信号与线性系统 PPT电子课件教案-第5章 连续系统的复频域分析.ppt

信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 第5章 连续系统的复频域分析 5.1 单边拉普拉斯变换 5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯反变换 5.4 线性系统的拉氏变换分析法 5.5 连续时间系统函数与系统特性 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.1 单边拉普拉斯变换 在前一章中,用傅里叶变换可以将信号映射至频率 域,引出了信号与系统的频域分析法。信号如果满足狄 里赫莱条件,即信号绝对可积,则信号的傅里叶变换存在 。 （5 2） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不满足绝对可积的条件,是由于当 t或t-时,f(t)不收敛,即 （52） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 它是+j的函数,可以写成 f(+j)的傅里叶反变换为 将上式两边乘以et得到 （53） （54 ） （55 ） （56 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 可见式（54）和式（56）构成一对积分变换 。为了使表述更为简洁,令s=+j为复频率,从而ds=jd, 当=时,s=j,于是式（54）可改写为 式（56）可改写为 （57） （58） （59） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 由于实际物理系统中的信号都是有始信号,即t0是必要的,因为f(t)为有始信号,若a0的规定对单边拉氏变换是必要的,因为若 t00,b0,则 （524 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例52 设f(t)=sin0t,因而 ,若t00,试求下列信号的拉氏变换: （1）f(t-t0)=sin0(t-t0); （2）f(t-t0)u(t)=sin 0(t- t0)u(t); （3）f(t)u(t-t0)=sin 0 tu(t- t0); （4）f(t-t0)u(t-t0)=sin 0(t- t0)u(t- t0)。 解 四种信号如图5.2(a)、(b)、(c)、(d)所示。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.2 例5-2图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对于（1）和（2）两种信号t0的波形相同,因此它 们的拉氏变换也相同,即 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对于信号（3）,它的拉氏变换是 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对于信号（4）,它的拉氏变换是 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例53 求图5.3所示锯齿波f(t)的拉氏变换。 解 首先写出f(t)的时域函数表达式 图5.3 例53图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 应用拉氏变换的时移特性,有 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例54 试求图5.4(a)所示单个正弦半波信号f(t)的拉 氏变换。 图5.4 例54图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 把单个正弦半波信号f(t)分解成如图5.4(b)所示 的单边正弦信号fa(t)和如图5.4(c)所示的延时t/2的单边 正弦信号fb(t)之和,即 应用拉氏变换的时移特性,有 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例55 试求图5.5所示的正弦半波周期信号的拉 氏变换。 解 在例54中我们已求得从t=0开始的单个正弦半 波（亦即本题第一个周期的波形）的拉氏变换为 图5.5例 55图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 因此,利用式（525）可直接解出 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例56 试求图5.6所示信号 f(t)=e-2tu(t-2)-u(t-4)的拉氏变换。 解为了正确应用拉氏变换的时移特性,有时必须对时 域信号f(t)进行恒等变形,大家对此应熟练掌握。 图5.6 例5-6图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 于是 (526 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例57 求f(t)=e-tcos0tu(t)的拉氏变换。 解 因为 利用拉氏变换的频移特性 可见,利用性质求解信号的拉普拉斯变换比直 接 求解简单得多。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5. 时域微分 若 （527 ） （528 ） 式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶 微分f(n)(t)在t=0-时的值。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 证明:根据拉氏变换定义 积分下限取0-是把f(t)中可能存在的冲激信号也包含 在积分中。应用分部积分法,则有 式（527）得证。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 同理可得 依此类推,可得式（528）。 若f(t)为单边 信号,则式（527）中由于f(0-)=0而 简 化为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例58 已知 分别如题图5.7(a)、(b)所示,试求f1(t)与f2(t)的拉氏变换 。 图5.7 例58中两信号的波形 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 因为 式中, 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例59 利用时域微分性质,重求例53（图5.3）所 示锯齿波的拉氏变换。 解 因为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 由时域微分性质,又因f(0-)=f(0-)=0,有 lf(t)=s2f(s),故得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 6. 时域积分 若 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 证明: 根据拉氏变换的定义 应用分部积分法可得 当t或t=0-时,上式右边第一项为零,所以 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例510试通过阶跃信号u(t)的积分求斜坡信号 tu(t)及tnu(t)的拉氏变换。 解 因为 而奇异信号之间的微积分关系有 重复应用时域积分,可得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.2.2 拉氏变换的卷积及初、终值定理 和傅氏变换类似,拉氏变换除了上述的基本特性之 外,在时域和复频域之间卷积积分,信号乘积、初值和终 值的计算也存在着一些重要的映射关系,它们在系统分 析中具有重要的作用。下面逐一介绍。 1.时域卷积 若 （532） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例511 已知某lti系统的冲激响应h(t)=e-tu(t),试 用时域卷积定理求解输入信号f(t)=u(t)时的零状态响应 yf(t)。 根据时域卷积定理有 式中h(s)=lh(t)称为系统函数。由于 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 2.时域乘积 若 故 对上式取拉普拉斯逆变换,得 （533） 式（533）表明,两个信号时域乘积对应 到复频 域 为复卷积,复卷积的定义是 （534） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 3. 复频域微分 若 （535） （536） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例512 试求信号f(t)=t2e-t u(t)的拉氏变换。 解 令 。由复频域微分,得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 4. 初值定理 若 存在,则f(t)的初值 且 （537） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5. 终值定理 若 存在,则f(t)的终值 （538 ） 例513 已知复频域 中,试求时域中f(t)的初值和终值。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 表52 拉氏变换的性质 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.3 拉普拉斯反变换 5.3.1 部分分式展开法 常见的拉氏变换式是复频域变量s的多项式之比（ 有理分式）,一般形式是 （539） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 式中,n(s)和d(s)分别是f(s)的分子多项式和分母多 项式,an,bm等是实数。在分解f(s)为许多简单变换式之 前,应先检查一下f(s)是否是真分式,即保证nm。若不 是真分式,需利用长除法将f(s)化成如下形式。 （540） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 1. d(s)=0的根都是实根且无重根 d(s)是s的n次多项式,可以分解为n个因子的乘积,即 d(s)=an(s-s1)(s-s2)(s-sk)(s-sn) 这里先假定s1、s2、sn是互不相等的实根,于是 f(s)便可以展开为部分分式之和。即 （541） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 式中,k1、k2、kn为n个待定系数。 为了确定系数kk,可以在式（51）的两边乘以 因子(s-sk),再令s=sk,这样式（541）右边只留下kk项, 便有 （542） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 求得系数kk后,则与 对应的时域函数可由 表51查得为 （543） （544） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例514 求 的原函数f(t)。 解 首先将f(s)化为真分式 所以f(s)的真分式可展成部分分式 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 系数k1、k2、k3可由式（542）求得为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 于是f(s)可展开为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 2. d(s)=0的根有复根且无重根 若 d(s) =an(s-s1)(s-s2)(s-sn-2)(s2+bs+c) =d1(s)(s2+bs+c) 式中,d1(s)=an(s-s1)(s-s2)(s-sn-2),s1,s2,sn-2是(n-2) 个d(s)=0的不相等的实根。 二次三项式(s2+bs+c)中若b20,如图5.8所示。 当t0时,圆弧应补在直线左边,如图5.8中的cr1; 而当t0的左边, 因而cr1与直线所构成的闭合围线包围了f(s)est的所有 极点sk,故有 而围线cr2在直线=c0的右边,cr2与直线所构成 的围线不包含f(s)est的任何极点,故有 f(t)=0,t0 （553） （552） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 当f(s)为有理函数时,其留数可作如下计算: （1）若sk为f(s)est的单极点,则 （554 ） （555 ） （2）若sk为f(s)est的r重极点,则 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例520 试用留数法求 的原函数f(t)。 解 因为s1=-1,s2=-2,s3=-3均为f(s)est的单极点,由式（ 553）有 故 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.4 线性系统的拉氏变换分析法 拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具,它将描 述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程,便于运 算和求解;同时,它将系统的初始状态自然地含于象函数 方程中,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可一 举求得系统的全响应。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.4.1 微分方程的拉氏变换解 设lti系统的激励为f(t),响应为y(t),描述n阶系统的 微分方程的一般形式可写为 (556) 对上式两边取拉普拉斯变换,并假定f(t)是因果信 号（有始信号），即t0时,f(t)=0,因而 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 利用时域微分性质,有 （557 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 (558) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 式（557）中y(i)(0-)表示响应y(t)的i阶导数的初始 状态。将式（52）与（523）代入式（556）, 可得 （559） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 代入式（559）,则得 （560） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 可见,时域的微分方程通过取拉氏变换化成复频域 的代数方程,并且自动地引入了初始状态。响应的拉普 拉斯变换为 （561 ） （562 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.9 系统的复频域框图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 （563） 系统响应y(t)为 （564 ） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例523描述某lti连续系统的微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t) 已知输入f(t)=u(t),初始状态y(0-)=2,y(0-)=1。试求系 统的零输入响 解 对微分方程取拉普拉斯变换,可得 s2y(s)-sy(0-)-y(0-)+3sy(s)-3y(0-)+2y(s)=2sf(s)+6f(s) 即 (s2+3s+2)y(s)-sy(0-)+y(0-)+3y(0-)=2(s+3)f(s) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 可解得 将 和各初始值代入上式,得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对以上二式取逆变换,得零状态响应和零输入响应 分别为 系统的全响应 或直接对y(s)取拉氏反变换,亦可求得全响应。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 直接求全响应时,零状态响应分量和零输入响应分 量已经叠加在一起,看不出不同原因引起的各个响应分 量的具体情况。这时拉氏变换作为一种数学工具,自动 引入了初始状态。简化了微分方程的求解。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例524如图5.10所示电路中,已知c= 1/ 2 f,r1=2,r2=2,l=2h,激励is(t)为单位阶跃电流u(t)a,电 阻r1上电压的初始状态u1(0-)=1 v,u1(0-)=2v,试求该 电路的响应电压u1(t)。 图5.10 例524图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 先列写该电路的数学模型 由kcl 由kvl 代入元件值,消去中间参量il(t)可得微分方程 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.4.2 电路的s域模型 时域的kcl方程描述了在任意时刻流出（或流入） 任一节点（或割集）电流的方程,它是各电流的一次函 数,若各电流ik(t)的象函数为ik(s)（称其为象电流）,则由 线性性质有 (565) (566) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 1. 电阻r 因为时域的var为u(t)=ri(t),取拉氏变换有 2.自感l 对于含有初始值il(0-)的自感l,因为时域的var有 微分形式和积分形式两种,对应的s域模型也有两种形式 (567) (568) (569) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 式（568）表明,电感端电压的象函数等于两项之 差。它是两部分电压相串联,其第一项是s域感抗sl与象 电流i(s)的乘积;其第二项相当于某电压源的象函数 lil(0-),可称之为内部象电压源。这样,自感l的s域串联 形式模型是由感抗sl与内部象电压源lil(0-)串联组成, 这里应特别注意内部象电压源lil(0-)的极性与u(s)相 反,如表53所示。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 表53 电路元件的s域模型 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 3.电容c 对于含有初始值uc(0-)的电容c,用与分析自感s域模 型类似的方法,同理可得电容c的s域模型为 (571) (570) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 过程中要特别注意三点: (1) 对于具体的电路,只有给出的初始状态是电感电 流和电容电压时,才可方便地画出s域等效电路模型,否 则就不易直接画出,这时不如先列写微分方程再取拉氏 变换较为方便; (2) 不同形式的等效s域模型其电源的方向是不同的 ,千万不要弄错; (3) 在作s域模型时应画出其所有内部象电源,并特 别注意其参考方向。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例525试求图5.11(a)所示的电流i(t)。已知 :r=6,l=1h,c=0.04f,us(t)=12sin5tv,初始状态 il(0-)=5a, uc(0-)=1v。 图5.11 例525图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 本题s域模型如图5.11(b)所示。其中 由kvl可得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 为零状态响应的象函数,是由输入引起的; 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 为零输入响应的象函数,是由初始条件引起的。 先计算if(s)。将r、l、c的数值代入得 应用部分分式展开式,可写成 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例526 试求图5.12(a)所示电路的u2(t)。已知初始 条件u1(0-)=10v;u2(0-)=25v;电压us(t)=50cos2tu(t)v。 图5.12 例526图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 作s域模型如图5.12(b)所示。注意,初始条件以内 部象电流源形式表出便于使用节点分析法。 列写象函数节点方程 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例527 图5.13(a)所示电路,开关k在t=0时闭合,已 知uc1(0-)=3v,uc2(0-)=0v,试求开关闭合后的网孔电流 i1(t)。 图5.13 例527图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 适宜用网孔法求解,初始条件以内部象电压形式 表示。s域模型如图5.13(b)所示。网孔方程为 取拉氏反变换 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.4.3 系统函数与s域分析法 系统函数h(s)是零状态响应的拉氏变换与激励的拉 氏变换之比,即 (572) 从上式可以看出,系统函数与系统的激励无关,仅决 定于系统本身的结构和参数。系统函数在系统分析与 综 合中占有重要的地位。下面讨论如何围绕系统函数进 行 系统分析。 由于 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 当系统的激励为(t)时,零状态响应为h(t),故 即系统的冲激响应h(t)与系统函数h(s)构成了一对 拉普拉斯变换对,h(t)和h(s)分别从时域和复频域两个角 度表征了同一系统的特性。 为了说明h(s)在系统分析中的重要作用,我们把应 用s域分析法求解系统响应的求解步骤归纳 如下: (573) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 (1) 计算h(s),实际上就是给系统一个激励,计算出 输出yf(s)与f(s)的比值。也可以由系统的结构及数学模 型直接求得。一旦求得h(s),系统对于任何激励的响应 均可以利用该特性得到。 (2) 求输入f(t)的变换式f(s)。 (3) 求零状态响应yf(t),可以从f(s)h(s)的反变换中 求出。 以上求解系统响应过程,可由图5.14表述。如果系 统本身存在初始储能,系统的完全响应还应考虑零输入 响应。下面举例说明如何围绕h(s)分析系统。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.14 系统的s域分析示意图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例528 图5.15所示串联电路,已知c=1/2/f, 输入激励u(t)=tu(t),初始状态il(0-)=0,uc(0-)=1/3, 试求系统响应ur(t)。 图5.15 例528图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 首先应用拉氏变换法求解系统响应。按kvl及 var列写时域微分方程式,可得 对以上方程组取拉氏变换,可得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解此象函数方程组,得 将已知数据代入,其中 (574) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对上式取拉氏反变换,可得时域响应为 (575) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 此例中,若设初始状态为零,则系统对于输入us(t)的 系统函数h(s)为 于是,式(574)可以表示为 实际上,上式还可表示为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例529 利用s域等效模型重解例528。 解 根据线性系统的叠加性,可以把系统的完全响应 分解为零状态响应,单独由电感初始储能作用而产生的 零输入响应和单独由电容初始储能而形成的零输入响 应。相应的s域等效电路如图5.16所示。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.16 s域等效电路图 (a)零状态等效电路；(b)仅电感有储能的等效电路； (c)仅电容有储能的等效电路 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 三个等效电路实际上是激励点不同,输出相同的三 个系统。根据h(s)的定义很容易写出三个系统的系统 函数h(s),hs1(s)和hs2(s)。 激励为us(s)时, 激励为lil(0-)时, 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 （576 ） 因此,系统完全响应的拉氏变换为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例530 电路及元件参数同例528。输入为 u(t)=u(t),初始状态为il(0-)=3a, u(0-)=-10v,试求输 出ur(t)。 解 因为与例528相比较,系统结构、元件参数没 有变化,所以系统函数与例528相同,仅仅是三个激励 发生变化。因此,s域的完全响应仍为式(576) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 代入已知量得 通过例528、529、530,可以使我们进一步 理解 系统函数在系统分析中的重要性。首先系统函数是对 系统的一种描述,是复频域的系统特征量,从系统的输 入输出端的特性或者说从系统对输入号的处理功能上 来讲,了解了系统的h(s)也就了解了该系统。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例531 已知系统函数为 当输入f(t)=e-tu(t),初始状态y(0-)=3,y(0-)=2。试求响应 y(t)。 解利用复频域分析法很容易求出系统的零状态响 应yf(t)。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 下面求零输入响应,因为h(s)有两个极点-2和-3,即 yx(s)亦有相同的极点（有时极点是不相同的,可参阅下 一节）。 设 根据初始条件可以求出c1和c2。 解上述方程可得 因此,完全响应为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 通过上述讨论,不难发现复频域分析方法和频域分 析方法基本相同,所不同的只是变量j延拓为s=+j。 所以在频域中用h（j）表征系统特性,而在复频域中 用h(s)表征系统特性,两者与系统的单位冲激响应h(t)的 关系也是相同的。即 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例532 已知描述某系统的数学模型为 试求该系统的系统函数h(s)。 解(1)在零状态下对常微分方程两边取拉普拉斯变换,得 所以 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 (2) 亦可利用时域分析的方法求出h(t)。 因为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例533 试求图5.17所示电路的系统函数 图5.17 例533图 (a)时域模型；(b)零状态s域模型 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 画出零状态条件下系统的复频域等效电路,如图 5.17(b)所示。s域模型图中,电阻r1与 并联,电阻r2 与 串联,设复频域阻抗z1(s)与z2(s)分别为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 所以,系统函数h(s)为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.5 连续时间系统函数与系统特性 5.5.1 系统函数的零点、极点及系统的固有频率 线性系统的系统函数,是以多项式之比的形式出现 的,即 (577) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 系统函数分母多项式d(s)=0的根称为系统函数的极 点,而系统函数分子多项式n(s)=0的根称为系统函数的 零点,极点使系统函数取值为无穷大,而零点使系统函数 取值为零。 n(s)和d(s)都可以分解成线性因子的乘积,即 (578) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 把系统函数的零点与极点表示在s平面上的图形,叫 做系统函数的零、极点图。其中零点用“ ”表示。极点 用“”表示。若为n重极点或零点,则注以（n）。 例 如某系统的系统函数为 它表明系统在原点处有二重零点,在s=-3处有一个 零点;而在s=-1,s=-2-j1处各有一个极点,该系统函数的零 、极点图如图5.18所示。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.18 系统函数的零点、极点图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 研究系统函数的零、极点有下列几个方面的意义: （1）从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率 ,进而了解系统冲激响应的模式,也就是说可以知道系统的 冲激响应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组 合,从而可以了解系统的响应特性及系统是否稳定。 （2）从系统的零、极点分布可以求得系统的频率响应 特性,从而可以分析系统的正弦稳态响应特性。 系统的时 域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极 点分布表现出来。我们先来讨论系统的固有频率与极点的 关系。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 从第二章连续系统的时域分析可知,求解系统的零 输入响应yx(t),首先应将n阶系统方程式写成齐次常微分 方程 其特征方程式为 若上式具有n个不等的单实根1,2,，n,则系统的 零输入响应为 (579 ) (580) (581) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 对方程式（579）取拉普拉斯变换,并假设所有初 始条件y(p)(0-)=0,p=0,1,2,(n-1),则可得到 (sn+a n-1 s n-1+a1s+a0)y(s)=0 (582) 而系统函数h（s）的极点正好是式（582）中多 项式等于零的根,即 sn+a n-1 s n-1+a1s+a0=0 (583) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例534已知系统的数学模型为 y(t)+5y(t)+4y(t)=f(t)+f(t) 激励f(t)=e-2t u(t),初始状态y(0-)=1,y(0-)=1。试求 yf(t),yx(t),y固(t),y强(t)及y(t)。 解 系统的特征方程为 p2+5p+4=0 特征根即系统的固有频率为p1=1,p2=-4。 于是设 解得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 在零状态下对系统方程取拉氏变换,可以求出h（s） 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 于是 所以 可以得到 其中,固有响应 强制响应为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.5.2 系统函数的极点分布与冲激响应 h（s）的一阶极点与其所对应的冲激响应函数波 形,如图5.19所示。 由以上讨论可得如下结论: lti连续系统的冲激响应的函数形式由h（s）的 极点确定。 (1) 若h（s）的极点位于s左半平面,则冲激响应的 模式为衰减指数或衰减振荡,当t时,它们趋于零,系统 属于稳定系统。 (2) 若h（s）的极点位于s右半平面,则冲激响应的 模式为增长指数或增长振荡,当t时,它们趋于无限大, 系统属于不稳定系统。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.19 h(s)的极点与所对应的响应函数 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 (3) 若h（s）的单极点位于虚轴（包括原点）,则 冲激响应的模式为等幅振荡或阶跃函数,系统属于临界 稳定系统。 (4)若位于虚轴（包括原点）的极点为n重极点 (n2),则冲激响应的模式呈增长形式,系统也属于不稳定 系统。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.5.3 系统函数的零极点分布与系统频响特性 系统的频率特性h（j）,其模|h(j)|是随变化的 函数称为系统的幅频特性,相角（）称为系统的相频 特性。如前所述,系统在频率为0的正弦信号激励下的 稳态响应仍为同频率的正弦信号,但幅度乘以|h(j0)|,相 位附加（0）,|h(j0)|和（ 0 ）分别是h（j）和 （）在0点之值。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 当正弦激励信号的频率改变时,稳态响应的幅度 和相位将分别随着h（j）和 （）变化,h（j）反 映了系统在正弦激励下稳态响应随频率变化的情况,故 又称系统的频响特性。 若h（s）的极点均位于s左半平面,令s=j,也就是 在s平面上令s沿虚轴变化,则有h(s)|s=j=h(j),即为系统 的频响特性。根据（s）在s平面的零、极点分布情 况可以绘制出频响特性曲线,包括幅频特性|h(j)|曲线 和相频特性()曲线,下面介绍这种方法。 由式（78）,系统函数（s）的表示式为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图.中画出了由零点zj和极点pi与虚轴上某点 j连接构成的零点矢量j-zj和极点矢量j-pi。图中j、 mi分别表示矢量的模,j、 i分别表示矢量的相角,即 (584) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图. 零点矢量和极点矢量 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 (586) (587) (588) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 当自-沿虚轴运动并趋于+时,各零点矢量和极 点矢量的模和相角都随之改变,于是得出系统的幅频特 性和相频特性曲线。物理可实现系统的频响特性具有 幅频特性偶对称,相频特性奇对称的特点,因此绘制频 响曲线时仅给出从0即可。为了便于理解,在应用 这种方法作频响特性之前,我们举例说明如何由s平面 零极点分布用几何法确定频响特性曲线上一个特定点 的数值。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例 已知系统函数 试求=1时的h(j1)和 （1）。 解将（s）的分母多项式进行因式分解,得 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 在图5.21中分别给出各极点与j1点构成的各极点矢 量,由几何关系求得 图5.21 例535图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 由式(587)和(588)可得 例536 rc高通滤波器如图5.22所示,试分析其 频响特性。 解 rc高通滤波器的系统函数为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.22 例536图 图5.23 从零、极点分布确定频响特性 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 零点矢量为 ,极点矢量为 , 于是 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.24 rc高通滤波器的频响特性 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例537 图5.25所示电路中,若输入激励为电流i(t), 输出响应为电压u(t)。试分析其频响特性。 零点 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.25 例5-37图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 当r很小（实际是电感l的内阻）, 1时,极点 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.26 零、极点分布 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.27 例537的频响特性 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 一般情况下,可以认为,若系统函数有一对非常靠近 虚轴的共轭极点p1,2=-iji,(ii),则在=i附近处,幅 频特性出现峰值,相频特性迅速减小。若系统函数有一 对非常靠近虚轴的共轭零点z1,2=-jjj,(j j),则在 =j附近处,幅频特性出现谷值,相频特性迅速上升。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.28 全通系统的零极点分布 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.5.4 系统的稳定性 线性非时变系统的稳定性是一个十分重要的概念 。一般地 说,由于某种原因（激励和初始状态）引起任 何微小的扰动,在系统的响应中也只产生微小的扰动,这 样的系统就认为是稳定的。确切的定义是:一个系统在 零状态下任何有界的输入产生有界的输出就叫做“有界 输入有界输出”意义下的稳定。本书仅讨论此意义下的 系统稳定性。 如果输入信号具有 (589) (590) 系统输出为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 不过以上定义在检验上不具备规范的可操作性,因 为我们不可能对每一种有界输入的响应进行求解。于 是,就有了另外一种较为明晰简练、易于验证的定义,即 一个系统,其稳定的准则可以等效于 式中m是有界正数。因为线性非时变系统的输出 响 应可以写为 (591) (592) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 将式（589）代入,可得 也可写为 再将式（591）代入,即得 (593) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 这里要指出,式（591）是一个积分式,以此来判 断系统的稳定性还是麻烦的。对于因果系统来说,我们 自然地联系到h(t)与系统函数h（s）的关系式 式（591）是否收敛,取决于h(t)是否有界,可以从 h（s）的极点（系统的固有频率）在s平面的位置来判 断。很明显,有界输入有界输出的充要条件是h（s）的 极点必须位于左半s平面内,否则对任意有界输入都将激 发出一个无界响应。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 5.5.5 信号流图与系统模拟 1.系统的连接 系统可以用框图来表示。在零初始状态下,系统在 时域、频域和复频域的特性可以分别用冲激响应h(t),系 统函数h（）和h(s)来表征,如图5.29所示。 图5.29 系统的框图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 1）系统的级联 如图5.30所示,一个局部系统的输出作为另一局部 系统的输入时,两个局部系统构成级联连接。因为 1(s)=h1(s)f(s) y(s)=h2(s)y1(s) 故 y(s)=h1(s)h2(s)f(s)=h(s)f(s) (594) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 因此子系统级联时,总系统函数为各子系统函数之 积,且与级联次序无关。在实际应用中。两系统级联还 应考虑阻抗匹配问题,因为前级系统的驱动能力与后级 系统的负载特性不匹配时,可能导致总的系统功能与理 论结果有出入。因此,通常在级联的两个系统中间插入 一个中间隔离驱动环节,以实现真正意义上的级联。 图5.30 系统的级联 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 2）系统的并联 如图5.31所示,两个局部系统输出的和作为整个系 统的输出时,两系统构成并联连接,因为 1(s)=h1(s)f(s) y2(s)=h2(s)y(s) 故 y(s)=y1(s)+y2(s)=h1(s)+h2(s)f(s)=h(s)f(s) (5-95) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.31 系统的并联 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 3）反馈环路 图5.33表示了子系统h1(s)的输出信号反馈到输入端 的情况,其中h1(s)称为正向通路的系统函数,而h2(s)称为 反馈通路的系统函数,“+”号表示正反馈,即输入信号与 反馈相加;“-”号表示负反馈,即输入信号与反馈信号相减 。没有反馈通路的系统称为开环系统,有了反馈通路则 称为闭环系统。 从图5.33可以看出，由于 y(s)=h1(s)e(s) b(s)=h2(s)y(s) e(s)=f(s)b(s) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.32 “和点”转移和“分点”转移 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.33 反馈环路 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 因此对于负反馈,总的系统函数 对于正反馈,总的系统函数 (596) (597) 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 2. 系统方框图的简化 根据前述几种系统的基本连接规律,可以把一个具 有很多局部系统连接起来的复杂系统，逐步变换得以 简化,最后求得总的系统函数。常用的方框图化简规则 列于表5-4中,在方框图的化简过程中,往往需要移动“和 点”与“分点”,应注意保持移动前后整个系统的输入输出 关系不变。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 表 框图化简规则 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 例538 试用方框图化简的方法,求图5.34(a)的系统 函数h(s)。 图5.34 系统方框图化简 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图5.34 系统方框图化简 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 解 首先利用表54中的规则7,将分点a后移,如图 5.34(b)所示。其次,化简由h3(s)、h4(s)和h7(s)所组成的 反馈回路,可得等效的子系统函数为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 如图.34(d)所示。最后,化简由1(s)、hb(s)和 h5(s)所组成的反馈回路,于是得到总的系统函数为 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 3. 系统的信号流图 信号流图是用几何模型来描述线性方程组变量之间 因果关系的一种表示方法,实际上也是一种模拟图形,因 此信号流图可以从方框图演变而来。图.35(a)是用系 统函数(s)表示的系统方框图,现在改用图(b)的一条直 线加一个箭头来代替,箭头指示信号流动的方向,直线的 标记就是该区间的系统函数,h(s)简写成,输入(s)和输 出y(s)分别简写成和。图(c)中是具有“和点”与“分点 ”的方框图,画成图(d),此处“和点”与“分点”统称为内节点 。可见由一些标明方向的线段和点连接起来组成的图形 就是信号流图,简称流图。 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 图. 方框图与相应的信号流图 信号与线性系统 第五章 连续系统的复频域分析 方框图描述了系统中各局部系统之间的连接关系, 信号流图简化了方框图的表现形式,从而更醒目地表明 系统中各信号