高考数学考点解读+命题热点突破专题19概率随机变量及其分布列理

一岗双责落实还不到位。受事务性工作影响，对分管单位一岗双责常常落实在安排部署上、口头要求上，实际督导、检查的少，指导、推进、检查还不到位。专题19 概率、随机变量及其分布列【命题热点突破一】古典概型与几何概型例1、【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【变式探究】三位学生两位老师站成一排，则老师站在一起的概率为_【答案】【解析】 三位学生两位老师站成一排，有A120（种）站法，老师站在一起，共有AA48（种）站法，故老师站在一起的概率为.【特别提醒】求古典概型的概率的关键是计算基本事件的个数和所求的随机事件含有的基本事件的个数，在计算时要注意不要重复也不要遗漏【变式探究】 已知圆O：x2y212，直线l：4x3y25，则圆O上的点到直线l的距离小于2的概率为_【答案】【解析】 圆心O到直线l的距离为5.设与直线l平行且距离为2，并与圆O相交的直线为l，如图所示，此时圆心O到直线l的距离为3，则直线l截圆O所得的劣弧上的点到直线l的距离小于2，圆O的半径为2 ，所以直线l截圆O所得的劣弧所对的圆心角为60，所以所求的概率为.【特别提醒】与角度相关的几何概型问题一般用直接法，或转化为与线段长度、面积有关的几何概型问题计算与线段长度有关的几何概型的方法是：求出基本事件对应的线段长度、随机事件对应的线段长度，随机事件对应的线段长度与基本事件对应的线段长度之比即为所求【举一反三】如图所示，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短直角边长为3，向大正方形内抛撒一颗黄豆(假设黄豆不落在线上)，则黄豆恰好落在小正方形内的概率为()A. B.C. D.【答案】B【特别提醒】计算与面积相关的几何概型的方法：算出基本事件对应图形的面积和随机事件对应图形的面积，随机事件对应图形的面积与基本事件对应图形的面积之比即为所求【变式探究】某高二学生练习投篮，每次投篮命中率约为30%，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率：选用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2表示命中，4，5，6，7，8，9表示不命中，再以每3个随机数为一组，代表3次投篮的结果经随机模拟产生了如下随机数：807956191925271932813458569683431257393027556488730113527989据此估计该学生3次投篮恰有2次命中的概率为()A0.15 B0.25C0.2 D0.18【答案】C【解析】 随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次命中的有191，271，027，113，共4组，所以所求概率约为0.2.【特别提醒】每次命中率约为30%，3次投篮命中2次的概率，可以看作3次独立重复试验恰好成功2次的概率，直接计算为C0.320.70.189，与随机模拟方法求得的概率具有差异随机模拟的方法求得的概率具有随机性，两次随机模拟求得的概率值可能是不同的【命题热点突破二】相互独立事件和独立重复试验例2、某项比赛规则是：甲、乙两队先进行个人赛，每支参赛队中成绩的前三名队员再代表本队进行团体赛，团体赛是在两队名次相同的队员之间进行，且三场比赛同时进行根据以往比赛统计：两名队员中个人赛成绩高的队员在各场胜的概率为，负的概率为，且各场比赛互不影响已知甲、乙两队各有5名队员，这10名队员的个人赛成绩如图所示(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差；(2)求甲队在团体赛中至少有2名队员获胜的概率【特别提醒】在做涉及相互独立事件的概率题时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次将分拆后的互斥事件分拆为若干个相互独立事件的乘积，如果某些相互独立事件符合独立重复试验的特点，那么就用独立重复试验的概率计算公式解答【变式探究】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检验将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）.（2）X的可能取值为200，300，400.P（X200），P（X300），P（X400）1P（X200）P（X300）1.故X的分布列为X200300400P所以E（X）200300400350.【命题热点突破三】随机变量的分布列、均值与方差例3、【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .【答案】【解析】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，可能的结果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以在1次试验中成功次数的取值为，其中在1次试验中成功的概率为，所以在2次试验中成功次数的概率为，则.【变式探究】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3此密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P（A）. 【特别提醒】求离散型随机变量分布列的关键有两点：一是确定离散型随机变量的所有可能取值，不要遗漏；二是根据离散型随机变量取值的实际意义求出其各个值的概率【变式探究】某树苗培育基地为了解该基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度(单位：cm)，并将所得数据分组，得到频率分布表如下：组距频数频率100，102)170.17102，104)180.18104，106)240.24106，108)ab108，110)60.06110，11230.03合计1001(1)求上表中a，b的值；(2)估计该基地榕树树苗的平均高度；(3)该基地从高度在区间108，112内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中高度在区间110，112内的有X株，求X的分布列和数学期望解：（1）易知a1001718246332，b0.32.（2）该基地榕树树苗的平均高度约为105.02（cm）.（3）由频率分布表知树苗高度在区间108，112内的有9株，在区间110，112内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3.P（X0），P（X1），P（X2），P（X3）.故X的分布列为X0123P所以E（X）0123.【特别提醒】常见的离散型随机变量的概率分布模型有两个：超几何分布和二项分布从摸球模型上看，超几何分布是不放回地取球，二项分布是有放回的取球注意从摸球模型理解这两个分布【变式探究】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，小球在下落的过程中，将遇到如图所示的黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.(1)分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；(2)在容器的入口处依次放入4个小球，记为落入B袋中的小球个数，求的分布列和数学期望 (2)显然，随机变量的所有可能的取值为0，1，2，3，4，且B(4，)，故P(0)C，P(1)C，P(2)C，P(3)C，P(4)C.故的分布列为01234P故的数学期望E()4.【特别提醒】求解离散型随机变量的期望和方差的基本方法：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后分别求出取这些值时的概率，列出分布列，最后根据公式计算随机变量的数学期望和方差【命题热点突破四】求解离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用期望与方差进行决策问题例4、某茶厂现有三块茶园，每块茶园的茶叶估值为6万元根据以往经验，今年5月12日至14日是采茶的最佳时间，在此期间，若遇到下雨，当天茶园的茶叶估值减少为前一天的一半，否则与前一天持平现有两种采摘方案：方案：茶厂不额外聘请工人，一天采摘一块茶园的茶叶；方案：茶厂额外聘请工人，在12日采摘完全部茶叶，额外聘请工人的成本为3.2万元根据天气预报，该地区5月12日不降雨，13日和14日这两天降雨的概率均为40%，每天是否下雨互不影响(1)若采用方案，求茶厂14日当天采茶的预期收益；(2)从统计学的角度分析，茶厂采用哪种方案更合理 (2)茶厂若采用方案，设茶厂13日采茶的预期收益为万元，则的可能取值为6和3.因为P(6)，P(3)，所以的分布列为63P所以的数学期望E()634.8，所以若茶厂采用方案，则采茶的总收益为64.83.8414.64(万元)；若茶厂采用方案，则采茶的总收益为633.214.8(万元)因为14.64时，E()E()，即先回答问题A，再回答问题B，该参与者获奖金额的期望值较大；当时，E()E()，无论是先回答问题A，再回答问题B，还是先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值相等；当时，E()E()，即先回答问题B，再回答问题A，该参与者获奖金额的期望值较大【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】如图所示,画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段中,而当他的到达时间落在线段或时,才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型,所求概率故选B2.【2016高考新课标3】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为下面叙述不正确的是（ ）(A)各月的平均最低气温都在以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于的月份有5个【答案】D【解析】由题图可知各月的平均最低气温都在0C以上，A正确；由题图可知七月的平均温差大于7.5C，而一月的平均温差小于7.5C，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由题图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C，基本相同，C正确；由题图可知平均最高气温高于20的月份有3个，所以不正确故选D3.【2016高考山东】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D【解析】由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有（人），选D.4.【2016高考新课标2】从区间随机抽取个数,，构成n个数对，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为，所以.选C.5.【2016年高考北京】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C【解析】若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑：且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球.由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多，选B.6.【2016高考江苏卷】将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 .【答案】【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为7.【2016年高考四川】同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是 .【答案】8.【2016高考新课标2】有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【答案】1和3【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.9.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_. 【答案】0.1【解析】这组数据的平均数为，故答案应填：0.1，10.【2016高考山东】在上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为 . 【答案】【解析】直线y=kx与圆相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即，解得，而，所以所求概率P=.11.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I）求的分布列；（II）若要求,确定的最小值；（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？【答案】（I）见解析（II）19（III）【解析】（）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而；.所以的分布列为16171819202122（）由（）知,故的最小值为19.（）记表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.当时,.当时,.可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值,故应选.12.【2016高考新课标2】某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.851.251.51.752设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05（）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【答案】（）0.55；（）；（）.【解析】（）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故13.【2016年高考四川】（本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（I）求直方图中a的值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.【答案】（）；（）36000；（）2.9【解析】（）由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.080.5=0.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02由0.04+0.08+0.5a+0.20+0.26+0.5a+0.06+0.04+0.02=1，解得a=0.30（）由（），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 0000.12=36 00014.【2016年高考北京】（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 ，表格中数据的平均数记为 ，试判断和的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）；（3）.【解析】（1）由题意知，抽出的名学生中，来自班的学生有名，根据分层抽样方法，班的学生人数估计为；（2）设事件为“甲是现有样本中班的第个人”，事件为“乙是现有样本中班的第个人”，由题意可知，；，,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知，因此（3）根据平均数计算公式即可知，.15.【2016高考山东】（本小题满分12分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.【答案】（）（）分布列见解析，【解析】（）记事件A:“甲第一轮猜对”，记事件B：“乙第一轮猜对”，记事件C：“甲第二轮猜对”，记事件D：“乙第二轮猜对”，记事件E：“星队至少猜对3个成语”.由题意， 由事件的独立性与互斥性， ,所以“星队”至少猜对3个成语的概率为. （）由题意，随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得 , , , ,.可得随机变量X的分布列为X012346P所以数学期望.16.【2016高考天津】（本小题满分13分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；（II）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（）（）详见解析【解析】解：由已知，有所以，事件发生的概率为.所以，随机变量分布列为随机变量的数学期望.17.【2016高考新课标3】下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量附注：参考数据：，2.646.参考公式：相关系数 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：【答案】（）理由见解析；（）1.82亿吨（）由及（）得，所以，关于的回归方程为：.将2016年对应的代入回归方程得：，所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.1(2015广东，4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A1 B. C. D.解析从袋中任取2个球共有C105种取法，其中恰好1个白球1个红球共有CC50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.答案C2(2015江苏，5)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_解析这两只球颜色相同的概率为，故两只球颜色不同的概率为1.答案3(2015陕西，11)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足yx的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：P.答案B4(2015新课标全国，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析该同学通过测试的概率为p0.60.6C0.40.620.648.答案A5(2015湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A2 386 B2 718 C3 413 D4 7726(2015山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为()(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)A4.56% B13.59% C27.18% D31.74%解析由题意，知P(36)13.59%.答案B7(2015安徽，17)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.P(A).(2)X的可能取值为200，300，400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列为X200300400PE(X)200300400350.8(2015福建，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望9(2015重庆，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0，1，2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上知，X的分布列为X012P故E(X)012(个)10(2015天津，16)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名从这8名运动员中随机