九年级数学上册 专题突破 19《二次函数和反比例函数》二次函数图象变换秘诀 （新版）北京课改版

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线二次函数图象变换1. 二次函数图象关于x轴对称变换变形：特点：a、b、c符号都改变；依据：点关于x轴对称，该点的横坐标不变，纵坐标变为相反数；图例：2. 二次函数图象关于y轴对称变换变形：特点：a、c符号不变，b符号改变；依据：点关于y轴对称，该点横坐标变为相反数，纵坐标不变；图例：3. 二次函数图象关于原点中心对称变换变形：特点：a、c符号改变，b符号不变；依据：点关于原点对称，该点的横纵坐标都变为相反数；图例：4. 二次函数图象关于顶点中心对称变换变形：特点：变为顶点式后a符号改变；依据：变换后顶点坐标不变，开口大小不变，只改变开口方向；图例：例题1 （德州）如图，已知二次函数的图象过点O（0，0），A（4，0），B（2，），M是OA的中点。（1）求此二次函数的解析式。（2）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得曲线OBA，B为B关于x轴的对称点，在原抛物线x轴的上方部分取一点C，连接CM，CM与翻折后的曲线OBA交于点D。若CDA的面积是MDA面积的2倍，这样的点C是否存在？若存在，求出C点的坐标，若不存在，请说明理由。解析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）假设存在满足条件的点C，由CDA的面积是MDA面积的2倍，可得点C纵坐标是点D纵坐标的3倍，由此列方程求出点C的坐标。答案：解：（1）抛物线过原点，设其解析式为：yax2bx抛物线经过点A（4，0），B（2 ，），解得二次函数解析式为：（2）依题意，翻折之后的抛物线解析式为：假设存在这样的点C，CDA的面积是MDA面积的2倍，CD2MD，CM3MD如下图所示，分别过点D、C作x轴的垂线，垂足分别为点E、点F，则有DECFCF3DE，MF3ME令，则的图象与x轴的交点坐标分别为，M为OA中点设C，则MFx2，DCF3DE，整理得：x24x80，解得：存在满足条件的点C，点C的坐标为：点拨：本题为二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、解方程、翻折变换等知识点。第（2）问是存在型问题，解题的关键是得到点C纵坐标是点D的3倍。例题2 （丰台二模）如图所示，二次函数yx2bxc经过点（1，0）和点（0，3）。（1）求二次函数的表达式；（2）将二次函数图象y轴左侧部分沿y轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G，如果直线y4xn与图象G有3个公共点，求n的值。解析：（1）把（1，0）和点（0，3）代入函数表达式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）根据轴对称性写出翻折部分的二次函数解析式，再根据直线与图象有3个公共点找到两种情况，直线与翻折后的抛物线相切。直线经过抛物线与y轴的交点。答案：（1）把（1，0）和（0，3）代入到yx2bxc中，得解得所以yx22x3（2）原抛物线解析式为：yx22x3，原抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线：yx22x3（x0），由得x22x3n0，（2）24（3n）0，解得n4，当直线y4xn经过点（0，3）时，直线与图象G有3个公共点，把（0，3）代入到y4xn中，得n3，综上所述，n3或4。点拨：本题是二次函数综合题型，考查了利用了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式并利用根的判别式求交点，求变换后的图象解析式，难点在于（2）要判断出有三个公共点时的位置。常见题型二次函数图象变换问题往往与直线相结合，讨论图象的交点个数，综合性较强。注意：（1）取值范围；（2）数形结合；（3）分类讨论。例题（临沂）在平面直角坐标系中，函数yx22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，则直线ya（a为常数）与C1、C2的交点共有几个？答案：解：函数yx22x（x0）的图象为C1，C1关于原点对称的图象为C2，C2图象是yx22x。两图象的顶点坐标分别为（1，1）和（1，1），当或时，共有一个交点；当或1时，共有两个交点；当时，直线ya（a为常数）与C1、C2共有3个交点。点拨：（1）根据关于原点对称的关系，可得C2，根据直线ya（a为常数）与C1、C2的交点，可得答案。（2）求出C2的解析式后最好把C1、C2的图象画出来，以便分情况讨论。（3）求直线ya与C1、C2的交点时，注意要分类讨论。（答题时间：25分钟）一、填空题1. 已知抛物线yax2bxc（a0）与抛物线yx24x3关于y轴对称，则函数yax2bxc的解析式为（）A. yx24x3 B. yx24x3 C. yx24x3 D. yx24x32. 在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3绕着它与y轴的交点旋转180，所得抛物线的解析式是（）A. y（x1）22 B. y（x1）24C. y（x1）22 D. y（x1）243. 将抛物线y2x212x16绕它的顶点旋转180，所得抛物线的解析式是（）A. y2x212x16 B. y2x212x16C. y2x212x19 D. y2x212x204. 与抛物线yx22x3关于x轴对称的图象表示为（）A. yx22x3 B. yx22x3C. yx22x3 D. yx22x35. 在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A. yx2x2 B. yx2x2C. yx2x2 D. yx2x2二、填空题6. （普陀区一模）抛物线yx21关于x轴对称的抛物线的解析式是_。7. （江西样卷）将二次函数y2（x1）23的图象关于原点作对称变换，则对称后得到的二次函数的解析式为_。*8. （天水）如图所示，一段抛物线yx（x1）（0x1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为_。*9. （乐陵市二模）如图所示，在一张纸上作出函数yx22x3的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与抛物线yx22x3关于x轴对称的抛物线，则描出的这条抛物线的解析式为_。三、解答题10. 如图所示，在网格上有A、B、O三点，以点O为顶点的一条抛物线过点A、B，且A、B为抛物线上的一组对称点。（1）以O点为旋转中心，将抛物线沿逆时针方向旋转90，画出旋转后的抛物线图象；（2）在图中建立恰当的平面直角坐标系，求出旋转后所得抛物线的解析式。11. 已知一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y8x2都相同，并且它的顶点在抛物线y2（x）2的顶点上。（1）求这条抛物线的解析式；（2）求将（1）中的抛物线向左平移5个单位后，得到的抛物线的解析式；（3）将（2）中所求抛物线绕顶点旋转180，求旋转后的抛物线的解析式。12. 如图所示，已知抛物线ymx2nxp与yx26x5关于y轴对称，并与y轴交于点M，与x轴交于点A和B，求出ymx2nxp的解析式。一、选择题1. A 解析：抛物线yax2bxc（a0）的图象与抛物线yx24x3的图象关于y轴对称，函数yax2bxc的解析式为：y（x）24（x）3x24x3。2. B 解析：由原抛物线解析式可变为：y（x1）22，顶点坐标为（1，2），与y轴交点的坐标为（0，3），又由抛物线绕着它与y轴的交点旋转180，新的抛物线的顶点坐标与原抛物线的顶点坐标关于点（0，3）中心对称，新的抛物线的顶点坐标为（1，4），新的抛物线解析式为：y（x1）24。3. D 解析：y2x212x162（x26x8）2（x3）22，将原抛物线绕顶点旋转180后，得：y2（x3）222x212x20。4. D 解析：关于x轴对称的两个函数解析式的开口方向改变，开口大小不变，二次项的系数互为相反数；对称轴不变，那么一次项的系数互为相反数；与y轴的交点互为相反数，那么常数项互为相反数，即可得出与抛物线yx22x3关于x轴对称的图象表示为：yx22x3。5. C 解析：先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，可得新抛物线为yx2x2；再将所得的抛物线yx2x2关于y轴作轴对称变换，可得新抛物线为yx2x2。二、填空题（共4小题）6. yx21 解析：根据题意，yx21，化简得：yx21，故抛物线yx21关于x轴对称的抛物线的解析式为：yx21，故答案为：yx21。7. y2（x1）23 解析：y2（x1）23的顶点坐标为（1，3），故变换后的抛物线为y2（x1）23。故答案为：y2（x1）23。8. （9.5，0.25） 解析：yx（x1）（0x1），OA1A1A21，P2P4P1P32，P2（1.5，0.25）P10的横坐标是1.52（102）29.5，P10的纵坐标是0.25。9. yx22x3 解析：yx22x3（x22x1）2（x1）22，原函数图象的顶点坐标为（1，2），描出的抛物线与抛物线yx22x3关于x轴对称，描出的抛物线顶点坐标为（1，2），描出的这条抛物线的解析式为y（x1）22，即yx22x3。三、解答题（共3小题）10. 解：（1）如图所示。（备注：以过对称点C，D两点为依据，结合画图标准给分）（2）如图所示，以O为原点，建立平面直角坐标系，则点A、B的坐标分别为（2，1）、（2，1），将抛物线沿逆时针方向旋转90后点A、B的对应点坐标分别为C（1、2）、D（1，2）设抛物线的解析式为yax2，则有2a12，a2，所以抛物线的解析式为y2x2。11. 解：（1）一条抛物线的开口方向和形状大小与抛物线y8x2都相同，并且它的顶点在抛物线y2（x）2的顶点上，这条抛物线的解析式为：y8（x）2；（2）将（1）中的抛物线向左平移5个单位后得到的抛物线的解析式为：y8（x）2；（3）（2）中所求抛物线绕顶点旋转180，旋转后的抛物线的解析式为y8（x）2。12.