湖南师大附中2013届高三第5次月考数学文.doc

湖南师大附中2013届高三月考试卷(五)数学（文科）(考试范围：高中文科数学全部内容)一选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合， ，则= （ a ） a b c d【解析】利用数轴易知选a.2等差数列中，则 （ c ）a16 b21c20d31【解析】由，可求得.3.给出如下四个命题： 若“且”为假命题，则、均为假命题；若等差数列的前n项和为则三点共线; “xr，x211”的否定是 “xr，x211”; 在中，“”是“”的充要条件其中正确的命题的个数是 （ d ）a1 b 4 c 3 d2【解析】若“且”为假命题，则、至少有一个为假命题，所以错；若等差数列的前n项和为，则数列为等差数列，所以对；“xr，x211”的否定是 “xr，x211，则双曲线c的离心率e的取值范围是 （ c ） a.(1，) b. (，+) c. (1，) d. (，+)【解析】联立双曲线渐近线和抛物线方程，消去y得：，由x0知，即，故，又e 1，所以1 e ，故选b.8.在约束条件下，若目标函数的最大值不超过4，则实数的取值范围 （ d ）a b c d 【解析】作出可行域，即知目标函数在点处取得最大值.由得9. 已知，实数a、b、c满足0，且0abc，若实数是函数的一个零点，那么下列不等式中，不可能成立的是 （ d ） aabbccdc 【解析】当时，当时0，且，所以不可能成立.二填空题：本大题共7个小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上（一）选做题：从下列两题中任意选做一题，若两题全做，则只按第9题记分10（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程为的圆与参数方程为 的直线位置关系是_ _相交_.【解析】.圆心（0,1）到直线的距离小于半径1.11（优选法选做题）下列五个函数：，中，不是单峰函数的是_【解析】根据单峰函数的定义知是单峰函数.（二）必做题（1116题）12定义运算，复数z满足则复数在复平面对应点为p_（2，-1） .【解析】设，则即，所以在复平面对应点为p（2，-1）.13已知，若对，使，则的范围 .【解析】若对，；使，则当时，；当时，.所以，由，得.314一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ a ）42a 左视图主视图b c 俯视图d【解析】由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；把它扩展为长方体，两者有相同的外接球，它的对角线的长为球的直径，即该三棱锥的外接球的表面积为：.15已知m是面积为1的abc内的一点（不含边界），若mbc，mca和mab的面积分别为，则的最小值是 3 .【解析】由已知可得，.16对于定义域和值域均为的函数，定义，n=1，2，3，满足的点称为f的阶周期点（1）设则f的阶周期点的个数是_1_;（2）设则f的阶周期点的个数是_4_ .【解析】（1）得；（2）当，即时，.由得;当,即时，由，得；同理可得另两个周期点.三、解答题：本大题共6个小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本题满分12分)已知a，b，c是的三个内角，a，b，c对的边分别为a，b，c，设平面向量，.（）求角a的值；（）若，设角b的大小为，的周长为，求的最大值.解析（），且 ，即 （3分） a，b，c是的三个内角， 即，又 （6分）（）由，及正弦定理得 （8分）+ （10分），即时， （12分）18(本题满分12分)某同学利用国庆节进行社会实践，对25，55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳生活的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组1200.6第二组195p第三组1000.5第四组a0.4第五组300.3第六组150.3（1）补全频率分布直方图，并求n,a,p的值；（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样抽取6人参加户外低碳体验生活，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率。解：（1）第二组的频率为1-（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）5=0.3所以高为 （2分）频率直方图如下：第一组的人数为，频率为，所以由题意可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以 （6分）（2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人， 岁中有2人. （8分）设岁中的4人为岁中的2人为，则选取2人作为领队的情况有：共15种，其中恰有1人年龄在 岁的情况有：，共8种. （11分）所以选取的2名领队中恰有1人年龄在岁的概率为 （12分）19(本题满分12分)如图，三棱锥中，.abdc（）证明：；（）求直线ac与平面abd所成的角的正弦值.解析：（）在中， ， （2分） 又，且 ，又 （6分）（）在三角形中， ， 由（1）可知： （8分） 在中， ， 在中，故 （10分）设点c到平面abd的距离为h，ca与平面abd所成的角为 即ac与平面abd所成的角的正弦值为 （12分）20(本题满分13分)已知单调递增的等比数列满足：；（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为,求成立的正整数 n的最小值.【解析】（1）设等比数列的首项为，公比为q，依题意，有，解之得或；（4分）又单调递增，.6分）（2）依题意，, （8分） ， ，-得， （10分）即为，当n4时，；当n5时，.使成立的正整数n的最小值为5. （13分）21(本题满分13分)为了使“神州七号”飞船的返回仓顺利返回地面，及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援点a、b、c（如图）.其中点b在点a的正东方向，且与点a相距6km；点c在点b的北偏东30方向，且与点b相距4km.某一时刻，返回仓于点p着陆，并同时发出着陆信号.由于b、c两地比a地距着陆点p远，因此在救援点a收到信号4s后，b、c两个救援点才同时接受到返回仓的着陆信号，已知该信号的传播速度为1km/s.（1）试确定返回仓的着陆点p相对于救援点a的位置；（2）若返回仓在着陆点p的正上方某处发出信号，那么救援点a与b收到信号的时间差变大还是变小？说明你的理由.pcba【解】（1）以ab所在直线为x轴，线段ab的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则点a(3，0)，b(3，0). （2分）过点c作x轴的垂线，垂足为d，由已知，|bc|4，cbd60.则|bd|4cos602，|cd|4sin60，所以c(5，). 因为|pb|pc|，所以点p在线段bc的垂直平分线上.因为直线bc的斜率为tan60，线段bc的中点为(4，).abcpdxyoe所以线段bc的垂直平分线方程为是，即.因为|pb|pa|4，所以点p在以a、b为焦点的双曲线左支上，且双曲线方程为.（4分）由，即(11x32)(x8)0. 因为x0，所以x8，点p(8，).过点p作x轴的垂线，垂足为e，则|ae|5，|pe|.所以|pa|10，tanpae，即pae60.故着陆点p位于救援点a的北偏西30，且与点a相距10km. （8分）（2）设返回仓在着陆点p的正上方点m处发出信号，|pm|h，|pa|a，|pb|b，如图.abmp则 . 故救援点a与b收到信号的时间差变小. （13分）22 (本题满分13分)已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明不等式解：（1）函数的定义域是且（1分）当时，从而，函数在上单调递减；当时，若，则，从而；若，则，从而，所以函数在上单调递减，在上单调递增. （4分）（2）由（1）可知，函数的极值点是，若，则.若在上恒成立，即在上恒成立，只需在上恒成立. （6分）令，则，易知为函数在内唯一的极小值点，也是最小值点，故，即=，故只要即可.所以b的取值