人教版九年级圆的性质知识点.doc

圆的有关性质学生姓名： 就读年级： 九年级 任课教师： 教导处签名： 日期： 2017 年 10月 21 日 课题圆的有关性质教学目标1、 在探索的过程中，能从两种不同的角度理解圆的概念2、 了解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等于圆有关的概念，理解概念之间的区别与联系。3、 能够通过图形直观地认识弦、弧等概念，能够从具体图形中识别出与圆有关的一些元素。知识要点及重难点重点：圆的概念的解析与应用难点：圆的有关概念的解析作业评价 好 很好 一般 差备注：作业布置学生课后评价（学生填写）学生对本次课的评价：1、 学习心情： 愉悦 紧张 沉闷2、 学习收获： 很大 一般 没有3、 教学流程： 清晰 一般 混乱4、 其它： 。家长反馈 签名： 日期： 年 月 日1、 课前复习1、 旋转2、 中心对称3、中心对称图形4、求关于原点对称的点的坐标2、 新课导入初中阶段我们有几种几何是必须掌握的：三角形，四边形，圆。关于前两个已经在前期的学习中接触过了，那么本章我们将重点学习圆的相关性质以及相关的知识点，本章也是中考内容中的重点部分，所以需要打起精神，认真将知识点掌握并灵活应用起来。3、 新课讲授圆的有关性质知识点1圆的定义以及表示方法（重点；理解）1、 描述性定义在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、 集合性定义圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；3、 圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“”，读作“圆”命题1圆的定义的理解例1：下列条件中，能确定圆的是（ ）A. 以已知点O为圆心 B. 以1cm长为半径C. 经过已知点A，且半径为2cm D. 以点O为圆心，1cm为半径针对练习：1、与已知点A的距离为3cm的点所组成的平面图形是_.命题点2判断四点共圆的问题例2：矩形的四个顶点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径.已知,四边形ABCD是矩形,判断A、B、C、D这四个点能否在同一个圆上?如果不在,说明理由;如果在,指出这个圆的圆心和半径。证明：连接AC,BD 四边形ABCD是矩形 对角线AC与BD交于点OAO=CO=12ACBO=DO=12BD 四边形ABCD是矩形 AC=BD (矩形的对角线相等)AO=CO=12ACBO=DO=12BDAC=BD AO=BO=CO=DO AO=BO=CO=DO A、B、C、D这四个点在以点O为圆心,OA为半径的同一个圆上针对练习：1、如图，四边形ABCD的一组对角ABC、ADC都是直角。求证：A. B. C.D四点在同一个圆上。知识点2圆的有关概念（重点；理解）（1） 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦（2） 直径：经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍（3） 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以为端点的弧记作，读作弧AB。（4） 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。（5） 等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（6） 等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧。命题3：圆的有关概念的应用例3：下列说法正确的是（ ）A长度相等的弧叫做等弧 B半圆不是弧C直径是弦 D过圆心的线段是直径解析：主要考查对先、弧、等弧以及直径的概念的理解。类型题圆的半径的应用考查角度1：利用同圆的半径相等求角度例1：如图,AB是O的直径,C是O上一点,BOC=44，则A的度数为_度。解析：利用同圆半径相等，所对的角也相等。针对练习：1、如图，AB是O的直径，D.C在O上，ADOC，DAB=60，连接AC，则DAC等于（）A.15 B.30 C.45 D.60考查角度2：利用同圆的半径相等比较线段大小2、如图,正方形ABCD的边长为1,其中DE,EF,FG的圆心依次是点A，B，C. 连接GB和FD，则GB与FD的关系是_.解析：根据同圆的半径相等可以得BC=DC，CG=CF，又FCD=GCB=90由此可以得到则FCDGCB，由此推出GB=FD，G=F，G+CDF=F+CDF=90，由此即GB与FD的关系针对练习：2、如图所示：点M、G、D在半圆O上，四边形OEDF、HMNO均为矩形，EF=b，NH=c，则b与c之间的大小关系是（）A.bc B.b=c C.cb D.b与c的大小不能确定考查角度3：利用同源半径向更解决实际问题例3：如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3km内的水域为危险区域，有一渔船误入离A处2km的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条航线方向航行?为什么?解析：该船应沿航线AB方向航行离开危险区域理由如下：如图，设航线AB交A于点C，在A上任取一点D(不包括C关于A的对称点)连接AD、BD；在ABD中，AB+BDAD，AD=AC=AB+BC，AB+BDAB+BC，BDBC.答：应沿AB的方向航行。针对练习：3、由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭.近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东60的方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域.（1）A城是否受到这次沙尘暴影响？为什么?（2）若A城受到这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长?垂直于弦的直径知识点1：圆的对称性（了解）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，也是旋转对称图形。知识点2：垂径定理及其推论（重点，难点；掌握）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。命题点1：利用垂径定理判定结论例1：在O上作一条弦AB,再作一条与弦AB垂直的直径CD,CD与AB交于点E,则下列结论中不一定正确是( )A.AE=BE B.AC=BC C.CE=EO D.AD=BD解析：据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧得出结论针对练习：1、如图,已知直径MN弦AB,垂足为C,下列结论：AC=BC;AN=BN;AM=BM;AM=BM.其中正确的个数为()A. 1 B.2 C.3 D.4命题点2：利用垂径定理求弦长或半径例2：如图，AB为O的弦，O的半径为5，OCAB于点D，交O于点C，且CD=1，则弦AB的长是_.解析：连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解针对练习：2、(2014毕节地区)如图，已知的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（） A.6 B.5 C.4 D.3类型题1：应用垂径定理解决最值问题考查角度1：利用垂径定理和垂线最短解决问题例1：如图，O的直径是10，弦AB8，P是弦上的一个动点，那么OP长的取值范围是_解析：找到最短与最长的点所在的位置，根据勾股定理可求出长度针对练习1、如图，O的半径为5，弦AB的长为6，M是AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5考查角度2：利用垂径定理解决线段和最短问题例2：如图，AB、CD是半径为5的O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_.解析：A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值解：连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H.根据垂径定理,得到BE=12AB=4,CF=12CD=3，OE=OB2BE2=5242=3，OF=OC2CF2=5232=4，CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角BCH中根据勾股定理得到BC=7，则PA+PC的最小值为7故答案为：7针对练习：2、在O中,AB是O的直径,AB=8cm,AC=CD=BD，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是_cm.类型题2：利用垂径定理解决实际问题例2、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知圆心为O，EF=CD=16厘米，则O的半径为多少厘米?解析：如图，过点O作OMAD于点M，连接OF，设OF=x，则OM是16-x，MF=8，然后在直角三角形MOF中利用勾股定理求得OF的长即可针对练习：2、温州是著名水乡,河流遍布整个城市。某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图).已知桥拱半径OC为5m,水面宽AB为46m,则石拱桥的桥顶到水面的距离CD为（）A.46m B.7mC.5+6m D.6m类型题3：垂径定理与平面直角坐标系的综合应用例3：如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),P的半径为13，则点P的坐标为_.解析：过点P作PDx轴于点D，连接OP，先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案针对练习：3、 半径为6的E在直角坐标系中,与x轴交于A,B两点,与y轴交于C,D两点,已知C(0,3）,D（0,-7）,求圆心E的坐标类型题4：利用分类讨论解圆中的计算问题例4：已知AB，CD为O的两条平行弦，O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求弦AB，CD间的距离.解析：本题考查了两条平行弦之间的间距问题，解题的关键是进行分组讨论；第一种情况是两弦位于圆心同侧时，两弦的间距是弦心距的差的绝对值，过圆心作弦的垂线，再连结圆心与弦的一个端点，应用垂径定理和勾股定理进行计算即可；第二种情况是两弦位于圆心的两侧时，两弦的间距是弦心距的和，同理即可得出结果.解：当弦A和CD在圆心同侧时，如图，过点O作OFCD，垂足为F，交AB于点E，连接OA，OC.ABCD， OEAB，AB=8cm，CD=6cm， AE=4cm，CF=3cm，OA=OC=5cm， EO=3cm，OF=4cm，EF=OF-OE=1cm.当弦A和CD在圆心异侧时，如图，过点O作OEAB于点E，反向延长OE交AD于点F，连接OA，OC，ABCD， OFCD，AB=8cm，CD=6cm， AE=4cm，CF=3cm，OA=OC=5cm， EO=3cm，OF=4cm，EF=OF+OE=7cm所以AB，CD之间的距离是1cm或7cm.弧、弦、圆心角知识点弧、弦、圆心角之间的关系圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论1：在同圆或等圆中，如果两条弧想等，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弦也相等。推论2：在同圆或等圆中，如果两条弦想到呢过，那么它们所对的圆心角也相对，所对的弧也相等。命题1：根据圆心角、弦、弧之间关系求角的度数例1：2014贵港)如图，AB是O的直径，BC=CD=DE，COD=34，则AEO的度数是（）A.51 B.56 C.68 D.78解析：圆心角、弧、弦的关系针对练习：1、如图，AB是O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD=（）A. 105 B. 120 C. 135 D. 150命题2：根据圆心角、弦、弧之间关系证明线段相等类型题1：利用根据圆心角、弦、弧之间关系证明弧相等1、已知：如图，OA、OB、OC是O的三条半径，AOC=BOC，M、N分别是OA、OB的中点。求证：MC=NC.证明：=OB,(2分)M是OA中点，N是OB中点，OM=ON,(4分)AOC=BOC，OC=OC，MOCNOCMC=NC针对练习2、如图,AB、CD是O的两条弦,且AD=BC,AB与CD的大小有什么关系?为什么?类型题2：弧、弦、圆心角与四边形的综合应用例2：如图所示，已知AB为O的直径，M、N分别为OA、OB的中点，CMAB，DNAB，垂足分别为M、N求证：证明：连结OC、OD，如图，AB是O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，OM=ON，CMAB，DNAB，OMC=OND=90，在RtOMC和RtOND中，RtOMCRtOND（HL），COM=DON，针对练习：2、如图，AB是O的弦，C，D为弦AB上的两点，且OC=OD，延长OC，OD分别交O于点E，F.求证：AE=BF.圆周角知识点1：圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）1、 圆周角的定义顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。2、 圆周角定理1条 弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。命题点1：应用圆周角定理求角的度数例1：如图,在O中,AB=AC,AOB=50,则ADC的度数是()A.50 B.40 C.30 D.25解析：先求出AOC=AOB=50，再由圆周角定理即可得出结论针对练习：1、(2014南昌)如图,A、B. C.D四个点均在O上,AOD=70,AODC,则B的度数为（）A.40 B.45 C.50 D.55知识点2：圆周角定理的推论（难点；灵活应用）同弧或等弧所对的圆周角相等。半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90读的圆周角所对的弦是直径。命题2直径所对的圆周角是直角的应用例2：如图,若AB是0的直径,CD是O的弦,ABD=58,则BCD=( )A.116 B.32 C.58 D.64解析：根据圆周角定理求得、：AOD=2ABD=116（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）、BOD=2BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180知BOD=180-AOD，BCD=32针对练习：2、如图，AB是O的直径，若BAC=35，则ADC=（）A. 35 B. 55 C. 70 D. 110知识点3：圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）1、 圆内接多边形的概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。2、 圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补命题3：圆内接四边形性质的应用3、 如图,四边形ABCD内接于O,若四边形ABCO是平行四边形,则ADC的大小为( )A.45 B.50 C.60 D.75解析：设ADC的度数=，ABC的度数=，由题意可得+=180针对练习：3、如图,四边形ABCD是O的内接四边形,若C=130,则BOD=_ _.四、当堂小结1、圆的定义以及表示方法（重点；理解）2、圆的有关概念（重点；理解）3、圆的对称性（了解）4、圆周角的定义和圆周角的定理（重点，难点；理解）5、圆周角定理的推论（难点；灵活应用）6、圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质（重点；理解）5、 课后作业一、选择题：1、如图1，点都在圆O上，若，则的度数为（ ）A、 B、 C、 D、2、如图2，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD=40,则DCF等于（ ）A、80 B、50 C、40 D、20OCBA （1） （2） 3O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )AAB2AMBAB=2AMCAB2AMDAB与2AM的大小不能确定4在O中，若圆心角AOB=100，C是上一点，则ACB等于( )A80B100C130D1405、在同圆中，下列四个命题:(1)圆心角是顶点在圆心的角；(2)两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；(3)两条弦相等，它们所对的弧也相等；(4)等弧所对的圆心角相等.其中真命题有（ ）A、4个 B、3个 C、2个 D、1个6、如图3，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）A、 B、 C、 D、ADBOC （3） （4）二、填空题：7、如图4，内接于圆O，AE是圆O的直径，则_.8、如图5，是圆O的直径，点是圆上两点，则_.BACODAOBDC （5