数学论文-可换矩阵的公共特征向量研究（李慧） .doc

可换矩阵的公共特征向量研究(孝感学院数学系 031114310)摘 要:本文将考虑当满足都是n阶方阵，时,如何求的公共特征向量,而且得到所有公共特征向量的求法及相关研究.关键词: 可换矩阵;特征向量;对角矩阵.the commutative matrixs public characteristic vector studiesli hui(department of mathematics, xiaogan university,031114310)abstract: this article considered when satisfies ab=ba, how asks a, the b publiccharacteristic vector, moreover obtains a, the b all publiccharacteristics vector asks the law.keywords: commutative matrixs; characteristic vector; diagonal matrix.0 引言在文献1中证明了命题1 若都是复数域上的阶方阵，且，则与至少存在一个公共的特征向量.对于命题1的证明，通常的方法是把矩阵转化为线性变换问题，考虑其一个特征子空间中存在另一个线性变换的一个特征向量.这种方法虽然在理论上证明了公共特征向量的存在性，但遗憾的是无法求出所有的公共特征向量，以及公共特征向量的具体形式，而这些在理论与应用上都是很有用的.本文将解决如下问题：在第一部分，对满足的阶复方阵，用新的方法证明了有公共特征向量，该方法的一大优点是，能求出的所有公共特征向量；在第二部分，对可换矩阵存在公共特征向量所依赖的数域进行了讨论，通过构造反例，修正了文献2，3中的疏误；在第三部分，对可换矩阵的更进一步的结果进行了探讨。1 可换矩阵的公共特征向量定理1 若，且，则与一定存在公共的特征向量.证明 因为，则在复数域上一定存在特征值，取的任一个特征值，考虑的特征子空间设，则，设为的一组基，则，于是有，.在下面的证明中，我们将证明存在的属于的一个特征向量，使也是的一个特征向量，即存在某数使成立，从而为与的公共特征向量.由于为的一组基，设 （1）由，则，即得，.则有，使得下步将寻找不全为零的，使（1）成立，并且使为与的公共特征向量. 而由及线性无关，得 （2）即 ，记，即得，也即 （3） 当时，上式有非0解，此式说明是的特征值.定理1证毕.定理1证明了与有公共的特征向量，通过定理1的证明，我们还看出， 对于的任一特征值，属于该特征值的所有特征向量中，一定存在的特征向量.于是有推论：推论 1 若复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则与至少有个线性无关的公共特征向量。证明 设是的个互不相同的特征值，按照定理1的证明，在的每个特征子空间中都存在的特征向量，而属于不同特征值的特征向量必线性无关，得是与的个线性无关的公共特征向量。推论 2 若阶复方阵满足，且有个互不相同的特征值，则存在可逆矩阵，使得与都是对角矩阵。 证明 由推论1知与有个线性无关的公共特征向量，作矩阵，则与都是对角矩阵。下面，我们通过例子说明如何用定理1中方法求出可换矩阵所有的公共特征向量。例1 求可换矩阵所有的公共特征向量。， 解 容易验证，的特征多项式为 . ， .对，由，得，基础解系为，而，定理1中的为矩阵，于是，于是公共特征向量为，为任一不为零的常数对，由，得，基础解系为，而，定理1中的，即，对，得，于是公共特征向量为，即，为任意不为零的常数。对，得，于是公共特征向量为，即，为任意不为零的常数。于是所有公共特征向量的形式为：，为任意不为零的常数。2 一个反例命题1中对复数域的要求是必需的，而在文献2中p261却有如下一道习题：习题2 设矩阵与可交换，试证：如果有特征向量，则一定有公共特征向量。在文献3中对该习题作出了如下解答：解3 设是两个可交换的矩阵，系数在数域中，并设其阶数为.可看成维线性空间的线性变换在基下的矩阵，从可交换可推出可交换.如果有特征向量，则有特征值.在对于的特征子空间中，有公共特征向量，也是矩阵的公共特征向量。上述结论不真。事实上，在实数域上，取，令是在实数域没有特征值的任一方阵（这种矩阵是存在的，参见下例），则与可交换，有特征向量，但没有特征向量。例1 在实数域上，（单位阵），则，有特征值，从而有特征向量，但在实数域上没有特征值，自然没有特征向量.3 进一步的讨论 引理 1 ，相似于对角阵有n个线性无关的特征向量设为的n个线性无关的特征向量.令则可逆,且.引理 2（哈密尔顿-凯莱定理）设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则 .引理 3设，若，则的任一特征向量一定是的特征向量.证明：令，又.由有，则 = =, .即证.引理 4 若，且有n个互不相同的特征值，则可逆阵使得 ， .证明 有n个互不相同的特征值，可以对角化（即相似于对角阵）,即，使得.由,即 = .证毕.引理 5 若,则可同时相似于上三角阵,即可逆阵使得 ,.证明 先证至少有公共的特征向量. ,，将扩充为的一组基，取，则=.同理.，即 用归纳法证: 则可逆阵使得 , 取使得可以同时相似于上三角阵. 引理 6 若，则.证明 ,，即，有.结论 1 已知 ，则 1不是的特征值，也不是的特征值； 若相似于对角阵，则也相似于对角阵，且可同时相似于对角阵.证明 1不是的特征值.或证：若1是的特征值，设，即，于是有矛盾. 即证.设 由.即，.证毕.注：若与都是对角阵，则则. 结论 2若，至少有一个可以对角化，则 一定能表成的多项式.的每一个特征向量都是的特征向量. 至少有一个公共特征向量.证明：由有.1不是的特征值. 可逆.下证可表成关于的多项式. 1 不是的特征值，设为特征多项式. ，.于是有又由引理3有，即.证毕.易得.由，即有此结论.结论3 若，可对角化，则有个公共特征向量，且它们线性无关.证明 由，.又可以对角化，存在个线性无关的特征向量.从而它们也是的个特征向量.设为公共特征向量，且线性无关.记，则 ，.参考文献1屠伯埙.线性代数方法导引m.上海：复旦大学出版社，1986.2王萼芳.高等代数教程（下册）m.北京: 清华大学出版社，1997.3王萼芳.高等代数辅导与习题解答m.北京:清华大学出版社，1997.4laffey t j .simultangularization of matrices-low rank cases and the nonderogetory casej.lin and multilin .alg ,1978 ,6(4):289-305.5choi m p ,lourie c ,radjavi h.on commutators and invariant subspacesj.lin and multilin.alg,1981,10(4):329-340.6屠伯埙，徐诚浩,王芬.高等代数m.上海:上海科学出版社,1987.7胡付高.矩阵的弱相似性及其应用j.信阳师范学院报(自然科学版),2003,16(1):4-6.8王萼芳,石生明.高等代数m.北京:高等教育出版社,1987.9朱靖红，朱永生