高中数学 第三章 概率 3_2 古典概型优化训练 北师大版必修31

2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.掷一颗骰子,出现3点的概率是（ ）A. B.3 C. D.答案：C解析：发生的概率:发生事件数除以全部事件数.掷一颗骰子共有6种等可能结果,出现3点是其中的1种结果,其概率为.2.下面是古典概型的是（ ）A.任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件时B.为求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时C.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚均匀硬币至首次出现正面为止答案：C解析：A项尽管点数之和只有有限个取值:2,3,12,但它们不是等可能的,例如抛一次两枚都出现2点,和为4点,也可能是1点,3点或3点,1点,其和都为4点,共3种情况,但点数和为2的只有一种情况是1点,1点.B项尽管各个正整数被取到是等可能的,但正整数有无限多个.C项只有n个等可能的结果.D项可能结果(即抛掷次数可能取值)是无限多的.故选C项.3.盒中有10个铁钉,其中8个是合格的,2个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ）A. B. C. D.答案：C解析：从盒中取一个铁钉包含基本事件总数为10,其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件,所以,所求概率为P(A)=.4.从1,2,3,4,5五个数字中,任意有放回地连续抽取三个数字,则三个数字完全相同的概率为（ ）A. B. C. D.答案：D解析：从这5个数字中任意有放回地连续抽取三个数字有53种抽法,三个数字完全相同的抽法有5种,所以要求的概率为.5.利用简单随机抽样的方法抽查了某校200名学生,其中戴眼镜的同学有123人,若在这个学校随机调查一名学生,则他戴眼镜的概率是_.答案：61.5%解析：简单随机抽样是等可能抽样,所以每个个体被抽到的概率相同,即=61.5%.10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.某小组共9人,分得一张演出的入场券,组长将一张写有“得票”字样和写有“不得票”字样的纸签混合后让大家依次各抽取一张，以决定谁得入场券，则（ ）A.第一个抽签者得票的概率最大 B.第五个抽签者得票的概率最大C.每个抽签者得票的概率相同 D.最后抽签者得票的概率最小答案：C解析：得票根据古典概型的基本特征可知“每个抽签者得票的概率相同”，此即抽签具有公平性原则.因为抽签法是简单随机抽样，所以是等概率抽样，故选C项.2.掷两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率为（ ）A. B. C. D.答案：C解析：掷两颗骰子,每颗骰子可能的结果有6种,所以共有36个基本事件.事件“点数之和为6”包含的基本事件有（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）共5个，因此其概率为.3.在一次问题抢答的游戏中，要求找出每个问题所列出的4个答案中唯一正确的答案.其抢答者随意说出了其中一个问题的答案,这个答案恰好是正确答案的概率为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：抢典答者从4个答案中随意说一个是等可能的,由古典概型计算公式即得解.4.中央电视台“幸运52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，规则如下：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标牌的背面是一张哭脸，若翻到哭脸，就不得奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌机会（翻过的牌不能再翻），某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是 （ ）A. B. C. D.答案：C解析：共5个奖,前两次已翻出两个,所以余下的18个商标牌中只含有3个奖.由于每次翻牌是等可能的,所以由古典概型的概率计算公式,可得概率为.故选C项.5.抛掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M：“一次正面向上，一次反面向上”；事件N：“至少有一次正面向上”.则下列结果正确的是（ ）A.P(M)=,P(N)= B.P(M)=,P(N)=C.P(M)=,P(N)= D.P(M)= ,P(N)= 答案：D解析：抛掷一枚均匀的硬币两次的基本事件共有四个:(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),M包含的基本事件为(正,反),(反,正),N包含的基本事件为(正,正),(正,反),(反,正),故P(M)=,P(N)=.6.某国际科研合作项目由两个美国人、一个法国人和一个中国人共同开发,现从中随机选出两人作为成果发布人,选出的两人中有中国人的概率是多少?解：两个美国人分别用美1和美2表示,这个试验的基本事件共有六个:(美1,美2),(美1,法),(美1,中),(美2,法),(美2,中),(法,中),记事件A=“选出的两人中有中国人”，则P（A）=.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.一个均匀的正方体玩具各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,将这个玩具先后抛掷2次,则向上的数之和是5的概率是（ ）A. B. C. D.答案：A解析：第一次抛掷有6种不同的结果，第二次抛掷又有6种不同的结果，共有36种不同的结果.向上的数的和为5的可能情况有4种,分别是(4,1),(1,4),(2,3),(3,2),故所求概率为P(A)=.2.有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张,取得卡号是7的倍数的概率为（ ）A. B. C. D.答案：A解析：有100张卡片(从1号到100号),从中任取1张,有100种取法,而卡号是7的倍数的有14张,所以概率为.3.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D.1答案：C解析：这里所有的基本事件为：甲、乙；甲、丙；乙、丙，即基本事件共有三个.甲被选中的事件有两个,按等可能性事件的概率,有P(甲)=.故选C项.4.假设一对夫妇生育男孩或女孩的概率均为0.5,且两次生育的概率互不影响,则这对夫妇前两胎生育都是男孩的概率是（ ）A.0.5 B.0.25 C.0.75 D.0.125答案：B解析：所有基本事件数为:(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),两胎都生男孩的概率为.5.在分别写有1、2、9的9张卡片上任意抽取一张,则抽得卡片上的数字能被3整除的概率是（ ）A. B. C. D.答案：D解析：从9张卡片中任取一张有9种不同的取法,其中3的倍数有3、6、9三个数,所以抽得卡片被3整除的概率为.6.（2007广东高考,文8）在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）A. B. C. D.答案：A解析：5个小球随机取2个的方法有10种,即基本事件有10个：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4), (2,5),(3,4),(3,5),(4,5).数字之和为3的只有一个(1,2),数字之和为6的有两个:(1,5)(2,4),所求概率为.故选A项.7.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点Q的坐标,则点Q在圆x2+y2=16内的概率为_.答案：解析：基本事件总数为66=36,记事件“点Q在圆x2+y2=16内”为A，则A所包含的基本事件有（1，1），（2，2），（1，3），（1，2），（2，3），（3，1），（3，2），（2，1）共8个，所以P（A）=.8.同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数1,2,3,4,5,6),则：(1)求朝上的一面数相同的概率;(2)求朝上的一面数之积为奇数的概率.解：由题意知：基本事件总数为66=36种不同的结果，每一结果都是等可能的出现.(1)其中朝上的一面的数相同的结果有6种：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),故所求事件的概率是P=.(2)朝上的一面数之积为奇数,当且仅当两个正方体朝上的一面的数都是奇数,其可能出现的结果数为：P=.9.已知集合M=-2,3,N=-4,5,6,两个集合中各取一个元素作为点的坐标,该点为第二象限点的概率为多少?解：由题知:从M、N中各取一个元素作为点的坐标,基本事件共有12个：(-2,-4),(-2,5),(-2,6), (3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(-4,3),(5,-2),(5,3),(6,-2),(6,3),设点为第二象限内的点为事件A,则A=(-2,5),(-2,6),(-4,3),包含3个基本事件,所以该点为第二象限内点的概率为P=.10.袋子中有3个形状相同但是颜色不同的球,分别是1个红球,1个蓝球和1个黄球,如果每次从袋子中取出1个球,连续取2次,其中1个是黄球的概率为多少?(分取出后放回与不放回两种情况)解：(1)不放回抽取:解法一:共有6种结果:(红,蓝),(红,黄),(蓝,红),(蓝,黄),(黄,红),(黄,蓝).其中满足题意的只有4种,即(红,黄),(蓝,黄),(黄,红),(黄,蓝),所以所求的概率为.包含3个基本事件,分别为(红,蓝)、(红,黄)、(蓝,黄).其中事件A表示“其中1个是黄球”包含2个基本事件：（红，黄）、（蓝黄），故P（A）=.（2）放回抽取：共有9种结果：（红，红），（红，蓝），（红，黄），（蓝，蓝），（蓝，红），（蓝，黄）（黄，黄），（黄，红），（黄，蓝）；其中满足题意的有（红，黄），（蓝、黄），（黄，红），（黄，蓝）4种，所以所求的概率为.综上可知：含有1个黄球的概率为或.2.3 互斥事件5分钟训练 （预习类训练，可用于课前）1.对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是（ ）A.如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B.如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件C.对立事件和互斥事件没有区别，意义相同D.对立事件和互斥事件没有任何联系答案：B解析：对立事件必是互斥事件,互斥事件未必是对立事件.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A.至少有1个黑球与都是黑球B.至少有1个黑球与至少有1个红球C.恰有1个黑球与恰有2个黑球D.至少有1个黑球与都是红球答案：C解析：设A=“恰有1个黑球”，B=“恰有2个黑球”.事件A与B不可能同时发生,因此事件A与B互斥.但是A与B也有可能都不发生,因此A与B不对立;至少有1具黑球与都是黑球既不互斥也不对立;至少有1个黑球与至少有1个红球既不互斥也不对立;至少有1个黑球与都是红球对立也互斥.3.把红、黑、白、蓝4张牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.以上均不对答案：C解析：只有一张红牌,甲、乙不能同时分得,所以互斥.但有可能甲、乙都没分得红牌,而丙、丁中一人获得,所以不对立.4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球、黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是_.答案：0.3解析：事件“摸出黑球”的对立事件为：“从中摸出1个球是红球”或“从中摸出1个球是白球”，根据对立事件的公式，摸出黑球的概率：1-0.42-0.28=0.3.10分钟训练 （强化类训练，可用于课中）1.若事件A、B互斥，那么（ ）A.AB是必然事件 B.是必然事件C.与一定互斥 D.与一定不互斥答案：B解析：用集合表示法中的韦恩图解释.2.一个人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.两次都不中靶 D.只有一次中靶答案：C解析：连射两次有3种结果：“两次全中”“恰有一次中”“两次都未中”.“至少一次中”包括前两种情况，所以“两次都不中靶”与“至少一次中靶”既互斥又对立，所以选C项.3.从一批产品中取出3件产品，设M=“三件产品全不是次品”，N=“三件产品全是次品”，Q=“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）A.M与Q互斥 B.N与Q互斥C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥答案：B解析：C项包含三件产品中“三正”“二正一次”“一正二次”三种情况.4.某射手一次射击中，击中10环、9环、8环的概率分别是0.24、0.28、0.19，则该射手在一次射击中不够9环的概率是（ ）A.0.29 B.0.71 C.0.52 D.0.48答案：D解析：记该射手击中10环、9环的概率分别为A、B.则该射手在一次射击中不够9环的概率P=1-P(A)-P(B)=0.48.5.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为0.3,两人下成和棋的概率为0.5,那么甲不输的概率是_.答案：0.8解析：事件“甲不输”包括互斥事件“甲获胜”与“两人下成和棋”，根据互斥事件的概率加法公式，可得甲不输的概率：0.3+0.5=0.8.6.某地区的年降水量在下列范围内的概率如下所示：年降水量（单位：mm）100，150）150，200）200，250）250，300）概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在100，200）（mm）范围内的概率；（2）求年降水量在150，300）（mm）范围内的概率.解：(1)记这个地区的年降水量在100，150）、150，200）、200，250）、250，300）（mm）范围内分别为事件A、B、C、D.这4个事件是彼此互斥的.根据互斥事件的概率加法公式,年降水量在100,200)(mm)范围内的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=0.12+0.25=0.37.(2)年降水量在150,300)(mm)内的概率是P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.25+0.16+0.14=0.55.30分钟训练 （巩固类训练，可用于课后）1.一箱机器零件中有合格品4件,次品3件,从中任取2件,其中事件：恰有1件次品和恰有2件次品;至少有1件次品和全是次品;至少有1件合格品和至少有1件次品;至少有1件次品和全是合格品.四组中是互斥事件的组数是（ ）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组答案：B解析：互斥,不互斥,不互斥,互斥且对立,所以互斥,选B项.2.某人射击一次,设事件A：“中靶”；事件B：“击中环数大于5”；事件C：“击中环数小于5”；事件D：“击中环数大于0且小于6”，则正确的关系是（ ）A.B与C为互斥事件 B.B与C为对立事件C.A与D是互斥事件 D.A与D为对立事件答案：A解析：“击中环数大于5”的对立事件是：“击中环数不大于5”，它包括事件“击中5环”.3.一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6214,则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（ ）A. B. C. D.答案：B解析：记事件“转盘指针分别落入红、黄、蓝、黑区域”分别为A、B、C、D，则它们两两互斥.P(A)=，P(C)=,P(A+C)=P(A)+P(C)=.4.盒子里有大小相同的3个红球，2个白球，从中任取2个，颜色不同的概率是（ ）A. B. C. D.答案：C解析：给球编号画树状图.由树状图,易知共有20种不同结果,其中颜色相同的有8种,因此颜色不同的概率为.5.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60,则该乘客在5分钟内能乘上所需车的概率为（ ）A.0.20 B.0.60 C.0.80 D.0.12答案：C解析：记乘客“乘3路车”的事件为A，“乘6路车”的事件为B，则P（A）=0.20,P(B)=0.60,A与B互斥，由概率加法公式知，乘客乘上所需车的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）=0.20+0.60=0.80.故选C项.6.从一批羽毛球产品中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在4.8,4.85) g范围内的概率是_.答案：0.38解析：设事件A=“质量小于4.8 g的羽毛球”，B=“质量在4.8,4.85) g范围内的羽毛球”，C=“质量不小于4.85 g的羽毛球”.则A、B、C互斥,且A+B+C=,所以P()=P(A+B+C),即1=0.3+P(B)+0.32,所以P(B)=0.38.7.向三个相邻的军火库投一枚炸弹,炸中第一军火库的概率为0.025,炸中第二、三军火库的概率各为0.1.只要炸中一个,另两个也会发生爆炸,求军火库发生爆炸的概率.解：设A、B、C分别表示炸中第一、第二及第三军火库这三个事件,已知P(A)=0.025,P(B)=P(C)=0.1,又设D=军火库爆炸,则D=A+B+C,其中A、B、C是互不相容事件,即互斥事件(因为只投掷了一枚炸弹,故不可能同时炸中两个以上的军火库),故由加法定理有,P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.8.射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13,计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率;(2)至少射中7环的概率;(3)射中环数不足8环的概率.解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E,则A、B、C、D、E是彼此互斥事件，用概率的加法公式求得:（1）P（A+B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52,所以射中10环或9环的概率为0.52.(2)P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87,所以至少射中7环的概率为0.87.(3)P(D+E)=P(D)+P(E)