毕业设计（论文）-基于Matlab的信号功率谱估计.doc

南京邮电大学通达学院2015届本科生毕业设计（论文）南京邮电大学通达学院毕 业 设 计（论 文）题 目： 基于matlab的信号功率谱估计 专 业： 通达学院 学生姓名： 班级学号： 指导教师： 指导单位： 南京邮电大学 日期： 2014 年 11 月 24 日 至 2015 年 6 月 12 日摘 要数字信号处理(dsp)重要的应用领域之一，是建立在周期信号和随机信号基础上的功率谱估计。在实际应用中往往不能获得具体信号的表达式,需要根据有限的数据样本来获得较好的谱估计效果，因而谱估计被广泛的应用于各种信号处理中。 本论文研究了功率谱估计的几种常用的方法，包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法，并给出仿真程序及仿真图。经典法主要包括周期图法、自相关法，但这两种方法都存在缺陷，即认为观测数据之外的数据都为零，所以对经典法中的周期图法进行了加窗、平均等修正；现代谱估计的方法分类比较多，ar模型法,ma模型法和arma模型法是现代功率谱估计中最主要的参数模型，本论文着重讨论了ar模型参数法。同时论文将通过对经典谱估计和现代谱估计的实现方法及仿真图的比较，得出经典功率谱估计方法的方差性较差，分辨率较低，而现代谱估计的目标正是在于努力改善谱估计的分辨率，因此能得到较好的谱估计效果，为此应用更为广泛。关键字：数字信号处理；功率谱估计；周期图法；自相关法。 abstractperhaps one of the more important application areas of digital signal processing(dsp) is builting on the power spectral estimation of periodic and random signals. actually, we cant get the expression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data sequences.so spectrum estimation which is widely used in various signal processing. in this thesis, some common methods of power spectral estimation, such as classical spectral estimation and modern spectral estimation, are studied. the quality of each estimation method is derived, simulation program and simulation figure is given. classical methods of power spectral estimation mainly include the periodogram and the bt method. but both of them have a common drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. so the windows and the average method are introduced to improve the quality of the periodogram. therefore the improvement of the periodogram estimation method is proposed. the classification of modern spectral estimation methods are more , ar，ma, and arma is the most important parameters of modern spectral estimation. this thesis will focus on discussion of ar model parameters method. at the same time , it can be seen from the comparison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation, classical power spectrum estimation variance is poor, low resolution .the goal of modern spectral estimation is woking to improve the resolution of spectral estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely. keywords: digital signal processing; power spectrum estimation; the periodogram； the bt methods.目 录 1. 绪论1.1课题背景1.2研究意义1.3研究内容2. 功率谱估计的概述 2.1随机变量 2.2平稳随机信号2.2.1平稳随机信号定义2.2.2平稳随机信号特征 2.2.3平稳随机信号的自相关函数2.2.4平稳随机信号的功率谱2.3估计质量的评价标准3. 经典功率谱估计3.1谱估计与相关函数3.1.1相关函数和功率谱3.1.2 相关函数的估计3.2 周期图法3.2.1周期图法的定义3.2.2 周期图的性能3.2.3 周期图法改进措施3.3自相关法3.4直接法和间接法的关系3.5本章小结4. 现代谱估计4.1 平稳随机信号的参数模型4.2 ar模型的正则方程与参数计算4.2.1正则方程求导4.2.2 ar模型参数求解的经典算法4.3 ar模型谱估计的实现及性质4.3.1 谱估计的步骤4.3.2 ar模型谱估计的性质4.4 ma模型谱估计4.5 arma模型谱估计 4.6 本章小结5. matlab下的经典谱与现代谱估计的仿真5.1基于matlab经典谱估计的仿真5.2基于matlab现代谱估计的仿真结束语致谢参考文献第一章 绪论1.1课题背景 功率谱估计技术渊源流长，在过去的几十年获得了飞速的发展。功率增估计涉及信号与系统、随机信号分析、概率统计、随机过程、矩阵代数等一系列的基础科学，广泛应用于几雷达、声纳、通信、地址勘探、大文、生物医学工程等众多领域，其内容、方法不断更新，是一个具有强大生命力的研究领域。 功率谱估计(psd)是用有限长的数据来估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方而来讲都是极其重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一，在军事、生物医学、通信等领域得到了较为广泛的应用。谱最早是由英国科学家牛顿提出来的，后来法国工程师傅里叶提出了著名的傅里叶谐波分析理论，该理论至今仍然是我们进行信号分析和处理的理论基础。傅里叶级数首先在观察自然界中的周期现象得到应用，但傅里叶的计算的比较复杂，促使人们研制相应的机器来计算傅里叶级数。在19世纪末，schuster提出傅里叶系数的平方，并命名为周期图，这是经典谱估卞卜的最早提出法，至今仍被人们沿用。后来，鉴于图的起伏剧烈，提出了平均周期图的概念，并提出了在对有限长数据计算傅里叶系数时所存在的边瓣问题，这就是后来我们所熟悉的窗函数的影响。周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。yule在1927年提出了用线性回归方程来模拟啦一个时间序列，从而发现隐含在该时间序列中的周期，进而发现了现代谱估计中最重要的方法参数模型法。walker利用yule的分析方法研究了衰减正弦时间序列，并得出了在对最小二乘分析中经常应用的yule-walker方程。yule的工作使人们重新想起了早在1795年prony提出的指数拟介法，从而 prony方法形成了现代谱估计的又一重要内容。之后又阶续提出了wiener-khintchine。定理、谱估计自相关法bt法等。所有这些都为现代估计谱的发展打下了良好的基础。1.2课题意义数字信号处理重要的应用领域之一，是建立在周期信号和随机信号基础上的功率谱估计。在实际应用中往往不能获得具体信号的表达式,需要根据有限的数据样本来获得较好的谱估计效果，因而谱估计被广泛的应用于各种信号处理中。1.3课题内容 本论文研究了功率谱估计的几种常用的方法，包括经典谱估计和现代谱估计的各种方法。经典法主要包括周期图法、自相关法，但这两种方法都存在缺陷，即认为观测数据之外的数据都为零，所以对经典法中的周期图法进行了加窗、平均等修正，因此提出了周期图法的改进方法；现代谱估计的方法分类比较多，ar模型法,ma模型法和arma模型法是现代功率谱估计中最主要的参数模型，本论文着重讨论了ar模型参数法。同时论文将通过对经典谱估计和现代谱估计的实现方法及仿真图的比较，得出经典功率谱估计方法的方差性较差，分辨率较低，而现代谱估计的目标正是在于努力改善谱估计的分辨率，因此能得到较好的谱估计效果。第二章 功率谱估计的变量2.1随机功率谱估计的变量 随机变量( random variably)表示随机现象(在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象)各种结果的变量(一切可能的样本点)。例如某一个时间内公共汽车站等车乘客人数，电话交换合在一定时间内收到的呼叫次数等等，都是随机变量的实例。 随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，其可能取各种不同的值，具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，其体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统针的规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。 按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型:离散型随机变量，即在一定区间内变量取值为有限个，或数值可以一一列举出来。例如某地区某年人口的出生数、死亡数，某药治疗某病病人的有效数、无效数等。连续型随机变量，即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氮酶测定值等。1.随机变量的分布函数设x是随机变量，对任意实数、，事件xx的概率p(xx)称为随机变量x的分布函数。记为f(x)，即 fx=pxx,易知，对任意实数a,b,(ab)，paxb=pxb-pxa。分布函数的性质(1) 单调不减性:若x1x1，则fx1fx2;(2) 归一性:对任意卖数x，0f(x)1，且limxflimxx=0,f(+)=limxf(x)=1(3) 左连续性：对任意实数x， f(x-0)=f(x)2.数学期望、方差、标准差定义：ux=ex=-+xpxdx，为x的数学期望值，或者简称均值。dx2=ex2=-+|x|2pxdx（2-1）qx2=ex-ux2=-+|x-ux|2pxdx（2-2）以上分别称为x的标准差和方差。若x为离散型随机变量，则上述的求均值运算将有积分改为求和。例如。ux=ex=kxkpk式中的pk是x取值为xk时的概率。3.随机向量在某些实际问题中，往往需要同时用两个或两个以_l的随机变量米描述试验的结果。设e是一个随机试验，样本空间是=e,设x=x（e）和y=y(e)是定义在上的随机变量，由它们构成的一个向量(x,y)叫做二维随机向量或二维随机变量(注:二维随机向量(x,y)功的性质不仅与x和y有关，而且还依赖这这两个随机变量的相互关系。)4.概率密度函数概率密度函数是为了表示瞬时数据落在指定幅值范围的概率。定义为：px=limx0probxxtx+xt=limx01x limttxt (2-3) 瞬时值x（t)小于或等于谋值x的概率定义为概率分布函数或累计概率分布函数 px=prodxt-+pd (2-4)5.相关函数 表征了一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征。相关函数是两随机变量之积的数学期望，称为相关性。统个学中用相关系数xy来描述变量x, y之间的相关性，函数的相关系数，简称相关函数:pxy=axyaxaxy=e(x-u)(y-u)e(x-u)2e(y-u)2 (2-5)2.2平稳随机信号2.2.1平稳随机信号定义 平稳信号分严平稳和宽平稳，严平稳的条引在信号处理中太严格而且不实用，一般所说的平稳是指宽平稳，满足三个条利:(劝均值为与时间无关的常数;(1) 均方有界;(3)自相关函数与信号时间的起始点无关，只和时间差有关(宽平稳信号的方差和均方也是与时间无关的)。 (1)平稳随机过程的定义:如果于任意n和t1,t2， .以及有f(x1,x2) 则称x(t)为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。(2)平稳随机过程的数宇特征: 1) ex(t)= mx，平稳随机过程的数学期望与时间无关;2) dx(t)= q2x，平稳随机过程的方差与时间无关;3)rxt1,t2=-+-+x1 x2 f2x1,x2, dx1dx2 =rx，其中：t1- t2= ；4) cxt1,t2=rx=rx-mx2= cx 。平稳随机过程的数学期望及方差与t无关，它的自相关函数和协方差函数只与时间间隔tl-t2=有关;随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。即若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，向其相关函数仅与有关，即我们就称这个随机过程是广义平稳的。(2) 宽平稳随机过程(广义平稳):若x（t)的数学期望ex(t)=ax为常数，且自相关函数rxt1,t2=rx.只与t1-t2=:有关，则称x (t)为宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。不难着出，严平稳过程一定是宽平稳过程，反之不一定。但对几正态随机过程两者是等价的。本论文若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。2.2.2 平稳随机信号的特征随机信号具有不重复性、不确定性，通常用概率与统计方法研究其中是否存在某些重复、确定的成分。随机过程在某一时刻t1的均值(一阶矩)可将总体中样本函数在t1的瞬时值相加，然后除以样本函数的个数而得到。limk01nk=1nxkt1自相关函数即为随机过程两不同时刻之值的相关性，又称二阶矩。用t1和 t1+两时刻瞬时值乘积的总体平均值得到: rxx (t1,t1+)limk01nk=1nxk(t1)xk(t1+) (2-6) 自相关函数的性质:(3) 自相关函数是r的偶函数rx=rx(-)；(2)当=0时，自相关函数具有最大值，rx0=2+ux2 (3)周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。(4)当随机信号中含有周期信号时,rx中也必定有周期性分量，且周期相同。(5)对变化迅速的信号(宽带随机过程)，相关的程度在:很小时就完全丧失。2.2.3 平稳随机信号的自相关函数实随机信号 x（t)的自相关函数定义: rxxt1,t2=ex(t1)x(t2)=-+-+x1 x2 f2x1,x2, dx1dx2 (2-7)由于平稳随机信号的统计特性与时间的起点无关，设t2=t1+，则有f1x1,x2,t1,t2 =f2x1,x2,t1,t2、 所以，平稳随机信号的自相关函数是时间间隔t的函数，记为rxx。平稳随机信号自相关函数的性质:设x （t)为平稳随机过程，其自相关函数为rxx，自一办方差函数cxx，则它们有如下性质:(1) =0时的自相关函数等于均方差，自协方差函数等于方差， rxx=r- cxx0= qx2(2)当平稳随机信号是实函数时，其相关函数是偶函数，即: rxx=r- cxx=c-(3)当t=o时的自相关函数、自协方差函数取最大值，即 rxx0| rxx-| cxx0= |cxx-|(4)若x(t)=x(t+t)，则其自相关数也是周期为t,的周期h函数，即 rxxrt+ cxx= cxxt+ (5)若均值mx=0，当，时，x (t)与x(t+)相互独立，有lim|x|0 rxx=0，对于零均值的平稳随机信号，当时时间间t很大时，x(t)与x（t+)相互独立，互不相关。2.2.4 平稳随机信号的功率谱1.功率谱密度定义:设x(t)，-x+是均方连续的随机过程，称 p=limte12t-ttx2tdt (2-8)为x（t）的平均功率。 sx=limt12te fx,t2 (2-9)为x（t）的功率谱密度，简称谱密度。2.功率谱密度的性质（1）若- rxd0，mn,分母无实根。3.随机序列的功率谱随机序列x（n),已的相关函数 rxm满足其功率谱密度 sxm其有如卜式了： sx=m+ rxme-jwm (2-13) rx=12- sxe-jwxd (2-14)2.3估计质量的评价标准 1.无偏性 对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值，这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量，对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差。也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同，换句话说，我们希望估计量的均值(数学期望)应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性(unbiasedness)的要求。定义:设来自总体x的一个样本，是总体参数的一个估计量，若e=,则称是的无偏估计量unbiased estimator)。一个估计量如果不是无偏的就称它已是有偏估计量。e=称为估计量的偏差。无偏估计的实际意义就是无系统偏差，估计量是否无偏是评价估计量好坏的一个重要标准，e，但是有limne,则称是的渐进无偏量估计。 2.有效性 比较两个无偏估计量优劣的一个重要标准就是观察它们哪一个取值更集中值待估参数的真值附近，即哪一个估计量的方差更小，这就是卜而给出的有效性(effectiveness)的概念。定义：设与2=2（x1,x2,xn)都是总体参数的无偏估计，若d(1)d(2)，则称1比2更有效。在的所有无偏估计量中，如果存在-个估计量,它的方差最小，则此估计量应当最好，并称此估计量0为的最小方差无偏估计，也称其为最有效的. 3.相合性估计量的无偏性和有效性都是在样本容量n固定的情况卜讨论的。由于估计量和样本容量n有关，我们自然希望当。很大时，一次抽样得出的值能以很大的概率充分接近被估参数，这就提出了相合性(consistency)(一致性)的要求。定义：设=（x1,x2） 是总体参数的估计量，如果对任意0都有limnp|-|,则称是的相合估计量（或者一致估计量）。是的相合估计量就意味着依照概率收敛于。根据大数定律，无论总体x服从纳什分布，只要其k阶原点矩uk=e(xk) 存在。则对任意0都有 limn01n|i=1nxi-ek，而在另外的区域，。因为，整个积分值为1，所以又可得到谱匹配的局部性质，也就是说是的包络的一个好的近似。4 .ar谱的统计性质严格的分析ar谱的方法比较困难，目前尚未有一个解析表达式。粗略的讲，ar谱的方差反比于数据 的长度n和信噪比snr。4.4 ma模型谱估计给出ma(q)模型的三个方程 (4-7) 将上式两边同乘以，并求均值，得 (4-8)式中。 因为 对ma(q)模型，由式(2) 式得 ; 所以，可以求出ma(q)模型的正则方程，即有 ma(q)的功率谱为 等效于经典谱估计中的自相关法，即ma谱估计等效为信号长度为q+1的自相关法谱估计。 4.5 arma模型谱估计 arma(p,q)模型的差分方程 (4-9)式中。类似地，可导出其正则方程如下：式中是系数和的函数，前q+1个方程是高度非线性的。从第q+1个方程开