广东省揭阳市2017届高三第二次模拟考试数学试题(文)含答案

6 2 3 正视图 俯视图 左视图 图 1 绝密 启用前 揭阳市 2017 年 高 中毕业班第二次高考模拟考试题 数学 (理科 ) 本试卷共 4 页，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 卷（选择题）和第 卷（非选择题）两部分 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦 干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效 本试卷和答题卡 一并交回 第 卷 一 、 选择题：共 12小题，每小题 5分，共 60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1） 函数 ( ) 1 l g ( 6 3 )f x x x 的定义域为 （ A） ( ,2) （ B） (2, ) （ C） 1,2) （ D） 1,2 （ 2） 已知复数1 3( ， i 是虚数单位 )是纯虚数，则 |z 为 （ A） 32（ B） 152（ C） 6 （ D） 3 （ 3） “ 为真 ” 是 “ 为真 ” 的 （ A） 充分不必要 条件 （ B） 必要不充分条件 （ C）充要条件 （ D）既不充分也不必要条件 （ 4） 已知 1s i n c o ，则 co s( 2 )2 （ A） 89（ B） 23（ C） 89（ D） 179（ 5） 已知 01a b c ， 则 （ A） （ B） （ C） lo g lo D） lo g lo i=0， j=0 否 输出 j 是 i=i+1 开始 结束 图 2 输 入 , b? j=j+1 是 否 )(591 5921 （ 6） 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年 商鞅督造一种标准量器 商鞅铜方升，其三视图如 图 1 所示（单位：升），则 此 量器的 体积 为（ 单位：立方升） （ A） 14 （ B）212 （ C） 12 （ D） 238 （ 7） 设计如 图 2 的程序框图，统计高三某班 59 位同 学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用 j 表示）， 则判断框中应填入的条件是 （ A） ?58i （ B） ?58i （ C） ?59j （ D） ?59j （ 8） 某微信群中四人同时抢 3 个红包，每人最多抢一个， 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 （ A） 14（ B） 34（ C）53（ D）21（ 9） 已知实数 ,等式组若 的最 小 值为 a 的值为 （ A） 1 （ B）23（ C） 2 （ D）37（ 10） 函数 21()( 2 的大致图象是 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 11） 已知一长方体的体对角线的长为 10，这条对角线在长方体 一个面 上的正投影长为 8，则这个长方体体积的最大值为 （ A） 64 （ B） 128 （ C） 192 （ D） 384 （ 12） 已知函数 )0(21s 2 (区间 )2,( 内x o x y o x y o x y o y 1 2 3 频数 图 3 的取值范围是 （ A） 1 5 5( , ) ( , )4 8 4 （ B） )1,8541,0( （ C） 1 1 5 5( , ) ( , )8 4 8 4（ D） 1 1 5( , ) ( , )8 4 8 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 (13)题 第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须做答 第 (22)题 第 (23)题为选考题，考生根据要求做答 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上 （ 13） 已知向量 ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 )a x b x 满足 | | | |a b a b ，则 x . （ 14）已知直线 3 4 6 0 与圆 22 2 0 ( )x y y m m R 相切，则 m 的值为 . （ 15） 在 ，已知 夹角为 150， | | 2，则 |取值范围是 . （ 16）已知 双曲线 222 1 ( 0 )4xy 的离心率为 52 ， 1F 、 2F 是双曲线的两个焦点， A 为左顶点 、 B(0, )b ， 点 P 在线段 ，则12F的最小值为 . 三 、 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . (17)（本小题满分 12 分） 已知数列 1a， 1)1(21 （ I）求 证： 数列 1 （ 求 数列 n 项和为 (18)（本小题满分 12 分） 已知图 3 中，四边形 等腰梯形， ， ， O、 Q 分别为线段 中点， ， ， ，现将梯形 起，使得 3 连结 一几何体如图 4 示 ( )证明 ： 平面 平面 ( )若图 3 中， 45A ， ， 求 平 面 平面 成锐二面角 的余弦值 （ 19） （本小题满分 12 分） 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智 力游戏，游戏共五关规定第一关没过者没奖励，过 n *)( 关者奖励 12n 件小奖品（奖品都一样）图 5 是小明在 10 次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率 ( )估计小明在 1 次游戏中所得奖品数的期望值； ( )估计小明在 3 次游戏中 至少过两关 的平均次数； ( )估计小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件的概率 （ 20） (本小题满分 12 分 ) 已知 椭圆 012222 0(22 焦点 2F ，抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于2| | 1且 椭圆 与抛物线的交点 Q 满足25| 2 （ I）求 抛物线的方程和 椭圆的 方程 ； （ 过 抛物线上的点 P 作 抛物线 的切线 y kx m 交椭圆于 A 、 B 两点， 设线段中点为 ),(00 0 (21)（本小题满分 12 分） 设函数 2)()( （ ）， ， ( ) 试求曲线 )()()( 在点 )1(,1( F 处的切线 l 与曲线 )(公共点个数； ( ) 若函数 )()()( 有两个极值点，求实数 a 的取值范围 （附：当 0a ， x 趋近于 0 时 ， ） 请考生在 第（ 22） 、 （ 23） 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 个 题 目 计分 (22) (本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ， 已知 直 线 0 ，2），抛物线 C： t 为参数） 以 原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （ ） 求 直线 抛物 线 C 的极坐标方程 ； （ ）若 直线 抛物 线 C 相交于 点 A（异于原点 O） ， 过原点作与 直的 直线 C 相交于 点 B（异于原点 O） ， 求 面积 的最小值 (23) (本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 已知函数 21f x x （ ）求不等式 1的解集 A ； （ ）当 ,m n A 时，证明： 1m n m n 揭阳市 2017 年 高 中毕业班第二次高考模拟考试题 数学 (理科 )参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C C B B D A B C D 解析： （ 6） 易得该几何体为一底面半径为 12、高为 2 的圆柱与一长、宽、高分别为 4、 3、 1的长方体的组合，故其体积为： 21( ) 2 4 3 1 1 222 . （ 8） 3 个红包分配给四人共有 34甲、乙两人都抢到红包”指从 3 个红包中选 2 个分配给甲、乙，其余 1 个分配给另外二人，其概率为2 2 13 2 2343 2 2 14 3 2 2C A （ 9 ）如右图，当直线 过点( 2, )A a a 时， z 取 得 最 小 值 ， 即2 2 3 1a a a . （ 10 ） 由 (0) 1f 可排除（ D ）， 由044)2( f ， 01616)4( f ，可排（ A）（ C），故选（ B） . （ 11） 以投影面为底面， 易得正方体的高为 2210 8 6，设长方体底面边长分别为 , 2264， 6V 223 ( ) 1 9 2 (12) 1 c o s s i n 1 2( ) s i n ( )2 2 2 2 4x x ，由( 4 1 )( ) 0 ( )4kf x x k Z 令 2 得函数 )(一零点 98x ( ,2 ) ，排除（ B）、（ C），令 38得函数 ()0, ) 上的零点从小到大为：122 1 0,33，显然1x )2,( ，2x )2,( 可排除（ A），故答案为（ D） B (3 - A ( a - 2 ,a )x - 2 y = 0y = a2 x + y - 3 = 0x - y + 2 = 0二： )4s 22)( 0)( 4，当 )2,( x 时，)42,4(4 x ，由题意知存在 ， )42,4( k ，即)412,41( k ，所以 41)41(21 ，由 0 知 0k ，当 ,2,1,0k 时，4181 ，4585 ，4989 ，所以选 D 】 二、填空题： 题号 13 14 15 16 答案 1 3 0,4（ 215解析： (15) 由 夹角为 150知 30B ,由正弦定理得： | | | | 4s i n s i n 3 0A B A | | 4 s i C ,又 0 150C 得 0 | | 4. （ 16） 易得 5 , 1，设 ( , )P x y 则12 ( 5 , ) ( 5 , )P F P F x y x y 225 ， 显然，当 B 时， 22取得最小值， 由面积法易得 22m ()5，故12F的最小值为 4 21555 . 三、解答题： （ 17）解： （ I） 证法 1：由已知得 1211 )1(2111 又 211 a ，得 01 21111 数列 1 ，公比为 2 的等比数列 【证法 2：由 1)1(21 ( 1 ) ( 1 )a n a n n ， 由 01 a 及递推关系，可知 0以 01 111 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )12( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1a n n n a n n a n n n a n ， 数列 1 ，公比为 2 的等比数列 】 （ 由 （ I） 得 221 1 ， 2， 2 3 12 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n )1(321 ， 设 2 3 12 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n ， 则 2 3 4 12 2 2 2 3 2 ( 1 ) 2 2n n ， 式 减去 式 得 2 3 12 2 2 2 2 12 (1 2 ) 212n 22)1( 1 得 22)1( 1 nn 又 ( 1 )1 2 3 ( 1 )2 ， 1 ( 1 )( 1 ) 2 22nn （ 18）解： ( )证明：在 图 3 中， 四边形 等腰梯形， O、 Q 分别为线段 中点， 等腰梯形 对称轴，又 ， 在 图 4 中， 222 ， 由及 ，得 面 又 O P ， 平面 又 面 平面 平面 ( )在 图 4 中， 由 45A ， ， 易得 F=3， B=4， 以 O 为原点， 在的直线为 x 轴建立空间直角坐标系 ，如图所示， 则 )0,4,0(B 、 )0,3,1(F 、 (0,1, 3)C 得 )0,1,1( ( 0 , 3 , 3 ) 设 ( , , )m x y z 是平面 一个法向量， 则 ，得 03 3 0m B F x C y z ， 取 z=3，得 ( 3 , 3 , 3 )m 同理可得平面 一个法向量 ( 3 , 3 , 3 )n 设所求锐二面角的平面角为 ， 则| |,c o s|c o s nm = 9351 5 1 5 所以 平 面 平面 成锐二面角 的余弦值 为 35 （ 19）解： ( )设小明在 1 次游戏中所得奖品数为 ，则 的分布列为 的期望值 E ； ( )小明在 1 次游戏中至少过两关的概率为 设 小明在 3 次游戏中至少过两关的次数为 X，可知 )( 则 X 的平均次数 ( )小明在 3 次游戏中所得奖品超过 30 件含三类：恰好一次 16 和两次 8 ，恰好二次 16 ，恰好三次 16 ， 213 )8()16( ， )16()16( 223 ， 333 )16( 所 以 小 明 在 3 次 游 戏 中 所 得 奖 品 超 过 30 件 的 概 率 为0 3 （ 20）解： （ I） 抛物线上的点 M 到 y 轴的距离等于2| | 1 点 M 到直线 1x 的距离等于点 M 到焦点 2F 的距离， 得 1x 是抛物线 2 的准线，即 12 p， 解得 2p ， 抛物线的方程为 2 ； 可知 椭圆的 右焦点 )0,1(2F ，左焦点 )0,1(1 F ， 由25| 2 QQ 2 ， 解得 )6,23( Q， 由 椭圆的 定义得 |2 21 62527 ， 3a ，又 1c ，得 8222 椭圆的 方程为 18922 （ 显然 0k ， 0m ， 由去 x，得 0442 由题意知 01616 得 1 由18922 消去 y，得 072918)89(222 mk m 其中 4)18( 22 )729)(89( 22 0 1 2 4 8 16 P 简得 089 22 又，得 098 24 解得 90 2 m ， 设 A( B( 则89 92 2210 ， 由91122 10 x， 00,1( （ 21）解： （） 2)1()1( ，)(2)( ， 切线 l 的斜率为 3)1( ， 切线 l 的方程为 )1)(23()1( 2 即 2)23( 2 联立 )( 2 ，得 02 设 2 2 则32)( x 1)(12( ， 由 0)( 0x ，得210 x ， )( )21,0(和 ),1( 上单调递增，可知 )( )1,21(上单调递减， 又 0)1( h ， 031)1(242 以 0x )21,0(， 0)(0 方程 02 两个根： 1 和0x，从而切线 l 与曲线 )(两个公共点 ( )由题意知 0)1()( ,0( 至少有两不同根， 设 1， 当 0a 时， 1 是 0)( 根， 由 1 0a ）恰有一个公共点，可知 01 由 12 得 a=1，不合题意， 当 0a 且 1a 时，检验可知 1 和 2x 是 )(两个极值点； 当 0a 时， 0)1( ,0( 仅一根，所以 0a 不合题意； 当 0a 时，需 01 ,0( 至少有两不同根， 由 02)(2 得 2 ，所以 )( ),2( a 上单调递增， 可知 )( )2,0( a上单调递减， 因为 0a ， x 趋近于 0 时， )(向于 ，且 1x 时， 0)( 由题意知，需 0)( 即 03)2)2( 得 232 02 23 综上知， 32( 2 ,