2.3直线、平面垂直的判定及其性质课件.ppt

第一课时 直线与平面垂直的概念和判定 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.前面我们全面分析了直线与平面平 行的概念、判定和性质，对于直线与平 面相交，又有哪些相关概念和原理？我 们有必要进一步研究. 2.直线与直线存在有垂直关系，直 线与平面也存在有垂直关系，我们如何 从理论上加以认识？ 知识探究（一）：直线与平面垂直的概念 思考1：田径场地面上竖立的旗杆与 地面的位置关系给人以什么感觉？ 你还能列举一些类似的实例吗？ 思考2：将一本书打开直立在桌面上 ，观察书脊（想象成一条直线）与 桌面的位置关系呈什么状态？此时 书脊与每页书和桌面的交线的位置 关系如何？ 思考3：如图，在阳光下观察直立于 地面的旗杆及它在地面的影子，随 着时间的变化，影子bc的位置在移 动，在各时刻旗杆ab所在直线与影 子bc所在直线的位置关系如何？ a b c 思考4：上述旗杆与地面、书脊与桌 面的位置关系，称为直线与平面垂 直.一般地，直线与平面垂直的基本 特征是什么？怎样定义直线与平面 垂直？ 如果一条直线与平面内的任意一 条直线都垂直，则称这条直线与这个 平面垂直. 思考5：在图形上、符号上怎样表示 直线与平面垂直？ l 思考6：如果直线l与平面垂直，则 直线l叫做平面的垂线，平面叫 做直线l的垂面，它们的交点叫做垂 足.那么过一点可作多少条平面的 垂线？过一点可作多少个直线l的垂 面？ l a 垂线 垂面 垂足 知识探究（二）：直线与平面垂直的判定 思考1：对于一条直线和一个平面，如果 根据定义来判断它们是否垂直，需要解 决什么问题？如何操作？ 思考2：我们需要寻求一个简单可行的办 法来判定直线与平面垂直. 如果直线l与平面内的两条直线垂直， 能保证l吗？ 如果直线l与平面内的一条直线垂直， 能保证l吗？ 思考3：如图，将一块三角形纸片abc 沿折痕ad折起，把翻折后的纸片竖起 放置在桌面上，使bd、dc与桌面接触 ，观察折痕ad与桌面的位置关系. a b c d a b c d 思考4：由上可知当折痕ad垂直平面 内的两条相交直线时，折痕ad与平 面垂直.由此我们是否能得出直线与 平面垂直的判定方法？ a bc d a b c d 如何调整折痕ad的位置，才能使翻折后 直线ad与桌面所在的平面垂直？ 定理： 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那么这 条直线垂直于这个平面. 思考5：上述定理通常称为直线和平面垂 直的判定定理，它是判定直线与平面垂 直的理论依据.结合下图，怎样用符号语 言表述这个定理？ a l p b 思考6：如果一条直线垂直于一个 平面内的无数条直线，那么这条直 线与这个平面垂直吗？ 理论迁移 例1 已知 .求证： a b c d 例2 在三棱锥p-abc中，pa平面 abc，abbc，pa=ab，d为pb的中点 ，求证：adpc. p a b c d e 例3 侧棱与底面垂直的棱柱称为直 棱柱.在直四棱柱abcd-a1b1c1d1中， 当底面四边形abcd满足什么条件时 ，有a1cb1d1，说明你的理由. a a1 b c d b1 c1 d1 acbd d. 小结作业 p67 练习： 1. p74习题2.3b组：2，4. 第二课时 直线和平面所成的角 2.3.1 直线与平面垂直的判定 问题提出 1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？ 定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直. 定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面. 2.当直线与平面相交时，对于直线 与平面垂直的情形，我们已作了一些相 关研究，对于直线与平面不垂直的情形 ，我们需要从理论上作些分析. 知识探究（一）：平面的斜线 思考1:当直线与平面相交时，它们可能 垂直，也可能不垂直，如果一条直线和 一个平面相交但不垂直，这条直线叫做 这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫 做斜足.那么过一点作一个平面的斜线 有多少条？ l p 斜线 斜足 思考2:过斜线上斜足外一点向平面引 垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这 条斜线在这个平面上的射影.那么斜 线l在平面内的射影有几条？ l p ab 思考3:两条平行直线、相交直线、异 面直线在同一个平面内的射影可能是 哪些图形？ 思考4:如图，过平面外一点p引平 面的两条斜线段pa、pb，斜足为a 、b，再过点p引平面的垂线，垂 足为o，如果papb，那么oa与ob的 大小关系如何？反之成立吗？ o p a b 思考5:如图，过平面内一点p引平 面的两条斜线pa、pb，这两条斜 线段在平面内的射影分别为pc、 pd，如果papb，那么pc与pd的大小 关系确定吗？ c p a b d 思考6:如图，直线l是平面的一条 斜线，它在平面内的射影为b，直 线a在平面内，如果ab，那么直 线a与直线l垂直吗？为什么？反之成 立吗？ a l b 知识探究（二）：直线和平面所成的角 思考1:平面的一条斜线与这个平面总存 在一个相对倾斜度，我们设想用一个平 面角来反映这个倾斜度，并且这个角的 大小由斜线与平面的相对位置关系所确 定，那么角的顶点宜选在何处？ l 思考2:如图，ab为平面的一条斜线 ，a为斜足，ac为平面内的任意一 条直线，能否用bac反映斜线ab与 平面的相对倾斜度？为什么？ c a b 思考3:反映斜线与平面相对倾斜度 的平面角的顶点为斜足，角的一边 在斜线上，另一边在平面内的哪个 位置最合适？为什么？ p a b 思考4:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中，怎样去求这个角？ p a b 思考5:特别地，当一条直线与平面垂 直时，规定它们所成的角为90；当 一条直线和平面平行或在平面内时， 规定它们所成的角为0.这样，任何 一条直线和一个平面的相对倾斜度都 可以用一个角来反映，那么直线与平 面所成的角的取值范围是什么？ 思考6:如图，bad为斜线ab与平面 所成的角，ac为平面内的一条直 线，那么bad与bac的大小关系如 何？ d c a b bac bad 思考7:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？ 思考8:过平面外一点p引平面的 斜线，斜足为a，若斜线pa与平面 所成的角为50，那么点a在平面 内的运动轨迹是什么图形？ p ao 理论迁移 例1 在正方体abcd-a1b1c1d1中. （1）求直线a1b和平面abcd所成的角； （2）求直线a1b和平面a1b1cd所成的角. d1 a b a1 c b1 c1 d o 例2 如图，ab为平面的一条斜线， b为斜足，ao平面，垂足为o，直 线bc在平面内，已知abc=60， obc=45，求斜线ab和平面所成 的角. a b c o d 作业: p67 练习：2. p74习题2.3a组：9. 2.3.2 平面与平面垂直的判定 第一课时 二面角的有关概念 问题提出 1.空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识. 2.在铁路、公路旁，为防止山体滑坡 ，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜 面与水平面成适当的角度；修筑水坝时 ，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面 与水平面成适当的角度，如何从数学的 观点认识这种现象？ 公路 知识探究（一）：二面角的有关概念 思考1:直线上的一点将直线分割成两 部分，每一部分都叫做射线. 平面上 的一条直线将平面分割成两部分，每 一部分叫什么名称？ 半平面 半平面 射线射线 思考2:将一条直线沿直线上一点折起 ，得到的平面图形是一个角，将一个 平面沿平面上的一条直线折起，得到 的空间图形称为二面角，你能画一个 二面角的直观图吗？ 思考3:在平面几何中，我们把角定 义为“从一点出发的两条射线所组 成的图形叫做角”，按照这种定义 方式，二面角的定义如何？ 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角 思考4:下列两个二面角在摆放上有什 么不同？ l l 思考5:一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线l叫做二面 角的棱，两个半平面、都叫做二 面角的面，二面角通常记作“二面角 -l-”.那么两个相交平面共组成 几个二面角？ l 棱 面 知识探究（二）：二面角的平面角 思考1:把门打开，门和墙构成二面角 ；把书打开，相邻两页书也构成二面 角.随着打开的程度不同，可得到不 同的二面角，这些二面角的区别在哪 里？ 思考2:我们设想用一个平面角来反映 二面角的两个半平面的相对倾斜度， 那么平面角的顶点应选在何处？角的 两边在如何分布？ l 思考3:在二面角-l-的棱上取一 点o，过点o分别在二面角的两个面内 任作两条射线oa，ob，能否用aob 来刻画二面角的张开程度？ l o a b 思考4:在上图中如何调整oa、ob的位 置，使aob被二面角-l-唯一确 定？这个角的大小是否与顶点o在棱 上的位置有关？ l o a b l o a b 思考5:上面所作的角叫做二面角的平 面角，你能给二面角的平面角下个定 义吗？ 以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角. l o a b 思考6:二面角的大小可以用它的平面 角来度量，二面角的平面角是多少度 ，就说二面角是多少度.平面角是直 角的二面角叫做直二面角. 当二面角 的两个面重合时，二面角的大小为多 少度？当二面角的两个面合成一个平 面时，二面角的大小为多少度？一般 地，二面角的平面角的取值范围如何 ？ 思考7:如图，过二面角-l-一个 面内一点a，作另一个面的垂线，垂 足为b，过点b作棱的垂线，垂足为o ，连结ao，则aob是二面角的平面 角吗？为什么？ a b o l 思考8:如图，平面垂直于二面角的 棱l，分别与面、相交于oa、ob ，则aob是二面角的平面角吗？为 什么？ l a o b 理论迁移 例1 在正方体abcd-a1b1c1d1中， 求二面角b1-ac-b大小的正切值. a a1 b c d b1 c1 d1 o 例2 如图所示，河堤斜面与水平面 所成二面角为 ，堤面上有一条直 道cd，它与堤角的水平线ab的夹角为 ，沿这条直道从堤脚c向上行走10m到 达e处，此时人升高了多少m？ a b c d e o f 作业: p73习题2.3 a组：4，7. 第二课时 平面与平面垂直 2.3.2 平面与平面垂直的判定 问题提出 1.二面角与二面角的平面角分 别是什么含义？二面角的平面角有 哪几个基本特征？ (1)顶点在棱上； (2)边在两个面内； (3)边垂直于棱. 2.直线与直线，直线与平面可以 垂直，平面与平面是否存在垂直关 系？如何认识两个平面垂直？我们 从理论上作些探讨. 知识探究（一）：两个平面垂直的概念 思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的？直线与平面垂直是怎样定义 的？ 思考2:什么叫直二面角？如果两个相 交平面所成的四个二面角中，有一个 是直二面角，那么其他三个二面角的 大小如何？ 思考3:如果两个相交平面所成的二面 角是直二面角，则称这两个平面互相 垂直.在你的周围或空间几何体中， 有哪些实例反映出两个平面垂直？ 思考4:在图形上，符号上怎样表示 两个平面互相垂直？ 思考5:如果平面平面，那么平 面内的任一条直线都与平面垂直 吗？ 知识探究（二）：两个平面垂直的判定 思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题？ 思考2:如图，aob为直二面角 -l-的平面角，那么直线ao与 平面的位置关系如何？ a b o l 思考3：在二面角-l-中，直线m 在平面内，如果m，那么二面 角-l-是直二面角吗？ m l a 思考4:根据上述分析，可以得到两个 平面互相垂直的判定定理，用文字语 言如何表述这个定理？ 如果一个平面经过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直. 思考5:结合图形，两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述？ l 思考6:过一点p可以作多少个平面与 平面垂直？过一条直线l可以作多 少个平面与平面垂直？ p l l 理论迁移 例1 如图，o在平面内，ab是 o的直径，pa，c为圆周上不同 于a、b的任意一点，求证： 平面pac平面pbc. p a b c o 例2 如图，四棱锥p-abcd的底面 为矩形，pa底面abcd，pa=ad，m 为ab的中点，求证：平面pmc平面 pcd. p ab c d m e f 例3 在四面体abcd中，已知acbd， bac=cad=45，bad=60， 求证：平面abc平面acd. a b c d e 作业: p73习题2.3a组：3，6. p74习题2.3b组：1. 2.3.3 直线与平面垂直的性质 问题提出 1.直线与平面垂直的定义是什么 ？如何判定直线与平面垂直？ 2.直线与平面垂直的判定定理， 解决了直线与平面垂直的条件问题； 反之，在直线与平面垂直的条件下， 能得到哪些结论？ 知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理 思考1:如图，长方体abcda1b1c1d1 中，棱aa1，bb1，cc1，dd1所在直线 与底面abcd的位置关系如何？它们彼 此之间具有什么位置关系？ a a1 b cd b1 c1 d1 思考2:如果直线a，b都垂直于同一条 直线l，那么直线a，b的位置关系如 何？ a b l a b l a b l 思考3:一个平面的垂线有多少条？这 些直线彼此之间具有什么位置关系？ 思考4:如果直线a，b都垂直于平面 ，由观察可知a/b，从理论上如 何证明这个结论？ c o a b 思考5：根据上述分析，得到一个什 么结论？ 定理 垂直于同一个平面的两条直 线平行 思考6:上述定理通常叫做直线与平 面垂直的性质定理.用符号语言可表 述为： .该定理 有什么功能作用？ 思考1:设a，b为直线，为平面，若 a，b/a，则b与的位置关系如 何？为什么？ ab 知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究 思考2:设a，b为直线，为平面，若 a，b/，则a与b的位置关系如 何？为什么？ a b l 思考3:设l为直线，为平面， 若l，/，则l与的位置关 系如何？为什么？ l a b 思考4:设l为直线，、为平面， 若l，l，则平面、的位 置关系如何？为什么？ l 理论迁移 例1 如图，已知 于点a， 于点b， 求证： . a b c l a 例2 如图，已知 求证： a a b b l （2）若 ，求证：mn 面pcd 例3 如图，已知 矩形abcd所 在平面，m、n分别是ab、pc的中点 求证： （1） p a b c d m n e 作业: p71练习：1，2.（做书上） 2.3.4 平面与平面垂直的性质 问题提出 1.平面与平面垂直的定义是什 么？如何判定平面与平面垂直？ 2.平面与平面垂直的判定定理， 解决了两个平面垂直的条件问题；反 之，在平面与平面垂直的条件下，能 得到哪些结论？ 定义和判定定理 知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理 思考1:如果平面与平面互相垂直 ，直线l在平面内，那么直线l与平 面的位置关系有哪几种可能？ l l l 知识探究（一）平面与平面垂直的性质定理 思考2:黑板所在平面与地面所在平面 垂直，在黑板上是否存在直线与地面 垂直？若存在，怎样画线？ 思考3:如图，长方体abcda1b1c1d1 中，平面a1add1与平面abcd垂直，其 交线为ad，直线a1a，d1d都在平面