高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2_5 圆锥曲线的统一定义学案 苏教版选修2-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散2.5 圆锥曲线的统一定义学习目标1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题知识点一圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹0e1时，它表示双曲线；e1时，它表示抛物线知识点二准线方程对于椭圆1 (ab0)和双曲线1(a0，b0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l：x，与F(c，0)对应的准线方程是l：x；如果焦点在y轴上，则两条准线方程为y.思考1椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答案.2动点M到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答案当Fl时，动点M轨迹是圆锥曲线当Fl时，动点M轨迹是过F且与l垂直的直线题型一统一定义的简单应用例1椭圆1上有一点P，它到左准线的距离等于2.5，那么，P到右焦点的距离为_答案8解析如图所示，PF1PF22a10，e，而e，PF12，PF210PF11028.反思与感悟椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行跟踪训练1已知椭圆1上一点P到右焦点F2的距离为b(b1)，求P到左准线的距离解方法一由1，得a2b，cb，e.由椭圆第一定义，PF1PF22a4b，得PF14bPF24bb3b.由椭圆第二定义，e，d1为P到左准线的距离，d12b，即P到左准线的距离为2b.方法二e，d2为P到右准线的距离e，d2b.又椭圆的两准线的距离为2b，P到左准线的距离为bb2b.题型二应用统一定义转化求最值例2已知椭圆1内有一点P(1，1)，F是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M，使MP2MF之值为最小 解设d为M到右准线的距离e，d，即d2MF(如图)故MP2MFMPdPM.显然，当P、M、M三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M的坐标为(，1)反思与感悟本例中，利用统一定义，将椭圆上点M到焦点F的距离转化为到准线的距离，再利用图形，形象直观，使问题得到简捷的解决跟踪训练2已知双曲线1的右焦点为F，点A(9,2)，试在双曲线上求一点M，使MAMF的值最小，并求这个最小值 解过M作MN垂直于双曲线的右准线l于N，由第二定义可知MN(如图)又a3，b4，c5，e，MNMF，MAMFMAMN，显然当M、N、A三点共线时MAMNAN为最小，即MAMF取得最小值，此时AN99，MAMF的最小值为，此时点M(，2)题型三圆锥曲线统一定义的综合应用例3已知A、B是椭圆1上的点，F2是右焦点，且AF2BF2a，AB的中点N到左准线的距离等于，求此椭圆方程解设F1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF1BF12aAF22aBF24a(AF2BF2)4aaa.再设A、B、N三点到左准线距离分别为d1，d2，d3，由梯形中位线定理有d1d22d33，而已知b2a2，c2a2，离心率e，由统一定义AF1ed1，BF1ed2，AF1BF1e(d1d2)，又AF1BF1a，a1，椭圆方程为x21.反思与感悟在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法跟踪训练3设P(x0，y0)是椭圆1(ab0)上任意一点，F1为其左焦点(1)求PF1的最小值和最大值；(2)在椭圆1上求一点P，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直解(1)对应于F1的准线方程为x，根据统一定义：e，PF1aex0.又ax0a，当x0a时，(PF1)mina(a)ac；当x0a时，(PF1)maxaaac.(2)a225，b25，c220，e2.PFPFF1F，(aex0)2(aex0)24c2.将数据代入得25x40.x0.代入椭圆方程得P点的坐标为，.1已知方程(1k)x2(1k)y21表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为_答案1k1解析由题意得解得即1kc恒成立，由椭圆性质知OPb，其中b为椭圆短半轴长，bc，c22c2，()2，e.又0e1，0e.4已知椭圆1(ab0)与双曲线1(m0，n0)，有相同的焦点(c,0)和(c,0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是_答案解析由题意，得由可得m2n22n22m2，即n23m2，代入得4m2c2c2m，代入得4m2ama4m.所以椭圆的离心率e.5已知抛物线y24x上一点M到焦点的距离为5，则点M到y轴的距离为_答案4解析由抛物线定义知点M到准线x1的距离为5，所以点M到y轴的距离为4.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数2利用圆锥曲线的统