初高中数学衔接知识

数数 学学 温馨提示：温馨提示： 这套辅导材料用于同学们假期复习使用，均附有答案。这套辅导材料用于同学们假期复习使用，均附有答案。 请按照老师提示，认真复习初中教材，查阅工具书，独立完成。请按照老师提示，认真复习初中教材，查阅工具书，独立完成。 开学时将材料带回交给班主任验收，并据此安排入学考试。开学时将材料带回交给班主任验收，并据此安排入学考试。 进进入高中，你入高中，你们们是高中生了，做好了充分的准是高中生了，做好了充分的准备吗备吗？其？其实实学好高中数学并不学好高中数学并不难难，你只要，你只要 有有坚韧坚韧不拔的毅力，不拔的毅力，认认真做真做题题，善于，善于总结归纳总结归纳，持之以恒，相信你一定能成功。，持之以恒，相信你一定能成功。 假期假期发给发给你你们们的的这这本小册子，是本小册子，是为为了初高中知了初高中知识衔识衔接而接而编编写的。写的。为为了使你了使你们们在初高中数在初高中数 学学学学习习上形成上形成较较好的好的连续连续性，能有效地克服知性，能有效地克服知识识和方法上的跳和方法上的跳跃跃，利于激，利于激发发你你们们学学习习数学的数学的 兴兴趣。你趣。你们们一定要利用好暑假，做好初、高中数学教材的一定要利用好暑假，做好初、高中数学教材的衔衔接。接。A 组题组题要全部完成，要全部完成，B 组题组题供供 学有余力学生完成。学有余力学生完成。 学数学的几个建议：学数学的几个建议： 1、记记数数学学笔笔记记，特特别别是是对对概概念念理理解解的的不不同同侧侧面面和和数数学学规规律律，教教师师为为备备战战高高考考而而加加的的课课外外知知 识识。 记记录录下下来来本本章章你你觉觉得得最最有有价价值值的的思思想想方方法法或或例例题题，以以及及你你还还存存在在的的未未解解决决的的问问题题，以以便便今今 后后将将其其补补上上。 2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到： 找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄 个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。 3、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的、熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的 熟练程度。熟练程度。 4、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行、经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装整体集装”，如表格化，使知识结构，如表格化，使知识结构 一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题一目了然；经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问题 归纳于同一知识方法。归纳于同一知识方法。 5、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自、阅读数学课外书籍与报刊，参加数学学科课外活动与讲座，多做数学课外题，加大自 学力度，拓展自己的知识面。学力度，拓展自己的知识面。 6、及及时时复复习习，强强化化对对基基本本概概念念知知识识体体系系的的理理解解与与记记忆忆，进进行行适适当当的的反反复复巩巩固固，消消灭灭前前学学后后 忘忘。 7、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：、学会从多角度、多层次地进行总结归类。如：从数学思想分类从数学思想分类从解题方法归类从解题方法归类 从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。从知识应用上分类等，使所学的知识系统化、条理化、专题化、网络化。 8、经常在做题后进行一定的、经常在做题后进行一定的“反思反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什 么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，么，为什么要这样想，是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时， 是否也用到过。是否也用到过。 9、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去、无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去 追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。追求速度或技巧，这是学好数学的重要问题。 初高中数学衔接教材初高中数学衔接教材 现有初高中数学知识存在以下现有初高中数学知识存在以下“脱节脱节” 1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2因式分解初中一般只限于二次项且系数为因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为的分解，对系数不为“1”的涉及不多的涉及不多, 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方如解方 程、不等式等。程、不等式等。 3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不 等式常用的解题技巧。等式常用的解题技巧。 4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的 重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭 区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作 要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式 与二次方程相互转化被视为重要内容，与二次方程相互转化被视为重要内容， 6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、 下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视而高中这部分内容视 为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理， 相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。 另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。 - 2 - 目目 录录 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1 绝对值绝对值 1.1.2. 乘法公式乘法公式 1.1.3二次根式二次根式 1.1.分式分式 12 分解因式分解因式 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 2.2 二次函数二次函数 2.2.1 二次函数二次函数 yax2bxc 的图像和性质的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法二元二次方程组解法 2.3.2 一元二次不等式解法一元二次不等式解法 3.1 相似形相似形 3.1.1平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形相似形 3.2 三角形三角形 3.2.1 三角形的三角形的“四心四心” 3.2.2 几种特殊的三角形几种特殊的三角形 3.3 圆圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系直线与圆，圆与圆的位置关系 1.1 数与式的运算数与式的运算 1.1.1绝对值绝对值 一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的一、概念：绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的 绝对值仍是零即绝对值仍是零即 ,0, |0,0, ,0. aa aa a a 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义：两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数表示在数轴上，数和数和数之间的距离之间的距离ba ab 二、典型例题：二、典型例题： 例例 1 解不等式：解不等式：4|1|x 解法一：由解法一：由，得，得；01x1x 若若，不等式可变为，不等式可变为，即，即，得，得，又，又 x1，1x4) 1( x41 x3x x-3； 若若，不等式可变为，不等式可变为，x14) 1(x 即即 又又 5x1x5x 综上所述，原不等式的解为综上所述，原不等式的解为或或。3x5x 解法二：如图解法二：如图 111，表示表示 x 轴上坐标为轴上坐标为 x 的点的点 P 到坐标为到坐标为 1 的点的点 A 之间的距离之间的距离1x |PA|，即，即|PA|x1|； 所以所以的几何意义即为的几何意义即为4|1|x |PA|4 可知点可知点 P 在点在点 C(坐标为坐标为-3)的左侧、或点的左侧、或点 P 在点在点 D(坐标坐标 5)的右侧的右侧 或或。3x5x 练练 习习 A 1填空：填空： （1）若）若，则，则 x=_；若；若，则，则 x=_.5x4x （2）如果）如果，且，且，则，则 b_；若；若，则，则 c_.5 ba1a21c 2选择题：选择题： 下列叙述正确的是下列叙述正确的是 （ ） （A）若）若，则，则 （B）若）若，则，则 abababab （C）若）若，则，则 （D）若）若，则，则abababab 练习练习 B 3解不等式：解不等式： 3|2|x 4、化简：、化简：|x5|2x13|（x5） 1 A x-3 C x P |x1| 图 111 D 5 - 3 - 1.1.2. 乘法公式乘法公式 一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：一、复习：我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式）平方差公式 ； 22 ()()ab abab （2）完全平方公式）完全平方公式 222 ()2abaabb 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： （1）立方和公式）立方和公式 ； 2233 ()()ab aabbab （2）立方差公式）立方差公式 ； 2233 ()()ab aabbab （3）三数和平方公式）三数和平方公式 ； 2222 ()2()abcabcabbcac （4）两数和立方公式）两数和立方公式 ； 33223 ()33abaa babb （5）两数差立方公式）两数差立方公式 33223 ()33abaa babb 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 二、典型例题二、典型例题 例例 1 计算：计算： 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx 解法一：原式解法一：原式= 2222 (1) (1)xxx = 242 (1)(1)xxx = 6 1x 解法二：原式解法二：原式= 22 (1)(1)(1)(1)xxxxxx = 33 (1)(1)xx = 6 1x 例例 2 已知已知，求，求的值的值4abc4abbcac 222 abc 解：解： 2222 ()2()8abcabcabbcac 练练 习习 A 1填空：填空： （1）（ ） ； 22 1111 () 9423 abba （2） ；(4m 22 )164(mm) (3 ) 2222 (2)4(abcabc) 2选择题：选择题： （1）若）若是一个完全平方式，则是一个完全平方式，则等于等于 （ ） 2 1 2 xmxkk （A） （B） （C） （D） 2 m 2 1 4 m 2 1 3 m 2 1 16 m （2）不论）不论，为何实数，为何实数，的值的值 （ ）ab 22 248abab （A）总是正数）总是正数 （B）总是负数）总是负数 （C）可以是零）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数）可以是正数也可以是负数 1.1.3二次根式二次根式 一、概念：一般地，形如一、概念：一般地，形如的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得(0)a a 尽方的式子称为无理式尽方的式子称为无理式. 例如例如 ，等是无理式，而等是无理式，而 2 32aabb 22 ab ，等是有理式等是有理式 2 2 21 2 xx 22 2xxyy 2 a 1分母（子）有理化分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要 引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我 们就说这两个代数式互为有理化因式，例如们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与与，与与，与与，223 aa3636 与与，等等，等等 一般地，一般地，与与，与与，2 33 22 33 2a xxa xbya xby 与与互为有理化因式互为有理化因式a xba xb 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而 分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用 公式公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通(0,0)a bab ab 过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号 与合并同类二次根式与合并同类二次根式 2 二次根式二次根式的意义的意义 2 a 2 aa ,0, ,0. aa a a 二、典型例题二、典型例题 例例 1 将下列式子化为最简二次根式：将下列式子化为最简二次根式： （1）； （2）； （3）12b 2 (0)a b a 6 4(0)x y x 解：解： （1）； （2）；122 3bb 2 (0)a baba b a （3） 633 422(0)x yxyxy x 例例 2 计算：计算：3(33) 解法一：解法一： 3(33) 3 33 3 (33) (33)(33) 3 33 93 3( 31) 6 31 2 必须记住 - 4 - 解法二：解法二： 3(33) 3 33 3 3( 31) 1 31 31 ( 31)( 31) 31 2 例例 3 试比较下列各组数的大小：试比较下列各组数的大小： （1）和和； （2）和和.12111110 2 64 2 26、 解：解： （1） ， 1211( 1211)( 1211)1 1211 112111211 ， 1110( 1110)( 1110)1 1110 111101110 又又，12111110 12111110 （2） 2 26(2 26)(2 26)2 2 26, 12 262 26 、+ 、 + 又又 42， 2 42， 662 . 2 64 2 26、 例例 4 化简：化简： 20042005 ( 32)( 32) 解：解： 20042005 ( 32)( 32) 20042004 ( 32)( 32)( 32) 2004 ( 32) ( 32)( 32) 2004 1( 32) 32 例例 5 化简：（化简：（1）； （2）94 5 2 2 1 2(01)xx x 解：（解：（1）原式）原式=4545 22 2522)5( 2 (25) 2552 （2）原式）原式=， 2 1 ()x x 1 x x ， ， 所以，原式所以，原式01x 1 1x x 1 x x 练练 习习 A 1填空：填空： （1）_ _； 13 13 （2）若）若，则，则的取值范围是的取值范围是_ _ _； 2 (5)(3)(3) 5x xxxx （3）_ _；4 246 543 962 150 （4）若）若，则，则_ _ 5 2 x 1111 1111 xxxx xxxx （提示先简化后代入）（提示先简化后代入） 2选择题：选择题： 等式等式成立的条件是成立的条件是 （ ） 22 xx xx （A） （B） （C） （D）2x 0x 2x 02x 练习练习 B 3若若，求，求的值的值 22 11 1 aa b a ab 4比较大小：比较大小：2 （填（填“”，或，或“”） 354 - 5 - 1.1.4分式分式 一、概念：一、概念：1分式的意义分式的意义 形如形如的式子，若的式子，若 B 中含有字母，且中含有字母，且，则称，则称为分式当为分式当 M0 时，分式时，分式具有具有 A B 0B A B A B 下列性质：下列性质：； AA M BBM AAM BBM 上述性质被称为分式的基本性质上述性质被称为分式的基本性质 2繁分式繁分式 像像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式 a b cd 2 mnp m np 二、典型例题：二、典型例题： 例例 1 若若，求常数，求常数的值的值 54 (2)2 xAB x xxx ,A B 解：解： ， (2)()254 2(2)(2)(2) ABA xBxAB xAx xxx xx xx x 解得解得 5, 24, AB A 2,3AB 例例 2 （1）试证：）试证：（其中（其中 n 是正整数）是正整数） ； 111 (1)1n nnn （2）计算：）计算：； 111 1 22 39 10 （3）证证明明：对对任任意意大大于于1 的的正正整整数数n， 有有 1111 2 33 4(1)2n n （1）证明：）证明： ， 11(1)1 1(1)(1) nn nnn nn n （其中（其中 n 是正整数）成立是正整数）成立 111 (1)1n nnn （2）解：由（）解：由（1）可知）可知 111 1 22 39 10 11111 (1)()() 223910 1 1 10 9 10 （3）证明：）证明： 111 2 33 4(1)n n 111111 ()()() 23341nn ， 11 21n 又又 n2，且，且 n 是正整数，是正整数， 一定为正数，一定为正数， 1 n1 111 2 33 4(1)n n 1 2 例例 3 设设，且，且 e1，2c25ac2a20，求，求 e 的值的值 c e a 解：在解：在 2c25ac2a20 两边同除以两边同除以 a2，得，得 2e25e20， (2e1)(e2)0， e 1，舍去；或，舍去；或 e2 e2 1 2 练习练习 A 1填空题：填空题： 对任意的正整数对任意的正整数 n， ()； 1 (2)n n 11 2nn 2选择题：选择题： 若若，则，则 （ ） 22 3 xy xy x y （A） （B） （C） （D） 5 4 4 5 6 5 3正数正数满足满足，求，求的值的值, x yxyyx2 22 xy xy 4计算计算 1111 . 1 22 33 499 100 - 6 - 习题习题 11 A 组组 1解不等式：解不等式：13x 已知已知，求，求的值的值1xy 33 3xyxy 3填空：填空： （1）_； 1819 (23) (23) （2）若）若，则，则的取值范围是的取值范围是_； 22 (1)(1)2aaa （3）_ 11111 1223344556 4填空：填空：，则，则_ _； 1 2 a 1 3 b 2 22 3 352 aab aabb 5已知：已知：，求，求的值的值 11 , 23 xy yy xyxy B 组组 1选择题：选择题： （1）若）若，则，则 （ ）2ababba （A） （B） （C） （D）abab0ab0ba （2）计算）计算等于等于 （ ） 1 a a （A） （B） （C） （D）aaa a 2计算：计算： 1111 1 32 43 59 11 12 分解因式分解因式 一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，一、复习引申：因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法， 另外还应了解求根法及待定系数法另外还应了解求根法及待定系数法 1十字相乘法十字相乘法 例例 1 分解因式：分解因式： （1）x23x2； （2）x24x12； （3）； （4） 22 ()xab xyaby1xyxy 解：（解：（1）如图）如图 121，将二次项，将二次项 x2分解成图中的两个分解成图中的两个 x 的积，再将常数项的积，再将常数项 2 分解成分解成 1 与与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是，就是 x23x2 中的一次项，中的一次项， 所以，有所以，有 x23x2(x1)(x2) 1 2 x x 图 121 1 2 1 1 图 122 2 6 1 1 图 123 ay by x x 图 124 1 1 x y 图 125 - 7 - 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 121 中的两个中的两个 x 用用 1 来来 表示（如图表示（如图 122 所示）所示） （2）由图）由图 123，得，得 x24x12(x2)(x6) （3）由图）由图 124，得，得 22 ()xab xyaby()()xay xby （4）xy(xy)1(x1) (y+1) （如图（如图 125 所示）所示） 1xyxy 2提取公因式法与分组分解法提取公因式法与分组分解法 例例 2 分解因式：分解因式： （1）； （2） 32 933xxx 22 2456xxyyxy 解：解： （1）= 32 933xxx 32 (3)(39)xxx 2( 3)3(3)xxx = 2 (3)(3)xx 或或 32 933xxx 32 (331)8xxx 3 (1)8x 33 (1)2x 22 (1)2(1)(1) 22 xxx 二次项二次项 一次项一次项 常数项常数项 2 (3)(3)xx （2）= 22 2456xxyyxy 22 (2)(45 )6xxyyxy =(2)()(45 )6xy xyxy =(22)(3)xyxy 3关于关于 x 的二次三项式的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解的因式分解 若关于若关于 x 的方程的方程的两个实数根是的两个实数根是、，则二次三项式，则二次三项式 2 0(0)axbxca 1 x 2 x 就可分解为就可分解为. 2 (0)axbxc a 12 ()()a xxxx 例例 3 把下列关于把下列关于 x 的二次多项式分解因式：的二次多项式分解因式： （1）； （2） 2 21xx 22 44xxyy 解：解： （1）令）令=0，则解得，则解得， 2 21xx 1 12x 2 12x = 2 21xx( 12)( 12)xx =(12)(12)xx （2）令）令=0，则解得，则解得， 22 44xxyy 1 ( 22 2)xy 1 ( 22 2)xy = 22 44xxyy2(12) 2(12) xy xy 二、练习二、练习 A 1选择题：选择题： 多项式多项式的一个因式为的一个因式为 （ ） 22 215xxyy （A） （B） （C） （D）25xy3xy3xy5xy 2分解因式：分解因式： （1）x26x8； （2）8a3b3； （3）x22x1； （4）4(1)(2 )xyy yx 练习练习 B 组组 1分解因式：分解因式： （1） ； （2）； 3 1a 42 4139xx （3）； 22 222bcabacbc 2在实数范围内因式分解：在实数范围内因式分解： （1） ； （2）； 2 53xx 2 2 23xx （3）； 22 34xxyy 3分解因式：分解因式：x2x(a2a) x+y 2x-y 2 -3 - 8 - 2.1 一元二次方程一元二次方程 2.1.1 根的判别式根的判别式 一、概念：我们知道，对于一元二次方程一、概念：我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，用配方法可以将其变形为，用配方法可以将其变形为 2 2 2 4 () 24 bbac x aa 因为因为 a0，所以，所以，4a20于是于是 （1）当）当 b24ac0 时，方程时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1， ，2 ； 2 4 2 bbac a （2）当）当 b24ac0 时，方程时，方程的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根的右端为零，因此，原方程有两个相等的实数根 x1x2； 2 b a （3）当）当 b24ac0 时，方程时，方程的右端是一个负数，而方程的右端是一个负数，而方程的左边的左边一定大于一定大于 2 () 2 b x a 或等于零，因此，原方程没有实数根或等于零，因此，原方程没有实数根 由此可知，一元二次方程由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由）的根的情况可以由 b24ac 来判定，我们来判定，我们 把把 b24ac 叫做一元二次方程叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式，通常用符号）的根的判别式，通常用符号“”来表示来表示 综上所述，对于一元二次方程综上所述，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0） ，有，有 （1）当当 0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 x1， ，2 ； 2 4 2 bbac a （2）当）当 0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x2； 2 b a （3）当）当 0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 二、典型例题：二、典型例题： 例例 1 判定下列关于判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中的方程的根的情况（其中 a 为常数）为常数） ，如果方程有实数根，写出方，如果方程有实数根，写出方 程的实数根程的实数根 （1）x23x30； （2）x2ax10； （3） x2ax(a1)0； （4）x22xa0 解：（解：（1）3241330，方程没有实数根方程没有实数根 （2）该方程的根的判别式）该方程的根的判别式 a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实，所以方程一定有两个不等的实 数根数根， 2 1 4 2 aa x 2 2 4 2 aa x （3）由于该方程的根的判别式为）由于该方程的根的判别式为 a241(a1)a24a4(a2)2， 所以，所以， 当当 a2 时，时，0，所以方程有两个相等的实数根，所以方程有两个相等的实数根 x1x21； 当当 a2 时，时，0， 所以方程有两个不相等的实数根所以方程有两个不相等的实数根 x11，x2a1 （4）由于该方程的根的判别式为）由于该方程的根的判别式为 2241a44a4(1a)， 所以所以当当 0，即，即 4(1a) 0，即，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的实数根 ， ； 1 11xa 2 11xa 当当 0，即，即 a1 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x21； 当当 0，即，即 a1 时，方程没有实数根时，方程没有实数根 说明：在第说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，的取值的变化而变化，于是， 在解题过程中，需要对在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方 法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理） 一、概念：一、概念：1、若一元二次方程、若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根）有两个实数根 ， 则有则有 2 1 4 2 bbac x a 2 2 4 2 bbac x a ； 22 12 442 222 bbacbbacbb xx aaaa 2222 12 22 44(4)4 2244 bbacbbacbbacacc x x aaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是）的两根分别是 x1，x2，那么，那么 x1x2，x1x2这一关这一关 b a c a 系也被称为韦达定理系也被称为韦达定理 2、特别地，对于二次项系数为、特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程的一元二次方程 x2pxq0，若，若 x1，x2是其两根，由是其两根，由 韦达定理可知韦达定理可知 x1x2p，x1x2q， 即即 p(x1x2)，qx1x2， 所以，方程所以，方程 x2pxq0 可化为可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于，由于 x1，x2是一元二次方程是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1x20 的两根，因此的两根，因此 有有 以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是 x2(x1x2)xx1x20 二、典型例题：二、典型例题： 例例 2 已知方程已知方程的一个根是的一个根是 2，求它的另一个根及，求它的另一个根及 k 的值的值 2 560xkx 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另的值，再由方程解出另 一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个 根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和 求出求出 k 的值的值 解法一：解法一：2 是方程的一个根，是方程的一个根， 522k260， k7 - 9 - 所以，方程就为所以，方程就为 5x27x60，解得，解得 x12，x2 3 5 所以，方程的另一个根为所以，方程的另一个根为，k 的值为的值为7 3 5 解法二：设方程的另一个根为解法二：设方程的另一个根为 x1，则，则 2x1，x1 6 5 3 5 由由 （）2，得，得 k7 3 55 k 所以，方程的另一个根为所以，方程的另一个根为，k 的值为的值为7 3 5 例例 3 已知关于已知关于 x 的方程的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的有两个实数根，并且这两个实数根的 平方和比两个根的积大平方和比两个根的积大 21，求，求 m 的值的值 分析：分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于得到关于 m 的方的方 程，从而解得程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此， 其根的判别式应大于零其根的判别式应大于零 解：设解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得是方程的两根，由韦达定理，得 x1x22(m2)，x1x2m24 x12x22x1x221， (x1x2)23 x1x221， 即即 2(m2)23(m24)21， 化简，得化简，得 m216m170， 解得解得 m1，或，或 m17 当当 m1 时，方程为时，方程为 x26x50，0，满足题意；，满足题意； 当当 m17 时，方程为时，方程为 x230x2930，302412930，不合题意，舍去，不合题意，舍去 综上，综上，m-1 说明：（说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范的范 围，然后再由围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出求出 m 的值，取满足条件的的值，取满足条件的 m 的值即的值即 可可 （）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式）在今后的解题过程中，如果用由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大是否大 于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根于或大于等于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根 例例 4 已知两个数的和为已知两个数的和为 4，积为，积为12，求这两个数，求这两个数 分析：我们可以设出这两个数分别为分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦，利用二元方程求解出这两个数也可以利用韦 达定理转化出一元二次方程来求解达定理转化出一元二次方程来求解 解法一：设这两个数分别是解法一：设这两个数分别是 x，y， 则则 xy4， xy12 由由，得，得 y4x， 代入代入，得，得 x(4x)12， 即即 x24x120， x12，x26 或或 1 1 2, 6, x y 2 2 6, 2. x y 因此，这两个数是因此，这两个数是2 和和 6 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根的两个根 解这个方程，得解这个方程，得 x12，x26 所以，这两个数是所以，这两个数是2 和和 6 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一 简捷