高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3_5 对数函数学案 北师大版必修1

3.5 对数函数第1课时对数函数的概念对数函数ylog2x的图像和性质核心必知1对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数ylogax(a0，a1)叫作对数函数，a叫作对数函数的底数(2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数ylg_x为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数yln_x为自然对数函数2反函数指数函数yax与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数3函数ylog2x的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x1，y0(4)当x1时，y0；当0x1时，y0)，ylogx(x0)，y2log2x，ylogx2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数因此ylog3x(x0)，ylogx(x0)是对数函数，而y2log2x，ylogx2等都不是对数函数2函数ylogax2与y2logax(a0且a1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同3对数函数ylog2x与指数函数y2x有何关系？提示：(1)对数函数ylog2x与指数函数y2x互为反函数，其图像关于直线yx对称；(2)对数函数ylog2x与指数函数y2x的定义域与值域互换，即ylog2x的定义域(0，)是y2x的值域，而ylog2x的值域R恰好是y2x的定义域(3)对数函数ylog2x与指数函数y2x的单调性一致，即都是增函数讲一讲1求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg(x1)log(x1)(164x)尝试解答(1)要使函数有意义，需有即解得0x1，所以函数的定义域为0,1)(2)要使函数有意义，需有即1x2，故所求函数的定义域为(1,2)求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解注意保证真数有意义：如log2x1，有人常由此得到x0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式练一练1求下列函数的定义域(1)y；(2)ylg(x1).解：(1)要使函数有意义，需有即0x2，所求函数的定义域为(0,2(2)要使函数有意义，需有：即1x0且x.所求函数的定义域为.讲一讲2写出下列函数的反函数(1)ylog0.13x；(2)y3.05x.尝试解答(1)ylog0.13x的反函数是y0.13x.(2)y3.05x的反函数是ylog3.05x. 函数ylogax的反函数是yax(a0，a1)；函数yax的反函数是ylogax(a0，a1)练一练2写出下列函数的反函数(1)ylg x；(2)yln x；(3)yx.解：(1)ylg x的反函数为y10x.(2)yln x的反函数为yex.(3)yx的反函数为ylogx.讲一讲3根据函数f(x)log2x的图像和性质解决以下问题(1)若f(a)f(2)，求a的取值范围；(2)ylog2(2x1)在x2,14上的最值尝试解答函数ylog2x的图像如图(1)因为ylog2x是增函数，若f(a)f(2)，即log2alog22，则a2.所以a的取值范围为(2，)(2)2x14，32x127，log23log2(2x1)log227.函数ylog2(2x1)在x2,14上的最小值为log23，最大值为log227.(1)研究函数ylog2x的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质(2)函数ylog2x的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用练一练3(1)比较log2与log2的大小；(2)若log2(2x)0，求x的取值范围解：(1)函数f(x)log2x在(0，)上为增函数，又，log2log2.(2)log2(2x)0即log2(2x)log21，函数ylog2x为增函数，2x1，即x1.x的取值范围为(，1)当m为何值时，关于x的方程|log2(x1)|m无解？有一解？有两解？巧思将关于x的方程解的问题转化为函数y|log2x1|的图像与直线ym的交点个数问题，利用数形结合法求解妙解在同一坐标系，分别作出函数y|log2(x1)|和ym的图像，如图所示由图像得：当m0时，方程有两解1下列函数是对数函数的是()Ayloga(2x)Bylg(10x)Cyloga(x2x) Dyln x解析：选D形如ylogax(a0且a1)的函数为对数函数，所以只有yln x符合此形式2函数ylog2x(1x8)的值域是()AR B0，) C(，3D0,3解析：选Dylog2x在1,8上为增函数，log21ylog28，即y0,33图中所示图像对应的函数可能是()Ay2x By2x的反函数Cy2x Dy2x的反函数解析：选D由yx的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y的图像4若函数f(x)ax(a0，且a1)的反函数图像过点(2，1)，则a的值是_解析：依题意，f(x)的图像过点(1,2)，a12，即a.答案：5函数ylog2(31)的定义域为_，值域为_解析：由已知得x10，得x1，故定义域为1，)又0得3301，312.ylog2(31)log221.值域为1，)答案：1，)1，)6已知对数函数f(x)log2(x3)1.(1)求此对数函数的定义域；(2)若f(a)f(1)，求a的取值范围解：(1)由题意知x30，即x3，函数的定义域为(3，)(2)f(a)log2(a3)1，f(1)log2(13)11，f(x)为增函数，即a1.即a的取值范围是(1，)一、选择题1(重庆高考)函数y的定义域是()A(1，) B1，)C(1,1)(1，) D1,1)(1，)解析：选C由题意得故选C.2函数ylog2|x|的图像大致是()解析：选Aylog2|x|分别作图知A正确3已知函数ylog2x，其反函数yg(x)，则g(x1)的图像是()解析：选C由已知g(x)2x，g(x1)2x1，故选C.4设f(x)是奇函数，当x0时，f(x)log2x，则当x0时，f(x)等于()Alog2x Blog2(x)Clogx2 Dlog2(x)解析：选Dx0，f(x)log2(x)又f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)log2(x)二、填空题5集合Ay|ylog2x，x1，Byyx，x1，则(RA)B_.解析：x1，log2xlog210，Ay|y0而当x1时，0x1，By0y.(RA)By|y0.答案：6若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图像经过点(，a)，则f(x)_.解析：yf(x)的图像过点(，a)，其反函数yax的图像过点(a，)，aa，a，f(x).答案：7若log2alog2b0，则a，b,1的大小关系是_解析：log2alog2b0log2alog2blog21，ylog2x在(0，)上是增函数，ab1.答案：ab18函数f(x)log2x在区间a,2a(a0)上的最大值与最小值之差为_解析：f(x)log2x在区间a,2a上是增函数，f(x)maxf(x)minf(2a)f(a)log22alog2alog221.答案：1三、解答题9求下列函数的定义域(1)ylg(x1)；(2)ylog(x2)(5x)解：(1)要使函数有意义，需即函数的定义域为(1,2)(2)要使函数有意义需即定义域为(2,3)(3,5)10已知函数f(x)log2(x1)，g(x)log2(1x)(1)若函数f(x)的定义域为3,63，求函数f(x)的最值；(2)求使f(x)g(x)0的x的取值范围；(3)判断函数F(x)f(x)g(x)的奇偶性解：(1)由题意知，3x63，4x164，函数ylog2x是增函数，log24log2(x1)log264，2f(x)6，f(x)的最大值为6，最小值为2.(2)f(x)g(x)0f(x)g(x)，即log2(x1)log2(1x)，则得：0x1，x的取值范围为(0,1)(3)要使函数F(x)f(x)g(x)有意义，需即1x1，定义域为(1,1)又F(x)f(x)g(x)log2(1x)log2(1x)log2(1x2)f(x)g(x)F(x)，F(x)为偶函数第2课时对数函数的图像和性质核心必知对数函数的图像和性质底数a10a1图像性质定义域(0，)值域(，)过定点恒过点(1,0)，即x1时，y0有界性当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数问题思考对数函数ylogax(a0，a1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数ylog2x，ylog5x，ylogx，ylogx的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律：(1)上下比较：在直线x1的右侧，a1时，a越大，图像越靠近x轴，0a1时，a越小，图像越靠近x轴(2)左右比较(比较图像与y1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大讲一讲1比较大小(1)log23.4，log28.5; (2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76; (4)log3，log20.8；(5)log712，log812.尝试解答(1)考察对数函数ylog2x，21，它在(0，)上是增函数log23.4log28.5.(2)考察对数函数ylog0.3x，00.31，它在(0，)上是减函数，log0.31.8log0.32.7.(3)log67log661，log76log771，log67log76.(4)log3log310，log20.8log210，log3log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数ylog7x与ylog8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12log8 12.法二：log781.log8120，log712log812.比较对数值大小的类型及相应方法：注意当底数为字母时要分类讨论练一练1比较下列各组中两个值的大小(1)ln 0.3，ln 2；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.141；解：(1)(单调性法)因为yln x在(0，)上是增函数，所以ln 0.3ln 2.(2)(中间量法)因为log23log210，log0.320，所以log23log0.32.(3)(分类讨论)当a1时，函数ylogax在定义域上是增函数，则有logaloga3.141；当0a1时，函数ylogax在定义域上是减函数，则有logaloga3.141.综上所得，当a1时，logaloga3.141；当0a1时，logaloga3.141.(4)(图像法)借助ylogx及ylogx的图像，如图，在(1，)上，ylogx的图像在ylogx图像的下方，log3log3.讲一讲2画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)ylog3(x2)；(2)y|logx|.尝试解答(1)函数ylog3(x2)的图像可看作把函数ylog3x的图像向右平移2个单位得到的，如图.其定义域为(2，)，值域为R，在区间(2，)上是增加的；(2)y|logx|其图像如图.其定义域为(0，)，值域为0，)，在(0,1上是减少的，在1，)上是增加的把例2(2)变为y，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性解：y其图像如图所示其定义域为x|x0，为偶函数在(，0)为增加的，在(0，)上为减少的 (1)与对数函数有关的一些对数型函数，如ylogaxk，yloga|x|，y|logaxk|等，其图像可由ylogax的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解练一练2已知函数f(x)|log2(x1)|.(1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f(x)k有两解，求实数k的取值范围解：(1)函数y|log2(x1)|的图像如图由图像知，其值域为0，)，单调减区间是(1,0，单调增区间是0，)(2)由(1)的图像知，k0即可讲一讲3已知f(x)loga(1x)，g(x)loga(1x)，其中a0，a1.(1)求函数f(x)g(x)的定义域；(2)判断函数f(x)g(x)的奇偶性，并予以证明；(3)求使f(x)g(x)0的x的取值范围尝试解答(1)要使函数f(x)g(x)有意义，需有解得1x1，所以f(x)g(x)的定义域为(1,1)(2)任取x(1,1)，则x(1,1)f(x)g(x)loga(1x)loga(1x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)在(1,1)上是奇函数(3)由f(x)g(x)0得loga(1x)loga(1x)，当a1时，则可化为，解得0x1；当0a1时，由，解得1x0.所以当a1时，x的取值范围是(0,1)，当0a1时，x的取值范围是(1,0)(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称而对于类似于f(x)logag(x)的函数，利用f(x)f(x)0来判断奇偶性更简捷(2)判断函数的单调性有两种思路，利用定义；利用图像练一练3已知f(x)loga(ax1)(a0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性解：(1)要使函数f(x)loga(ax1)(a0，且a1)有意义，则ax10.当a1时，由ax10得ax1，即x0，故函数的定义域为(0，)；