高中数学 第一章 坐标系 1_1_3 球坐标系与柱坐标系学案 苏教版选修4-4

“讲忠诚、严纪律、立政德”三者相互贯通、相互联系。忠诚是共产党人的底色，纪律是不能触碰的底线，政德是必须修炼的素养。永葆底色、不碰底线球坐标系与柱坐标系1球坐标系、柱坐标系的理解2球坐标、柱坐标与直角坐标的互化基础初探1球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系图415(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，表示以Oz为始边，OP为终边的角，表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，)就叫做点P的球坐标，其中r0,0，02.2直角坐标与球坐标间的关系图416若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，)之间的关系，如图416所示x2y2z2r2，xrsin_cos_，yrsin_sin_，zrcos_.3柱坐标系建立了空间直角坐标系Oxyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(，)(0,02)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(，z)(zR)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0,02，zR.图4174直角坐标与柱坐标之间的关系思考探究1空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成2在空间的柱坐标系中，方程0(0为不等于0的常数)，0，zz0分别表示什么图形？【提示】在极坐标中，方程0(0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为0的圆，方程0(0为常数)表示与极轴成0角的射线而在空间的柱坐标系中，方程0表示中心轴为z轴，底半径为0的圆柱面，它是上述圆周沿z轴方向平行移动而成的方程0表示与zOx坐标面成0角的半平面方程zz0表示平行于xOy坐标面的平面，如图所示常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_将点的柱坐标或球坐标化为直角坐标(1)已知点M的球坐标为，则点M的直角坐标为_(2)设点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为_【自主解答】(1)设M(x，y，z)，则x2sin cos 1，y2sin sin 1，z2cos .即M点坐标为(1,1，)(2)设M(x，y，z)，则x2cos ，y2sin 1，z7.即M点坐标为(，1,7)【答案】(1)(1,1，)(2)(，1,7)再练一题1(1)已知点P的柱坐标为，则它的直角坐标为_(2)已知点P的球坐标为，则它的直角坐标为_【解析】(1)由变换公式得：x4cos 2，y4sin 2，z8.点P的直角坐标为(2,2，8)(2)由变换公式得：xrsin cos 4sin cos 2，yrsin sin 4sin sin 2，zrcos 4cos 2.它的直角坐标为(2,2，2)【答案】(1)(2,2，8)(2)(2,2，2)将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图418建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标图418【思路探究】解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可【自主解答】点C1的直角坐标为(1,1,1)，设点C1的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中0，r0,0，02，由公式及得及得及结合图形得，由cos 得tan .点C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(，1)，球坐标为(，)，其中tan ，0.化点M的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(，z)或球坐标(r，)，需要对公式以及进行逆向变换，得到以及提醒在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值再练一题2(1)设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标(2)设点M的直角坐标为(1,1，)，求它的球坐标【导学号：98990006】【解】(1)设M的柱坐标为(，z)，则有解之得，.因此，点M的柱坐标为.(2)由坐标变换公式，可得r2.由rcos z，得cos ，.又tan 1，(M在第一象限)，从而知M点的球坐标为.真题链接赏析(教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点结晶体的基本单位称为晶胞，如图419(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体)图形中的点代表钠原子，如图419(2)，建立空间直角坐标系Oxyz后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标(1)(2)图419【命题意图】本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用【解】下层的原子全部在xOy平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，；它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，.1已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为_【解析】由点A的柱坐标为(1,0,1)知，1，0，z1，故xcos 1，ysin 0，z1，所以直角坐标为(1,0,1)【答案】(1,0,1)2设点M的直角坐标为(1，1，)，则它的球坐标为_【解析】由坐标变换公式，r2.cos ，.tan 1，.故M的球坐标为.【答案】3已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为_【导学号：98990007】【解析】设P(x，y，z)，则xcos1，ysin1，z5，P(1,1,5)设B(x，y，z)，则xsin cos ，ysinsin，zcos .故B(，)【答案】P(1,1,5)，B(，)4把A(4，2)、B(3，2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为_【解析】点A化为直角坐标为A(2，2,2)，点B化为直角坐标为B.AB2