[工学]数字信号处理 研究生课程Chapter+.ppt

第五章 时 频 分 析 v 5.1 引言 v 5.2 短时傅里叶变换 v 5.3 小波变换 v 5.4 Wigner-Ville分布 v 5.5 Cohen类时频分布 5.1 引 言 v引言 v解析信号 v瞬时频率 v不确定原理 1、引言 vFourier变换和反变换对信号或频谱的全局变换 。对时变信号，由傅立叶变换求出的频率将不 能反映出信号频率随时间变化的特性。 2、解析信号 v对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为： 由此可得解析信号为： 幅值和相位分别为： Hilbert变换器的传输函数为 或者 H(f)=-j sgn(f) 式中 Z(f)=S(f)+jH(f)S(f)=S(f)1+jH(f) 得到 上式表明, 解析信号的频谱只分布在正频率范围，是由实信 号频谱的正的部分乘以2构成的; 负频率部分为0。 3、瞬时频率 v瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频 率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频 率的时变规 律。 4、不确定原理 v对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满 足下面的不等式，即 式中，t表示信号有效持续时间，f表示信号的有效带宽。 对于窗函数，它的时间宽度和在频率域的宽度不能同时任意 小。也就是说, 频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小， 即 不可能存在既是带限又是时限的信号波形。 5.2 短时傅里叶变换 图2.1.3 窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能 注：见胡广书现代信号处理教程图2.1.3 图2.1.4窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能 注：见胡广书现代信号处理教程图2.1.4 v 由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和 带宽不可能同时任意小，窗宽应该 与信号的局域 平稳长度相适应。 v 对时间 分辨率和频率分辨率只能取一个折中， 一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。 v谱图：一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图， 它是一种能量分布函数，不服从线性叠加原理，两 个信号之和的谱图并不等于它们分别的谱图的和， 还存在第三项即交叉项。 5.3 小波变换 v引言 v连续小波变换 1、 引 言 传统的傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局 域变换；加窗傅立叶变换是以固定的滑动窗对信号进行分析， 随着窗函数的滑动，可以表征信号的局域频率特性。 小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分 解，运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的 变化 。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。 短时傅立叶变换在时频平面各处的分辨率都相同，可以用时 频平面的相等网格表示。 注：见张贤达现代信号处理图6.5.1 小波基函数的包络随尺度参数的变化而变化，可以实现时频 平面的多分辨率分析。 注：见张贤达现代信号处理图6.5.2 2、连续小波变换（CWT） 连续小波变换的定义 设x(t)是平方可积函数，记作 ，则x(t)的连续 小波变换可以定义为： 其中，a0 被称为尺度因子，b反映小波函数在变换中的位移 ，(t)称为基小波或“母小波函数”， 是母小波经移位和伸 缩所产生的一组函数，称为小波基函数，或简称小波基。 定义式的说明： （1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为 它是在高斯包络下的负指数函数。 （2）时移b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，即时间中心； （3） 尺度因子a的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度 因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。 （4） 在ab前面所加的因子的作用是保证在不同的尺 度因子下的小波函数的能量保持一致。 设E=|(t)|2 dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位 和伸缩后得到的ab(t)的能量为 连续小波变换的频率域表达式 在定义了连续小波变换后， 对该表达式进行傅里叶变换, 由Parseval定理 如果()是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具 有表征待分析信号S()频域上局部性质的能力。 n 小波变换的特点 小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的 分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。 采用不同的尺度a作处理时，各个(a)的中心频率和带宽都 不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率带 宽”为常数。 当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对 信号作细致观察;当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是 用低频小波对信号作概貌观察。 a取不同值时小波变换对 信号分析的时频区间 注：见胡广书现代信号处理教程图9.2.2 注：见张贤达现代信号处理图6.5.3 信号的“尺度图（scalogram）”定义如下，它也是一种能量 分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，不是简单的随 的能量分布。由于尺度a间接对应频率，故尺度图实质上也 是一种时频分布。 5.4 Wigner-Ville分布(WVD) v时频分布的一般理论 vWVD的定义 引言 v线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT） 使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱 随时间的变化情况； v非线性时频分析方法（时频分布）使用时间 和频率的联合函数描述信号的能量密度随时 间变化的情况。 时频分布的定义 二次叠加原理 设 则 式中： 和 分别称为z1(t)和z2(t)的自时频分布; 和 分 别称为z1(t)对z2(t)和z2(t)对z1(t)的互时频分布。这种互时谱形成了 二次时频分布的交叉项。 对于有p个分量的信号， 二次叠加原理用下式表示： 设 , 则 kl 共有p个自分量， p(p-1)/2个互分量，且交叉项随p的增加按 二次函数增加。 信号分量越多，交叉项就越严重。 Wigner-Ville分布的定义 将kz(t,)称为瞬时自相关函数，那么WVD就是信号瞬时自相 关函数的傅里叶变换。 n z(t)在频率域的WVD分布定义如下: n 对于两个连续时间信号x(t)与y(t), 互WVD定义为 n 同样, 它们在频率域的互WVD定义如下: 5.5 Cohen类时频分布 v模糊函数 vCohen类时频分布 1、 模糊函数 对瞬时相关函数kz(t,)=z(t+/2)z*(t-/2) 关于时间t作傅里叶反 变换，则得到模糊函数的时域定义为 模糊函数在频率域的定义是 n 模糊函数和WVD之间的关系： WVD与模糊函数的二维Fourier变换等价，只是相差一个常数 因子。 WVD是能量化的时频表示，存在时间边缘特性Pz(t)和频率边 缘特性Pz(w)，公式重写如下: 信号的总能量为 模糊函数是相关化的时频表示，将模糊函数的定义重写如下: 频偏边缘特性 时延边缘特性 最大值始终在 平面的原点，且该最大值即是信号的能量， 同一信号AF及WD互项与自项的位置示意图 v WVD中交叉项的抑制： 对信号求模糊函数，由于模糊函数的自项始终在 平 面的原点处，而交叉项远离原点，故可以设计一个二维低 通滤波器，来抑制模糊函数中的交叉项； 对滤波后的模糊函数作二维傅立叶变换，得到信号的维格 纳变换，此时的WVD即是抑制了交叉项的新WVD。 2、