第十一届全国中学生物理竞赛题参考答案

第十一届全国中学生物理竞赛题参考答案 一. 照相机镜头 L 前 2.28m 处的物体被清晰地成像 在镜头后面 12.0cm 处的照相胶片P 上，两面平行的玻璃平 板插入镜头与胶片之间，与光轴垂直，位置如图 35-3 所 示设照相机镜头可看作一个简单薄凸透镜，光线为近轴 光线。 1. 求插入玻璃板后，像的新位置 2如果保持镜头、玻璃板、胶片三者间距离不变， 若要求物体仍然清晰地成像于胶片上，则物体应放在何处? 解法 1 1. 折射率为 n，厚度为 d 的两面平行的玻璃板，对于会聚在像点 P的傍轴光束的折射 作用可如下求出：如图 35-4，取任一指向 P点的傍轴 光线 CP ，此光线经平行玻璃板折射的光路为 CDEP” ， 在平板第一面的入射角 i 与折射角均为小角度，反向 延长交 D 点处的法线于 F，容易看出，P E 为平行四边形，则PPDE ibbDFPPtan/tan/ 平行板厚度 d 为得 tan/bd )tan/tan1 (idPP 因为 i 与都很小，所以 nii/1sin/sintan/tan 故得 ) 1 1 ( n dPP 以上结果对任何会聚于点的傍轴光线均成立，所以向轴上点会聚的傍轴光束经平 P P 行玻璃板折射后会聚于轴上在这种情形下，平行玻璃板的作用是使像点向远离平板方向 P 移动距离，由题给数据得PP )(3 . 0)5 . 1/11 (9 . 0cmPP 故像成在镜头后面 12.0+0.312.3(cm)处 2设照相机镜头焦距为 f，不放玻璃板时有 1/228+1/2=1/f 可得 cmf 4 . 11 插入玻璃板时，若要像仍成在离镜头 12cm 处的胶片上，应改变物距使不放玻璃板时成 像在镜头后面处，即 )( 7 . 113 . 0 0 . 12cm 设这时物距为 u，则 得 4 .11/1 7 . 11/1/1umu45. 4 即：物体置于镜头前 4 .45m 时，插入玻璃平 板后，仍可在胶片上得到清晰的像 LP AB 80cm 120cm 0.90cm 图 35-3 A P P1 n0=1。0 n=1。5 图 35-5 i F E PP b d 图 35-4 C D 2 解法 2 1对于玻璃板第一面上的折射，其物距为 , 5 . 1, 0 . 1,9 . 8 0 nncmAP 根据公式 (见图 35-5)， 01 /nnAPAP 可得 )(35.13)0 . 1/5 . 1)(9 . 8(/ 01 cmnnAPAP 对于玻璃板第二面上的折射，(见图 35-6) 其物距为 cmABAPBP45.12)( 11 又根据 nnBPBP/ 012 可得 )(3 . 8)45.12)(5 . 1/0 . 1()/( 102 cmBPnnBP 故像成在镜头后面的像距为 )( 3 . 123 . 89 . 01 . 3cm 比原像向后移动，即 )(3 . 012 3 . 12cm 2设照相机镜头焦距为 f，不插入玻璃板时， 得 f=11.4cm 12/1228/1/1f 要使放上玻璃板后，像还成在离镜头 12cm 处的胶片上，可采用光路可逆性原理从已知像 的位置，求此时物体应在的位置2 P 对于玻璃板第二面上的折射： 已知：像距 BP2 8cm，n1.50，n。1.0，设与之相应的物为 Pl，则可得 BPl(一 nn。)BP2一 12cm 对于玻璃板第一面上的折射： 已知：像距 AP112.9cm，n1.5，n。1.0，设与之相应的物为 P，则可得 10) /(APnnAP)(6 . 8 9 . 12)5 . 1/0 . 1(cm 对于凸透镜，像距为） ，则此时物距为 u，则有 cm(7 .111 . 36 . 8 4 .11/1 7 . 11/1/1ucmu45 . 4 即物体应放在照相机镜头前 4.45cm 处，才能在胶片上得到清晰的像。 二1964 年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气室示意图如图 27-10 所示，利 用海浪上下起伏的力量，空气能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电机发 电，当海水下降时，阀门 S1关闭，S2打开，设每次吸入压强为 1.0105Pa，温度为 70C 的 BP1 P2 n0=1。0 n=1。5 图 35-6 3 空气 0.233m3（空气可视为理想气体） 。当海水上升时，S2关闭，海水推动活塞绝热压缩空 气，空气压强达到 Pa 5 1032 时，阀门 S1才打 开、S1打开后，活塞 继续推动空气，直到气体全部被推入工作室为止，同时工作室的空气推 动涡轮机工作，设打开 S1后，活塞附近的压强近似保持不变，活塞的质 量及活塞与筒壁间的摩擦忽略不计，问海水每次上升时所作功是多少？ 已知空气从压强为 p1,体积为 V1的状态绝热地改变到压强为 p2、体积为 V2的状态过程中，近似遵循关系式 p1/p2=(V2/V1)5/3理想气体温度升高 1K 时，内能改变为 3R/2(R=8.31j/molK)。 解：解：海水作功可分为两个阶段来讨论。 1 绝热压缩阶段 根据热力学第一定律，在绝热过程中海水对气体所作功等于气体内能的增量，即 )( 2 3 121 TTRnUA 由于在绝热过程中，压强和体积的变化遵循关系式 3/5 1 2 2 1 V V p p 以及理想气体状态方程 nRTpV 得到 5/3 2 1 1 2 11 22 1 2 p p p p Vp Vp T T 所以 K p p TT56032)7273( 5/2 5/2 1 2 12 而 )(10)7273(31 . 8 /233. 0100 . 1/ 5 molRTpVn 可得 )(1049 . 3 )280560(31 . 8 )2/3(10 4 1 JA 2 根据题设把空气推入工作室时活塞附近压力不变，故222 VplSpA 其中 S 为活塞面积。 l为活塞由气体体积是 V2时之位置移到筒之上端的距离，而 5/3 2112 )/(ppVV 则 )(1066 . 4 1032/1233 . 0 32)/( 45 5/3 5/3 21122 JppVPA 所以海水作总功为 JAAA 4 21 1015 . 8 总 三如图 42-17（甲）所示，一质量为 0.10kg、电量为 810-4C 的带正电小球，从水平地面 上 A 点以与 x 轴正方向成 30 夹角的初速度 0抛出（0在 xOy 竖直平面内） 。当达到最 高点 B 时 （B 点恰好处在 Oy 轴上） ，在全空间立刻产生一个匀强电场 E，场强为 2.5103NC-1。方向平行于 xOy 平面，并与 x 轴负方向成 夹角。当带电小球再次通过 Oy 轴时，匀强电场立刻消失。试分析讨 论当角变化时（0180） ，带电小球自 B 点以后的运动情况，并 4 画出带电小球在各种情况下的运动轨迹简图(g=10ms-2)。 分析：分析：带电小球运动到最高点 B 以后，受到重力和电场力的作用，由于可在一定范围内 改变，所以其合力也在随而变，当合力为水平方向时（即 30 和 150 ） ，小球便 做直线运动；当合力有竖直方向分量时（即 30 和 150 ） ，小球做抛物线运动。考 虑在不同范围内，电场力的 x 分量有两种可能方向，以及电场力的 y 分量与重力在大小上 有 3 种情况，因此小球受力情况有 6 种可能，所以本题应对每种情况进行讨论。 解：解：带电小球到最高点 B 加入匀强电场后，受到两个力的作用，一个是重力 mg，另一个是 电场力 qE。由于电场力在 x 方向和 y 方向的分量的大小与角有关，因此，带电小球自 B 点以后的运动可分以下 6 种情况： (1) 当 mgqEsin 时，即 30 ，带电小球只受到电场力在 x 负方向的分量 cosqE 的 作用，又由于小球在 B 点具有向 x 正方向的速度 acos 0 ，因此，带电小球的运动轨迹如 图 42-17（乙）(a)。 (2) 当 mgqEsin 时，即 0 30 ，带电小球受到 y 负方向力 sinqEmg 和 x 负 方向力 cosqE ，又由于小球 在 B 点具有 x 正方向速度 acos 0 ，这样小球自 B 点以后的运动随角变化(0 30 ) 有以下 3 种情况图 42-17（乙）(b)、42-17（乙）(c)、42-17（乙）(d)。 根据上面分析，我们可以在 0 30 范围内找到一个角 0 ，使得小球运动情况满足图 42-17（乙）(c)的情况，也就是小球从 B 点垂直下落所需时间 BO t 等于小球从 B 点水平往 返运动所需时间，即 .2 / 11 BBBOBBBO tttt 而 ).cos/(cos)/cos/(cos 000/ 1 qEammqEatBB.cos/40/3 00 mqEmggatBO/sin/2/sin2 0 22 0 .sin21/120/ 00 由以上三式可得 . 0 2sin6sin 00 2 根据题意可得 .452073arcsin 0 (3)当 mgqEsin 时，即 9030 ，带电小球受到 y 正方向力 和 x 负方向力 cosqE ，又由于小球在 B 点 5 具有 x 正方向速度 acos 0 ，因此，带电小球自 B 点以后的运动轨迹如图 42-17（丙）(a)。 (4)当 90 150 时，即 mgqEsin ，带电小球受到 y 正方向力 mgqEsin 和 x 正方向力 cosqE ，又由于小球在 B 点具有 x 正方向速度 cos 0 ，因此，带电小球自 B 点以后的运动轨迹如图 42-17（丙）(b)。 (5)当 150 时，即 mgqEsin ，带电小球只受到 x 正 方向的力 cosqE ，又 由于小球在 B 点具有 x 正方向速度 cos 0 ，因此，带电小球自 B 点以后的运动轨迹如图 42- 17（丁）(a)。 (6)当 150 180时，即 mgqEsin ，带电小球受 到 y 负方向力 sinqEmg 和 x 正方向力 cosqE ，又由于小球在 B 点具有 x 正方向速度 cos 0 ，因此，带电小球自 B 点以后的运动轨迹如图 42-17（丁）(b)。 四. 长方形风筝如图 11-292 所示。其宽度 a=40cm，长度 b=50cm， 质量 M=200g（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量 M=20g，纸球可当作质点） ，AO、BO、CO 为三根绑绳， AO=BO，C 为底边中点，绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不 计。放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态。且放风 筝者以速度持牵奔绳跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直 于风筝表面。量值为 P=Kvsina，K=8Ns/m3，a 为风筝表面与水平 面的夹角。风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取 g=10m/s2，放飞场 地为足够大小的水平地面。试求： （1）放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能做水平飞行？这时风筝面与水平 面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度 a。 （2）若放风筝者持牵绳奔跑的速度 v=3m/s，调整绑绳 CO 的长度等于 b，为了使风筝能水 平稳定飞行，AO 与 BO 的长度应等于多少？ 分析：（1）风筝做水平飞行的条件是：竖直方向受到的合力为零。 （2）计算绑绳 AO、BO 的长度难点在于满足平衡条件下的三维 几何关系的寻求。 解：（1）设人以速度 0 持牵绳奔跑时，风筝恰能平行于地面飞 行，此时牵绳平行于地面。设此时风筝表面与地面夹角为a。则 风力为 ,sin 0 aabKF .cossin 0 aaabKFy 风筝水平飞行的条件为（见图 11-293） .cossin 0 MgaaabK F x F y F 0 g M gMMg 图 11-293 A B C M O a 图 11-292 6 当 aacossin 取极大值时，可得 0 的极小值 . 2 /2sincossinaaa 所以，当 45 时 sincos 的极大值为 1/2。把 45 代入(1)式，得 0 的极小值 )cossin/( 0 KabMgsmsm/5 . 2/)5 . 05 . 04 . 08/(102 . 0 （2）重新调整绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以 v=3m/s 的速度奔跑，设此时风筝能 保持水平飞行，则 MgabKcossin 代入数值得 12/5)5 . 04 . 038/(102 . 0)/(cossinabKMg 83. 012/102sin,12/52/2sin 8 . 61, 2 . 28, 6 . 123 4 . 562 21 或 当 sm 3 时，风力的水平分量为 2 sinsinabKFFx 由力的平衡得牵绳张力为 2 sinabKT 分别代入21, 值，得 NNT07 . 1 2 . 28sin5 . 04 . 038 2 1 NNT73 . 3 8 . 61sin5 . 04 . 038 2 2 自 O 点至 AB 的中点 D，连接一紧绳 OD 替代 AO 和 BO，以风筝 纸面中心 O 为支点（如图 11-294 所示） ，则牵绳张力 T 和纸球所 产生的力矩分别为 2/cos,bgMMrTM MT 由力矩的平衡MT MM 得 TgbMr2/cos 分别代入 T1、1、T2、2值，得 cmcmr1 . 4)07 . 1 2/( 2 . 28cos501002 . 0 1 cmcmr63 . 0 )73 . 3 2/( 8 . 61cos501002 . 0 2 所以 cmcm b rr 9 . 15 2 . 28sin)2/50(1 . 4sin 2 111 cmcm b rr6 .22 8 . 61sin)2/50(63 . 0 sin 2 222 由图知 br/)sin( 分别代入 、r 及b值得 9 . 34,66 . 9 21 g M r r o o D C x 图 11-294 T 7 分别代入 1 x 、 2 x 值，根据 OCD 是等腰三角形得 cmcmx4 . 8)2/66 . 9 sin(502 1 cmcmx30)2/ 9 . 34sin(502 2 由 22 )2/(xBOAO 分别代入21,r r 值。可得 cmcmAO 7 . 21)2/40(4 . 8 22 或 cmcmAO36)2/40(30 22 讨论：由于风力 sinkvabF ， 越大， 风筝获得的风力也越大，故上述两个答案中 取2 时， cmAO36 有利于风筝起飞。 五.图 49-74（a）为一个电路图（称做“电子张驰振荡器” ） 。图中 SC是恒流源（其电流不因负载的变化而变化） 。电流值恒为 I0K 为 电子开关，它的开、关动作由一个正弦讯号发生器 F 产生的电压 UF（t）=U1+U0sint 控制，这里 U1为常电压值，U0和 分别是正 弦讯号的幅度和圆频率，U0U1。UF只起控制 K 动作的作用，不对 电容 C 充放电。当 K 两端电压（即电容器两端电压）U(t)达到 UF（t）时，K 自动合上，使电容 C 放电，U(t)迅速下降，直到 U 降 到 Umin时，K 才自动断开，这里 Umin是小于 U1-U0的常电压值。 （1）分析电容器两端电压 U 随时间 t 的变化规律并在 U-t 图上画出 UF（t） 、Umin和 U 随 t 的变化曲线，可以不考虑 t=0 时是如何情况。U1 （2）若在一定的 I0、U1、U0、UF（t） 、Umin参数值下，U(t)每相邻两次达到 UF（t） 、 的时间间隔都相等，求每次 U(t)= UF（t） 、时，U(t)数值与各参数的关系。 分析：分析：本题的关键是找到电容器两端的电压与时间的函数关系 U(t)。由于充电电流恒定，每 秒内两极板增加的电压是恒定不变的，所以 U(t)必定是线性函数，当电容器电压 U(t)等于讯 号发生器电压 )(tUF 时，电容器开始放电。显然，一般地每次开始放电时 U(t)的值是不同的； 但如果 U(t)每相邻两次达到 )(tUF 的时间间隔相等，那么开始放电时 U(t)的值是相等的，对 于一定的 U(t)的值，相应的时间有无数个解。只要找到这些解的相互关系的表达式，就能解 出 U(t)与各参数间的关系。 解解:（1） )(tUF 如图 49-74（b）中正弦曲线所示，min U 如图 中平行于 t 轴的直线所示。当min U U(t) )(tUF 时，K 是 断开的，SC以恒定电流 0 I 对 C 充电，每秒内极板上电量的 增加量为 0 I ，因而每秒内电压的增加量为 0 I /C，在 U-t 图上 t n t 1n t U 1 U min U 0 2U 图 49-74（b） C K C 0 I 图 49- 74（a） 8 为一斜率为 0 I /C 的直线。当 t=tn时，此直线与 )(tUF 相交，有 U(t)= )(tUF ，K 自动合上， 电容 C 通过 K 放电，U(t)在极短时间内降到min U ，若在计算中忽略开关与联线的电阻，可 以认为 U(t)由 )(tUF 回降到min U 的时间为无限短。U-t 图上这一段 U(t)为垂直 t 轴的直线。 当降到min U 时（这时用 U(t+0)= min U 表示） ，K 又断开，U(t)再次以不变斜率上升，从而电 容器两端的电压按锯齿波形变化，形成张驰振荡如图 49-74（b）所示。 （2）设 tn、tn+1、依次为 U(t)达到上阈值 )(tUF 的时刻， 0 n t 、 0 1n t 、为降到 min U 的时刻，当 1 0 nn ttt 时，由于 U(t)上升斜直线斜率恒为 0 I /C。有 U(t)= min U + 0 I （ n tt ）/C 当 1 n tt 时，有 )sin()(/ )()( 101110min1 nnFnnn tUUtUCttIUtU （1） 因而得到 )sin( )( 1 0 0 0 min1 1 nnn t I CU I CUU tt （2） 当任意相邻两次达到 )(tUF 的时间间隔均相等，即对任一 n，有 121nnnn tttt 时由（2）式得到 )sin()sin( 1nn tt （3） 由（3）式，可得到 1(2 1 kktt nn 、2、3、） （4） 或 kktt nn (2 1 1、2、3、） （5） 由（4） 、 （5）式均可得到 ann UtUtU )()( 1 （ a U 为常量） ，但除了在 a U =1 U 的情况外， （5）式不合题意，这是由于由（5）式得到的 nn tt 1 与 12 nn tt 并不相等，所以（4）式 是等幅张驰振荡的一般解，因而我们得到 /2 1 ktt nn ， k 1、2、3、 由（4）式可得 k C I kU C ttI UtUU nn na ( 2)( )( 0 min 10 min1 1、2、3、） （6） 显然，必须有 0101 UUUUU a ，所以对每个 k 值，有 1 个参数、 0 I 、C 的允许 范围，如果认为电容 C 值不变， 0 I 也不变，而选取正弦讯号的幅度 0 U 与圆频率构成参数 平面，产生“k 阶等幅张驰振荡“的范围可在 0 U 平面中标出，不同 k 值的范围是不同 的。 讨论讨论:等时间间隔振荡，必定是等幅张驰振荡，寻求等时间间隔这个条件，要联系图线，运 动三角函数知识，列出条件方程，并在多参数的情况下，对条件方程进行分析、筛选、概括， 独立地思考并完成这类题目，将极大地帮助学生培养、提高这方面的分析概括能力。 六. 如图 11-95 所示，在倾角为 的足够大的粗糙斜面上，有一质点，质量为 m，用 一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上 O点，弹性绳的形变与 弹性力服从胡克定律，绳原长为 L，劲度系数为 K，斜面与质点间 的静摩擦因数为 。试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区 m O 图 11-95 9 域边界的示意图。 分析：本题求解思路是： 1寻求绳子张紧时，静止的质点受到的力的封闭三角形中动点的轨迹。 2确定绳子张紧时质点可静止区域的边界曲线。 3讨论绳子松驰时，质点可静止区域的边界曲线。 解：若质点静止在斜面上任一点 M，它在斜面上的位置可用坐 标表示，如图 11-96 所示，在绳子伸长，即出现弹力时，M 质 , r 点在斜面上受三个力；弹力，方向总是指向点；重 )(LrKF O 力沿斜面的分量，方向总是向下，且大小不变；静摩 sin / PP 擦力。这三力一定构成一个闭合三 cos max PNfff 角形，若在图 11-96 中用分别表示 F、，则绳 OAOOOA,fP 及 / 子张紧时 M 点可静止区域的边界可由动点 A 的轨迹，即图中圆 I 来 间接表示，圆 I 即是以 O 为中心，以为半径的圆。当取 O f 为直角坐标原点，轴沿斜面向下时， x ，则有圆 I 的方程为， sin,cos / FfFPf yx 222 fff yx 即 2222222 coscossin)(2)(sinPPLrKLrKP 由 A 点轨迹（圆 I）求 M 点可静止区域边界的依据是 cc rMO)(LrKFAO c （1） 因而得到 （2） LKAOrc)/( 表示可静止区域边界到点距离，由此式可得到画出 c r O 可静止区域边界（以下称为“封闭曲线 II” ）的作图法是：将各力取 1/K 倍，重作力三角形 后画出圆 I，此时（2）式变为 （3） LAOrc 因而沿延长 L 长度，即得点，描点即可画此封闭曲线 II。 A O c M （1）式实际也是曲线 II 的极坐标方程，若取为极点，方向为极轴，则（）的 O xc M, c r