数学论文-一类连续正交投影算子的表示定理.doc

一类连续正交投影算子的表示定理 (孝感学院数学与统计学院， 湖北 孝感 432000)摘要: 本文首先给出单一正交投影算子使用矩阵或线性变换的表示方法，然后在此基础上给出一类连续正交投影算子的表示定理.关键词: 投影算子；投影矩阵；正交投影算子；正交投影矩阵；幂等矩阵the representation theorem of a class of continuous orthogonal projection operator han jiping(051114308) （xiaogan college school of mathematics and statistics，hubei xiaogan 432000） abstract: the paper first gives a single operator using the orthogonal projection matrix or linear transformation method，and then on this basis is given for a class of continuous orthogonal projection operator of the representation theorem.keywords: projection operator; projection matrix; orthogonal projection operator; orthogonal projection matrix; idempotent matrix 0 引言投影算子及投影矩阵有着广泛的应用，如在实际问题中出现的求最小平方偏差，一些规划问题中的理论也涉及到投影方法.因此对投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻画显得由为重要，对它的研究具有理论上的意义.考虑实数域上的一个维线性空间，.有分解式，其中则称叫做沿到的投影.如果用表示由到上的映射，则称为在上的投影变换或投影算子.若是内积空间，且，则称为在上的正交投影变换或正交投影算子.对于的一组标准正交基，这里我们设，取的一组标准正交基，的一组标准正交基.令，我们设为基到基的过渡矩阵，则有.在基 下的矩阵为，于是在标准正交基下的矩阵为另一方面，由于为正交矩阵，故有，于是又有 .由此本文首先给出单一正交投影子的表示方法,如用矩阵或线性变换表示.然后探讨和分析了一类特殊的由有限个正交投影算子(连续正交投影算子)的表示方法.1基本概念定义 11 矩阵称为正交投影矩阵，如果它是对称幂等阵，即满足，.定义 2 设是维欧氏空间，为中某一单位向量，定义线性变换，我们称为在子空间上的正交投影算子.定义 3 是维欧氏空间，其子空间有上的正交投影变换，称为连续正交投影算子或连续正交投影变换.定义 42 设是一个数域， ，若有矩阵使，则称为的一个逆，记为.2 定理及证明定理 1 是维欧氏空间，为的任意一组标准正交基.（1）若为正交投影矩阵，则存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为，且()()是在上的正交投影变换；（2）若，是在上的正交投影变换，它在上述基下矩阵为，则为正交投影矩阵.证明 （1）对于给定实矩阵，存在唯一线性变换在上述基下对应的矩阵为.，令，是幂等的知，于是，且由，故有，是在上的投影变换.于是有，即，故.故.下证是正交投影变换，即证.记对应线性变换记为，易知为幂等的，由上述证明知为在.由是对称的有，于是有.由已知我们有，设，则有 对，于是.，因此有.，则有知.故有 于是 . 故是正交投影变换. （2）若，是在上的正交投影变换，则有 在中取一组基， .则，构成，于是有 存在有 = =即有. ，则有 ， 记对应的矩阵为，则为在上的投影变换，=，同理=，也是到的正交投影变换，故，即= . 是正交投影矩阵.定理2 是维欧氏空间， ，是在上的正交投影变换.设 的一组标准正交基，为的一组标准正交基，并且令，设在子空间上正交投影变换为，即， ，则(1) ，;(2) ，则证明 (1)由的一组标准正交基，为的一组标准正交基，知为正交矩阵.于是，其中于是，有故，其中为单位变换. (2) 由(1)的证明可知 又 于是，即.推论1 在定理2的条件下，在上的正交投影矩阵，其中为阶单位矩阵.证明 取的一组标准正交基，这里，.记在这组基下的矩阵为.而为正交矩阵.故.由基到的过渡矩阵记为，则 ，于是有.另一方面由，知.推论2 在定理2的条件下，.证明 设在的标准正交基下的矩阵为，其中，.由推论1我们有，故有.下面我们给出正交投影算子的另一种表示方法.首先给出两个引理.引理1 设为实矩阵，则有 (1) (2)证 若，两边左乘，得，即有，由于，故；若，则，(1)式得证. 同理可证(2).引理2 对任意的实矩阵，有 ， （3）证 由于， ， 得，即有.另一式由可得.定理3 设在欧氏空间中， 定义内积 ,对于矩阵， 记，由生成的列空间. 则在上的正交投影矩阵为证 为在上的正交投影算子， 在的标准正交基下的矩阵为， 这里，.又设，取的一组标准正交基， 的一组标准正交基， 则也是的一组标准正交基， 且在这组基下的矩阵为.记标准正交基到的过渡矩阵为，即有则.易知.若记，则，其中为矩阵，为矩阵，则有 （4）由于，可由线性表出，故有 其中为 矩阵，则由（3）式得 因此有，再由（4）式得 .以上我们给出了单一正交投影算子的表示方法，下面我们将给出一类连续正交投影算子的表示定理.定理4 设是阶实矩阵，其中为线性无关的单位向量组，而是阶上三角矩阵，定义(5)为在上的正交投影算子，.令，则在维欧氏空间的标准正交基下的矩阵 ，其中为阶单位矩阵，.证 在的标准正交基下的正交投影矩阵为，由推论1我们知 ，于是有，因此只需证 即可.对作数学归纳法.当=1时，结论成立.假设结论对成立，即有(6)其中 是阶矩阵，而是阶上三角矩阵，其中元素由(5)式定义.下证结论对成立，下面对(6)式左右两端的作化简计算，首先由归纳法假设，得 (7)其次,根据矩阵的定义，我们有 (8)其中为维列向量，由的定义，得，故由(7)，(8)式即得.定理4证毕.3 结束语 本文给出了正交投影算子和一类连续正交投影算子的表示定理，对一般的连续正交投影算子的表示问题有待进一步展开探讨和研究，望读者不吝赐教.致谢：本文得到胡付高老师的悉心指导和大力帮助，在此向胡老师致以我最衷心的感谢.【参考文献】1庞善起.一类正交投影矩阵及其相关正交表j.应用数学学报，2005，28(4):668-6742王松桂,杨振海.广义逆矩阵及其应用m.北京:北京工业大学出版社,1996.3brady t，watt c.on products of euclidean reflectionj.american mathematicalmonthly.2006，11(9):826-829.4张杰.关于投影变换的一个定理的改进与推广j.重庆邮电学院学报(自然科学版)，2004,16(6):122-1235张杰.正交投影矩阵的一个求法j.重庆邮电学院学报(自然科学版)，2006,18(1):141-142.6王五生，林远华.有限维线性空间上的投影与幂等矩阵j.重庆师范大学学报(自然科学版)，2004,21(2):86-88.7蒋宏锋.运输问题的投影矩阵j.长沙大学学报，2004,1