高中数学 第1章 统计 4 数据的数字特征教学案 北师大版必修3

4 数据的数字特征核心必知1众数、中位数、平均数(1)众数的定义：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个(2)中位数的定义及求法：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数(3)平均数：平均数的定义：如果有n个数x1、x2、xn，那么，叫作这n个数的平均数平均数的分类：总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数2标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差s2(x1)2(x2)2(xn)2其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值(3)方差的简化计算公式：s2(xxx)n2(xxx)2.3极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差4数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度问题思考1一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？提示：不一定若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个2如何确定一组数据的中位数？提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值讲一讲1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法尝试解答(1)平均数是1 5001 5005912 091(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(2)新的平均数是15001 5001 7883 288(元)中位数是1 500元，众数是1 500元(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平1众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量2众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题3中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势练一练1某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：销售量(件)1 800510250210150120人数113532(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额解：(1)平均数为(1 800151012503210515031202)320(件)，中位数为210件，众数为210件(2) 不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.讲一讲2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定尝试解答(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100，s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定练一练2对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲：273830373531乙：332938342836根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀解：甲(273830373531)33，s(2733)2(3833)2(3033)2(3733)2(3533)2(3133)2，s甲3.96，乙(332938342836)33，s(3333)2(2933)2(3833)2(3433)2(2833)2(3633)2，s乙3.56.由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀讲一讲3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由尝试解答(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080(分)，乙(5046047016802901210012)4 00080(分)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss，甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看，甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，乙组成绩集中在高分段的人数多同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看，乙组的成绩较好要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论练一练3甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数中位数命中9环以上的次数(含9环)甲7乙(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力【解题高手】【多解题】一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180, 183, 175, 181, 185, 180, 184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)解法一：利用平均数的公式计算(178179181180184)2 523180.法二：建立新数据，再利用平均数简化公式计算取a180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：2，1,1,2，4,3，4,0,3，5,1,5,0,4.(21124340351504)30.2，a0.2180180.法三：利用加权平均数公式计算(1851184118321821181218021791178117621751)2 523180.法四：建立新数据（方法同法二），再利用加权平均数公式计算514132211202(1)1(2)1(4)2(5)130.2.a0.2180180.1已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数解析：选D 可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.2样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.B. C. D2解析：选D 样本的平均数为1，即(a0123)1，a1，样本方差s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.3. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()89 793 1 6 4 0 2A91.5和91.5 B91.5和92 C91和91.5 D92和92解析：选A 将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数91.5，中位数为91.5.4(湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_(注：方差s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中为x1，x2，xn的平均数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分11，方差s2(811)2(911)2(1011)2(1311)2(1511)26.8.答案：6.85甲、乙两人在相同条件下练习射击，每人打5发子弹，命中环数如下：甲68998乙107779则两人射击成绩的稳定程度是_解析：甲8，乙8，s1.2，s1.6，sB，sAsB B.AsB C.AB，sAsB D.AB，sAsB解析：选B A中的数据都不大于B中的数据，所以AsB.4为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均数为，则()Amem0 Bmem0 Cmem0 Dm0me解析：选D 易知中位数的值me5.5，众数m05，平均数(324351066738292102)6，所以m0me.5一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A57.23.6 B57.256.4 C62.863.6 D62.83.6解析：选D 设该组数据为x1，x2，xn，则(x1x2xn)2.8，(x12.8)2(x22.8)2(xn2.8)23.6，所以，所得新数据的平均数为(x160)(x260)(xn60)(x1x2xn)602.86062.8.所得新数据的方差为(x16062.8)2(x26062.8)2(xn6062.8)2(x12.8)2(x22.8)2(xn2.8)23.6.二、填空题6一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x_.解析：由中位数的定义知16，x15.答案：157某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表所示：学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2_.解析：计算可得两组数据的平均数均为7，甲班的方差s；乙班的方差s.则两组数据的方差中较小的一个为s.答案：8(湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7, 8,7,9,5,4,9,10,7,4则(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_解析：(1)由公式知，平均数为(78795491074)7；(2)由公式知，s2(0104494909)4s2.答案：（1）7（2）2三、解答题9为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃旧塑料袋个数2345户数6161513(1)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的平均数、众数和中位数；(2)求这50户居民每天丢弃旧塑料袋的标准差解：(