数学建模论文-小和山自行车校区租赁制度规划和收费设计.doc

小和山自行车校区租赁制度规划和收费设计目 录摘要11.问题的分析与重述22.模型假设33.符号说明34.问题一模型的建立44.1模型一64.2 模型二：动态规划模型85.问题一模型求解86.问题二模型建立97.问题二模型求解108.模型的优缺点分析128.1 优点128.2 缺点139.模型的展望1310.参考文献1311.附录13摘要本文基于网格法和平衡收益法研究了浙工大小和山校区自行车租赁和收费制度。针对问题一，我们建立了两个模型。模型一是在75*25的网格上进行建立了非线性规划模型进行规划求解。模型二是在15*5的网格上建立动态规划模型进行规划求解。对于模型一，在已经网格化的图片上，将所有人流密度较大以及处于网格交点的点作为候选网点，以服务区域大小的均衡度最小为目标确定网点，因此以这个模型求解时，我们可以认为每个网点服务区域基本均衡，从而可以在各个网点安排的自行车数量相等。对于模型二，是对模型一的改进，把网格的交叉点以及人流密度较大点作为候选点。定义某点的最短加权距离为该点人数乘以该点到它最近租车点的距离。每次选网点应该尽可能地选择最短加权距离值大的候选点。基于此确立了最短加权距离和最大的动态规划模型，最后用贪心算法进行优化求解，求得最优租赁点以下九个分布在图中的黑点：针对问题二，作为便利学生以及教师出行的交通工具，租赁制度不以盈利为目的。但是它在为学生出行提供方便的同时要能保证自身的正常运行。其收益为租车收益，费用包括购置车辆费用和自行车维护费用。当收益和费用相等时的租赁收费为最优解。据此，给出了自行车租赁费用和租赁次数的模型以及租赁次数和维护费用的模型，并对购置费用按自行车的使用寿命进行了平均。最后通过费用收益平衡方程解得最优租赁价格为0.368元/次。关键词： 网格法 动态规划模型 贪心算法 费用收益平衡方程1. 问题的分析与重述自行车自动租赁系统推出后，受到杭州市广大市民的欢迎。浙江工业大学小和山校区也可以推行这种租赁方式。这样，就需要有与小和山校区情况相适应的自行车租赁点分布和收费制度。首先明确人们选择自行车代步的目的是节省时间和体力，故租赁点之间距离的设置要合理，同时它还要连接人流量密集点。因此需要对小和山地区各点人流量作出一个正确的估计和分析。基于小和山校区的平面规划图，发现此地区存在几个人流相对密集点，即教学楼、超市、寝室楼以及支干路等地，且这些点之间的步行距离都较大，可作为自行车租赁候选点。进一步将人流密集点扩展到一个区域，就会产生区域重叠情况。据此我们对各候选点进行优化从而找出最优租赁点。而在校园里实行自行车租赁制度应是一项便民工程，其不应该以盈利为目的，而在于减少其运营成本。它要考虑到价格对租赁的杠杆作用以及自行车购置成本和维护费用。最后通过模型求解在规划图中标注出自行车租赁网点和自行车数目并通过收入和费用的平衡求解出合理的收费标准。2. 模型假设1、 小和山校区的人数在短时间内基本不变；2、 在各个候选点统计人流量时，出入该地自身拥有自行车的学生数目不计入人流量；3、 网格法中网格的距离为欧式距离；4、 在计算成本时自行车不计提折旧费用且无净残值;5、 自行车租赁费用的收取不以盈利为主要目的而用以冲销运营成本；6、 每辆自行车的购置费用为180元；7、 小和山校区学生可以承受的步行距离为200300米；8、 人流量最大的点设为第一个租赁点。3. 符号说明 表3.1 基本符号说明表符号符号的含义候选的自行车租赁点集合自行车租赁点的集合自行车租赁点编号单位格子的面积租赁点k所能服务的区域大小表示租赁点服务区域大小的平均值所有租赁点的单车承载率低的平均值第k个租赁点的单车承载率所有服务区大小的均衡度所有租赁点单车承载率大小的均衡度第k个租赁点的服务人数第k个租赁点的单车数量第k个租赁点的横坐标第k个租赁点的纵坐标将图片网格化后的人数矩阵格子（i,j）到第k个站点的距离格子（i,j）所属的租赁点第k个租赁点所服务的格子集合第k个租赁点与第1个租赁点的距离与第k个租赁点相距最近租赁点的距离e日均维护费用r维护费用的增长系数x租赁次数m租赁价格租赁次数增长率j总购置费用4. 问题一模型的建立在问题一中，要求在学校内设立自行车租赁点(下面简称网点)，必须找到指标来衡量网点分布及网点自行车的分布合理性。假设每个网点所服务的区域大小要尽量均匀，因为如果不同网点所管辖区域发生人员变动时，所造成的压力才会均衡。因此以方差来描述服务区域的均衡度，记为网点所能服务的区域大小，为网点服务区域大小的平均值，则所有服务区域大小的均衡度： （1）而对于网点所确定的单车数，单车的承受能力也要尽量均衡，因为单车的承受能力一致，那么它的损坏情况也会基本一致，这样对于单车的检修和维护都是大有裨益的。因此建立单车的承载率作为衡量该网点单车分配的合理性的一个重要指标，记为第个网点的服务人数，为第个租赁点的单车数量，为第个网点的单车承载率，为所有网点的单车承载率的平均值，为所有网点单车承载率大小的均衡度，则有网点的单车承载率： （2）所有网点单车承载率大小的均衡度： （3）将题目中所给的图，划分为15*5个网格，并按照图像点的坐标方向建立坐标系，即图中的像素点的坐标即为网格坐标。记为自行车网点的集合，为格子到第个网点的距离；为格子所属的网点，为第个网点所服务的格子集合： （4）其中为第个网点的坐标。 （5）其中满足 由（3）（4）式可求得每个网格点所属网点： （6） （7）将n个网点合理分布到学校各个方位，为了达到服务学生和方便大家的目的，寝室楼、教学楼、超市、图书馆附近，人流量比较多。一般来说，网点的选址优先考虑这些人流量较多的点。因此把网格的交叉点而且处于人流量大的地方作为候选点，候选点在图中标出，如下图：图4.1小和山校区自行车租赁候选点分布图通过找到一个，使得服务区域大小的均衡度最小，在此基础上根据理想情况下按区域人口比例分配单车，使最优，即。又根据假设所选的网点与网点之间的距离一般控制在200米至300米之间，因此只要最少存在一个点距该点的距离在200到300米之间，就能满足题中所给的要求。为此用网点间的最短距离作为约束，即网点间的最短距离需在200米到300米之间，设为第个网点与第个网点的距离，为与第个网点相距最近的网点的距离，则有 （8）（9）故可以建立如下规划模型。4.1模型一目标函数：限制条件： （10）根据候选点图，找到所有人流量多且位于网格交点位置作为候选点集，然后用vc求解，经过分析求最优解速度十分缓慢，原因是程序中循环次数过多。分析其原因得：第一，在模型一中，模型一对于格子的大小，划分得太小，使得候选点集太大；第二，观察图的右下角的网点太少，这就使得在求解过程中，所选的大部分点都是来自左上角，网点的分布不均匀。基于上述原因，我们对图中格子重新划分，我们将图划分为15*5个方格，每个方格的对角线为141m（为了处理方便，我们将不满一个方格的格子，看成一个方格，不影响对网点的选址），并把该方格的边沿点作为网点的候选点，记 （11）对于每个方格而言，方格的对角线长度为141米，这样划分的好处是，对于如图示方格候选点1与2距离为100m，1与 3距离为141m，1与4间距离为282m，距离均在200米到300米之间，这样不仅使得点的数目大大减少，也很容易检验模型结果。模型一中网点分布不均是由于我们在求解的方式总是一个一个的找相邻的候选网点，因此我们需在找点方式上改变策略。当已经从候选点中找出了m个网点，得到集合后，即可确定此时图上其他各点到这m个点的加权最短距离矩阵，定义此时的加权最短距离矩阵为： （12）的意义在于它的大小反映了第次从剩下的侯选点中选第个网点时，最需要优先考虑的点，的值越大，则点应该更先被选。因此我们设立目标函数 （13） 其中表示第次被选网点的坐标。这样大小只与集合所选取的点中的有关，由很明显的由阶段决策特性,因此将目标函数转化为 （14） 对于有 （15）对于可能取到任一候选点 （16）因此我们建立如下动态规划模型。4.2 模型二：动态规划模型目标函数：限制条件：（17）在具体求解过程中，我们可以将约束条件（17）通过贪心进行优化，提高求解速度，每次寻找状态转移时，尽量找最大的所在网格作为网点的安排。5. 问题一模型求解租赁网点确定以后，我们还需要知道各个网点的人流量大小。记在周三早晨时段的人流量为，那么在这段时间内的人流对时间的密度则为，同样求得中午与晚上时间段的人流密度。取为三者平均值。因为早上七点以及晚上八点以后租用自行车的人很少，因此把积分区间设为七点到二十点。这样，每日的人流量为。计算得到各个网点每日人流量如下表：表5.1 各点每日人流量表人流量人流量（0,0）322（8,0）1503（1,0）454（8,1）-（1,1）540（8,2）-（2,0）-（9,0）1288（2,1）934（9,1）1264（3,0）817（9,2）1660（3,1）1025（10,0）-（3,2）-（10,1）1566（4,0）967（10,2）664（4,1）1026（11,0）-（4,2）1213(11,1)1592（5,0）1212(11,2)816(5,1)1123(12,0)-(5,2)-(12,1)-(6,0)822(12,2)728(6,1)1144（13,0）-(6,2)-（13,1）752(7,0)1204（13,2）603(7,1)1016（14,0）-（7,2）1050（14,1）608在具体求解过程中我们需要寻找第一个点作为基准点，根据假设以及表值，我们可以得到第一个点的坐标为（9，2）通过贪心查找确定其余的点。根据假设，我们考虑到学生能承受的步行距离，我们以250为半径的圆去覆盖整个校区，已知小和山校区总的面积是2100亩，所以我们只要取程序运行结果前九个解作为最优解。将表值数据代入运行c+程序（代码见附录），我们可以得到运行结果，如下图：图5.1小和山校区自行车最优租赁点分布图在此模型中我们已经使服务区域大小的均衡度以及网点单车承载率大小的均衡度达到最优，所以我们在每个网点安排自行车的时候不需要考虑该点人流量的大小，在每个网点安排相同的自行车数量即可。参照杭州市各个网点自行车的数量，我们在每个租赁点设置20辆自行车。6. 问题二模型建立校园自行车租赁是以服务学生为主要目的，其租赁收入用于日常维护和自行车的购置。由经济学知识可知，运营成本包括自行车的购置费用以及维护费用。每天自行车的维护费用和租赁次数之间有如下关系： （18） （19）而租赁价格与租赁次数之间有如下关系： （20） （21）自行车的使用时间为t日，据此平摊购置费用到日运营成本。我们认为每日收入刚好等于每日运营成本时的收费价格为最合理价格。建立收益费用平衡方程如下： （22）7. 问题二模型求解为使人流平衡度和车辆承载率平衡度达到最小，因此确定租赁点数为九个，结合杭州市城市自行车规划，由问题一得求解，我们知道每个租赁点安排20辆自行车。每辆自行车的购置费用为180元，则总购置费用为32400元.普通自行车的使用年限一般为三年。我们考虑到校内子自行车维护费用和公交系统的自行车维护费用一致，根据杭州公共自行车不同月份租赁人次以及当月投入的费用，运用matlab求出每个月的自行车的维护费用和租赁次数之间函数关系的系数。根据杭州公共自行车的平均投入，每天平均有7.5万人租赁，投入4万元维护费用（数据来源于杭州新闻），设。利用matlab程序（见附录），我们可以得到下图：图7.1杭州市公共自行车租赁人次与维护投入的关系图我们对维护费用取自然对数，可以用线性拟合，得到拟合系数r=0.2224；从而我们可以得到自行车租赁人次与维护投入的关系：对于小和山这样一个特定的消费群体，我们不可能用其他地方的数据来衡量本校区学生对价格的敏感度，所以我们设立调查问卷，对本校学生（没有自行车的）进行调查。我们一共有180辆车，所以我们分发180张调查问卷。（调查问卷以及结果见附录）我们取其中一组数据，设。利用matlab程序（见附录），我们可以得到下图：图7.3 租赁价格与租赁次数之间关系图我们对租赁人次取自然对数，再用matlab拟合，得到拟合系数；从而我们得到租赁价格与租赁次数的关系：。将拟合好的函数关系代入： 我们可以的得到定价为0.368元每次，可以使收益与支出费用达到平衡。8. 模型的优缺点分析8.1 优点1、 将人流量和路程两个对自行车租赁有着重要影响的因素纳入了模型；2、 我们引入网点单车承载率大小的均衡度和服务区域大小的均衡度，这样我们就可以平均分配每个网点的自行车，而不需要考虑人流量的多少来规划每个网点的自行车数目。3、 在进行人流量测算时对具有代表性的时间段进行了统计，并用积分估算出各网点日均人流量，既节省了人力和时间又具有说服力；4、 用贪心进行了求解优化，加快了求解速度；5、 在制定费用时充分考虑了租赁量与维护费用的动态关系，也考虑了价格对于租赁次数的杠杆作用。8.2 缺点未将租赁点会出现的车辆不足的情况纳入考虑，也未考虑天气对自行车租赁带来额度影响。这些会引起实际租赁次数小于估计值。9. 模型的展望在租赁点选择完成后我们还应考虑自行车数量分配问题和自行车归还问题。即应该让各个自行车租赁点的空置车辆数目保持动态平衡。可以以最小化空置率（空置率为该点现有车数对安排车辆数的比值）为目标进行动态规划。据此可以求解出每个自行车租赁店的最佳安排车辆。同时，还应该根据各租赁点的租赁次数以及自行车损坏率安排有备用车辆。同时，收费标准也可以进行如下改进。在制订价格时还应考虑到小和山地区的人均消费水平和收入水平，这样价格杠杆的作用才会精确。同时应对不同季节制订不同的收费标准。另外，考虑到自行车会有长时间未归还情况，可对此参考杭州市自行车收费标准，对在半小时之内归还的车辆不收取额外费用。当租赁时间超过半小时时，则按每小时一元的标准收费。10. 参考文献1 胡运权，运筹学基础与应用，高等教育出版社，20052 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南：湖南出版社，19933 邬学军，周凯，宋军全，数学建模竞赛辅导教程，浙江大学出版社，20094 陈东彦，李冬梅，王树忠，数学建模，科学出版社，20075 万方数据库，杭州市公交车管理中心，豆丁网，20106 stanley b.lippman , josee lajoie,c+ primer,the addison wesley press；3rd edition11. 附录动态规划源代码：#include #include #include #define wide 15#define hight 4#define point 30using namespace std;struct nodeint x, y, people, n;node() :x(0), y(0), people(0), n(0) ;node(int _x, int _y) :people(0), n(0)x = _x;y = _y;double dist(node a, node b)return sqrt(a.x - b.x) * (a.x - b.x) * 1.0 + (a.y - b.y) * (a.y - b.y) * 1.0);int main()ifstream gridin(grid.txt);ifstream peoplein(people.txt);int gridhightwide;double distancepoint, peoplehightwide;memset(grid, 0, sizeof(grid);memset(people, 0, sizeof(people);int i, j;deque map, ans;for (i = 0; i hight; i+)for (j = 0; j gridij;if (gridij = 1)node n(i, j);if (i = 2 & j = 9)ans.push_back(n);elsemap.push_back(n);for (i = 0; i hight; i+)for (j = 0; j peopleij;int n, nmap = map.size(), nans = ans.size(), flag;for (i = 0; i nmap; i+)mapi.people = peoplemapi.xmapi.y;double temp, max;deque:iterator it = map.begin();n = 25;while (-n)memset(distance, 0, sizeof(distance);nmap = map.size(), nans = ans.size();max = 0;it = map.begin();for (i = 0; i nmap; i+)for (j = 0; j nans; j+)temp = dist(mapi, ansj) * mapi.people;if (dist