中考数学：分类讨论思想与动态几何问题应用例析.doc

分类讨论思想与动态几何问题应用例析综观近几年来的中考数学试题，几何动态型问题在全国各省市的中考试题出现的频率相当高，用“无“动”不成卷”也不为过。命题者为何对动态几何型问题情有独钟，主要的原因是这类问题往往可以与函数、几何、代数知识结合，数学分类讨论思想等等联系起来，比较容易形成一道综合程度较高的试题。从学生解答情况分析，往往存在这样两个问题：.分类讨论数学思想缺乏或意识不强；. 几何构图经验与想象能力缺乏解题表征：无法解答或解答不完整二、问题举例：例如图，点a，b在直线mn上，ab11cm，a，b的半径均为1cma以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时， b的半径也不断增大，其半径r（cm）与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t0）试写出a，b之间的距离d （cm）与时间t （秒）之间的函数表达式问点a出发多少秒两圆相切？本题见中考数学命题热点与考点透视之分层训练p135页。出自2010年辽宁省锦州市数学中考试题第15题，原题为一道填空题。【涉及知识点】两圆的位置关系【分析】a以每秒2cm的速度自左向右运动，则圆心a也以每秒2cm的速度自左向右运动，t秒后点a运动的路程为2t（cm），而ab11。根据a与b的位置不同可分为两种情况：当时，；当时，。b的半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t0)，根据切点的位置不同，两圆相切有四种情形，当tt时，即t秒时，两圆第一次相切；当2tt11时，即t秒时，两圆第二次相切；当2tt11时，即t11时，两圆第三次相切；当2tt13时，即t13时，两圆第四次相切【答案】3秒，秒，11秒，13秒 【点评】本题考查学生对两圆的位置关系的掌握情况，题目较为灵活，以两圆的动态情形展现了两圆的位置关系与圆心距的关系，解题时要对各种情形运用分类讨论思想来分析探讨例2如图，已知正方形与正方形的边长分别是和，它们的中心都在直线上，在直线上，与相交于点，当正方形沿直线 以每秒1个单位的速度向左平移时，正方形也绕以每秒顺时针方向开始旋转，在运动变化过程中，它们的形状和大小都不改变（1）在开始运动前， ；（2）当两个正方形按照各自的运动方式同时运动3秒时，正方形停止旋转，这时 ， ；（3）当正方形停止旋转后，正方形继续向左平移的时间为秒，两正方形重叠部分的面积为，求与之间的函数表达式abcdefghlo2o1m分析：本题为2007年山西临汾市中考第25题（全卷26题，本题满分12分）。主要考查四边形的基础知识，考查学生应用运动观念，通过观察、动手操作等活动获得数学猜想的能力和分类讨论、数形结合的思想方法解：（1）9（2）0，66分abcdefghlo2o1abcdefghlo2o1abcdefghlo2o1图1图2图3（3）当正方形停止运动后，正方形继续向左平移时，与正方形重叠部分的形状也是正方形重叠部分的面积与之间的函数关系应分四种情况：如图1，当时，与之间的函数关系式为8分如图2，当时，与之间的函数关系式为9分如图3，当时，与之间的函数关系式为11分当时，与之间的函数关系式为12分例3如图，已知抛物线yx2x4交x轴的正半轴于点a，交y轴于点b（1）求a、b两点的坐标，并求直线ab的解析式；来源:学。科。网（2）设p（x，y）（x0）是直线yx上的一点，q是op的中点（o是原点），以pq为对角线作正方形peqf，若正方形peqf与直线ab有公共点，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，记正方形peqf与oab公共部分的面积为s，求s关于x的函数解析式，并探究s的最大值本题为2010年嘉兴市中考数学试题第24题（压轴题）。（1）令，得，即，解得，所以令，得，所以设直线ab的解析式为，则，解得，所以直线ab的解析式为 5分（2）当点在直线ab上时，解得，当点在直线ab上时，解得所以，若正方形peqf与直线ab有公共点，则 4分（3）当点在直线ab上时，（此时点f也在直线ab上），解得当时，直线ab分别与pe、pf有交点，设交点分别为c、d，（第24题）此时，又，所以，从而，因为，所以当时，当时，直线ab分别与qe、qf有交点，设交点分别为m、n，（第24题 备用）此时，又，所以，即其中当时，来源:学&科&网z&x&x&k综合得，当时， 5分28.如图，梯形abcd中，adbc,bad=90，cead于点e,ad=8cm，bc=4cm,ab=5cm。从初始时刻开始，动点p,q 分别从点a,b同时出发，运动速度均为1 cm /s, 动点p沿a-b-c-e的方向运动，到点e停止；动点q沿b-c-e-d的方向运动，到点d停止，设运动时间为s，pa q的面积为y cm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形)解答下列问题：(1) 当x=2s时，y=_ cm2;当= s时，y=_ cm2(2）当5 x 14 时，求y与之间的函数关系式。(3）当动点p在线段bc上运动时，求出s梯形abcd时的值。（4）直接写出在整个运动过程中，使pq与四边形abce的对角线平行的所有x的值解：（1） 2；9、（2） 当59时 y= s梯形abcq sabp spcq =(5+-4)45(-5)(9-)(-4) 当913时y=（-9+4）(14-)当1314时 y=8(14-)=-4+56即y=-4+56（3） 当动点p在线段bc上运动时，s梯形abcd (4+8)5 = 8即-14+49 = 0解得1 = 2 = 7当=7时，s梯形abcd（4） 说明：（1）自变量取值不含9，13可不扣分.(2）不画草图或草图不正确，可不扣分例5如图，矩形abcd中，ab=6，bc=，点o是ab的中点，点p在ab的延长线上，且bp=3一动点e从o点出发，以每秒1个单位长度的速度沿oa匀速运动，到达a点后，立即以原速度沿ao返回；另一动点f从p点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线pa匀速运动，点e、f同时出发，当两点相遇时停止运动，在点e、f的运动过程中，以ef为边作等边efg，使efg和矩形abcd在射线pa的同侧设运动的时间为t秒（t0）（1）当等边efg的边fg恰好经过点c时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设等边efg和矩形abcd重叠部分的面积为s，请直接写出s与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）设eg与矩形abcd的对角线ac的交点为h，是否存在这样的t，使aoh是等腰三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由考点：相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；矩形的性质；解直角三角形。专题：代数几何综合题；动点型；分类讨论。分析：（1）当边fg恰好经过点c时，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，解直角三角形可求t的值；（2）按照等边efg和矩形abcd重叠部分的图形特点，分为0t1，1t3，3t4，4t6四种情况，分别写出函数关系式；（3）存在当aoh是等腰三角形时，分为ah=ao=3，ha=ho，oh=oa三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值解答：解：（1）当边fg恰好经过点c时，cfb=60，bf=3t，在rtcbf中，bc=23，tancfb=bcbf，即tan60=23bf，解得bf=2，即3t=2，t=1，当边fg恰好经过点c时，t=1；（2）当0t1时，s=23t+43；当1t3时，s=32t2+33t+732；当3t4时，s=43t+203；当4t6时，s=3t2123t+363；（3）存在理由如下：在rtabc中，tancab=bcab=33，cab=30，又heo=60，hae=ahe=30，ae=he=3t或t3，1）当ah=ao=3时，（如图），过点e作emah于m，则am=12ah=32，在rtame中，cosmaeamae，即cos30=32ae，ae=3，即3t=3或t3=3，t=33或t=3+3，2）当ha=ho时，（如图）则hoa=hao=30，又heo=60，eho=90，eo=2he=2ae，又ae+eo=3，ae+2ae=3，ae=1，即3t=1或t3=1，t=2或t=4；3）当oh=