度相同的几个物 体作为一个整体来分析 的方法 将研究对象与周围物体分 隔开的方法 选用原则研究系统外的物体对系 统整体的作用力 研究系统内物体之间的相 互作用力 注意问题受力分析时不要再考虑 系统内物体间的相互作 用 一般隔离受力较少的物体 问题7 在什么情况下选用整体法，什么情况 下使用隔离法呢？ 当只涉及研究系统而不涉及系统内部某些 物体的力和运动时，一般可采用整体法 为了弄清系统（连接体）内某个物体的受 力和运动情况，一般可采用隔离法 例题4：有一个直角支架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向下 ，表面光滑OA上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环 间由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，现将P 环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原 来的平衡状态比较，OA杆对P环的支持力FN和细绳上的拉力FT的变化情 况是（ ） AFN不变，FT变大BFN不变，FT变小 CFN变大，FT变大DFN变大， FT变小 【思路点拨】这是一个连接体平衡问题，常用整 体法和隔离法细绳上的拉力FT是P、Q间的内力 ，用隔离P或 Q的方法分析，由于Q的受力个数较 少，所以应对Q隔离分析，OA杆对P环的支持力 是外力，用整体法分析 解答：对整体：受力如图（a），其中FN是OA杆对 系统的弹力，F为OB杆对系统的支持力，F摩为OA杆 对系统的摩擦力由于系统处 于平衡状态，所以有 ： FN=（m+m）g = 2mg 对Q环：受力如图（b）所示其中FT为细绳对环 的拉力，根据Q环处 于平衡状态可得 FT cos=mg 可解得： 当P环向左移动，细绳 与OB杆的夹角变小 ，cos变大，FT变小所以B选项 是正确的 问题8 在定性的判断绳的拉力FT时我们还能怎么分析呢？ 用极端法分析法，假设P 环在最右端 时，细绳接近于水平；假设P 环在最左 端时，细绳接近竖直时，取这两个极端 来分析。 当P在环移到最左端O 时，FT最小， FT=mg 当环移到细绳接近于水平时，FT 趋于 无穷大，故知，环P 向左移动，FT 变小 问题9 运用整体法和隔离法的基本步骤有哪些？ 整体法 明确研究的系统和运动的全过程； 画出系统整体的受力图和运动全过程的示意图； 选用适当的物理规律列方程求解 隔离法 明确研究对象或过程、状态； 将某个研究对象或某段运动过程、某个状态从 全过程中隔离出来； 画出某状态下的受力图或运动过程示意图； 选用适当的物理规律列方程求解 隔离法和整体法常常需交叉运用，从而优化解题思路和方 法，使解题简捷明快 三、动态平衡、临界与极值问题 1动态平衡问题：通过控制某些物理量，使物体的 状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处 于一系列的平衡状态，在问题的描述中常用“缓慢”等语 言叙述 2临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个 物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现” 或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能” 、“恰好”等语言叙述 3极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题 问题10 解决动态平衡、临界与极值问题的常用方法有 哪些？各有哪些解题步骤？ 方 法步 骤 解 析 法（1）选某一状态对 物体受力分析 （2）将物体受的力按实际 效果分解或正交分解 （3）列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式 （4）根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况 图 解 法（1）选某一状态对 物体受力分析 （2）根据平衡条件画出平行四边形 （3）根据已知量的变化情况，画出平行四边形的边角 变化 （4）确定未知量大小方向的变化 处理平衡问题中的临界问题和极值问题首先是正确受力分 析，弄清临界条件，利用好临界条件列出平衡方程 例题题5：如图所示，一球体置于竖直墙壁AC和板BC之间，不计摩擦 球对墙 的压力为FN1，球对板的压力为FN2，现将板BC缓慢转到水平位置 的过程中，下列说法中，正确的是（ ） AFN1和FN2都增大 BFN1和FN2都减小 CFN1增大，FN2减小 DFN1减小，FN2增大 【思路点拨】由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于静止状 态，因此球始终处于平衡状态确定不变的量，G的大小、方向始终保持不变 ；FN1的方向不变用两种方法来解决本题 方法一：解析法 对球受力分析如右图所示，受重力G、墙 对球的支持力FN1和板对球的支持力FN2 而平衡则F=G FN1=F tan FN2= F /cos 所以FN1=G tan， FN2= G /cos，当板BC逐渐放至 水平的过程中逐渐减小，由上式可知，FN1减小，FN2也 减小。由牛顿第三定律可知: FN1= FN1, FN2= FN2，故选项B正确 方法二：图解法 对球受力分析，受重力G、墙对球的支持 力FN1和板对球的支持力FN2而平衡 将G、FN1、FN2三个矢量组成封闭三角 形，如右图所示当板BC逐渐放至水平 的过程中，FN1的方向不变，大小逐渐 减小，FN2的方向发生变化，大小也逐 渐减小；如图所示，由牛顿第三定律可知： FN1= FN1,FN2= FN2，故选项B正确 例题6：一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B 端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如图所示现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角 逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情 况是（ ） A . FN先减小，后增大 B . FN始终不变 C . F先减小，后增大 D . F始终不变 【思路点拨】此问题特点是动态平衡， B点受三个力，且这三个力中有两个力在变 化，若采用平衡条件列式处理，很难分析出结果若采用力三角形和几何三角形相 似即可解决 解答：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力（大小为F）、BO 杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力（大小为G）的作用，将FN 与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力三角形（如 图中画斜线部分），此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似 三角形对应边 成比例来解如图所示，力三角形与几何三角形OBA 相似，设AO高为H，BO长为 L，绳长 AB为l，则由对应边 成比例可 得： 式中G、H、L均不变，l逐渐变 小，所以可 知FN不变，F逐渐变 小选B 例题7：如图所示，小球质量为 m，两根轻绳BO、CO系好后，将 绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角为60的力 F ，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角为60，则力F大小的取值范围 是什么? 【思路点拨】当力F较小时，OB张 紧，OC有可能松弛，当力F较大时 ，OC张紧，OB有可能松弛由此 可知，OC刚要松弛和OB刚要松弛 是此问题的临界条件 解答：对对小球进行受力分析如图所示，建立直角坐 标，根据物体的平衡条件有： 在水平方向上：FcosFTBcosFTC=0 在竖直方向上：Fsin+FTBsinmg=0 联立得： 绳BO伸直的条件为: 由得： 绳CO伸直的条件为: 由得： 故力F的大小应满 足的条件为： 【点评】本题是平衡中临界条件及极值问题的综合，对于绳是 否被拉直的临界条件为绳的张力大于或等于0，同时注意条件 极值的求解 例题8 如右图所示，重为G的均匀链条，两端用等长 的轻绳连接，挂在等高的地方，轻绳与水平方向成角 试求： （1）绳子的拉力； （2）链条在最低点的相互拉力的大小 【思路点拨】本题中要计算绳子 的拉力，应该整体分析而对于 链条在最低点的拉力的大小，由 于链条的对称性，可将链条在最 低点处分为两半，任取一半作隔 离分析即可 解答：（1）先用整体法，以整个链条为研究对象 ，链条受重力G和两端轻绳 的拉力F1、F2的作用，此 三力必相交于一点O，如图所示 则有：F1cos=F2 cos 即F1 =F2 F1sin+F2 sin=G 解得： F1 =F2 =G/2sin （2）再用隔离法，以链条的左半部分为研究对 象，如图所示，左半部链条受到重力G/2，受到绳 的拉力F1