重庆市2017届中考数学一轮复习《4.4等腰三角形》讲解含答案

12999 数学网 12999 数学网 第四节 等腰三角形 课标呈现 指引方向 1了解等腰三角形的概念，探索 并证明等腰三 角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 2探索等边三角形的性质定理：等 边三角形的各 角都等于 60，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是 60的等腰三角形）是等边三角形。 3探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 4理解线 段 垂直平分线的 概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 考点梳理 夯实基础 1等腰三角形的性质 （ 1）等腰三角形的两底角 ，简称为“等边对 ” 【答案】相等 等角 （ 2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线 ； 【答案】三线合一 （ 3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 【答 案】底边的垂直平分线 2等腰三角形的判定 （ 1）有两边相等的三角形是等腰三角形； （ 2）如果一个三角形有 相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对 ” 【答案】两角 等边 3等边三角形的性质 （ 1）等边三角形的三个内角都 ，且都等于 【答案】相等 60 （ 2）等边三角形的每条边上都有 ； 【答案】三线合一 （ 3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有 条 【答案】 3 4等边三角 形的判定 （ 1） 相等的三角形是等边三角形； 【答案】三边 （ 2）有两个角是 的三角形是等边三角形； 【答案】 60 （ 3）有一个角为 的等腰三角形是等边三角形 【答案】 60 5角平分线的性质和判定 （ 1）性质：角平分线上的点到角两边的 【答案】距离相等 （ 2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的 【答案】角平分线上 12999 数学网 12999 数学网 6线段的垂直平分线的性质和判定定理 （ 1）性质：线段的垂直平分线上的点到线 段两端点的距离 【答案】相等 （ 2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上 考点精析 专项突破 考点一 等腰三角形的性质和判定 【例 1】（ 1）（ 2016 泰安）如图， 在 ， M、 N、 K 分别是边 的点，且 44 ，则 P 的度数为（ ） A 44 B 66 C 88 D 92 【 答案 】 D 解题点拨： 通过题中所给的条 件 及由 证 A B 所以 到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出 A 与 等，最后由三角形的内角和求出 P 的度数 （ 2）（ 2015 巴中） 如 图，在 ， 5， 3， 别为 中线和角平分线，过点 C 作 点 H，并延长交 点 F，连接 线段 长为 【答案】 1 解题点拨： 由全等三角形的知识 可证得 等腰三角形，所以 H 为 点，再由已知条件可得 中位线，利用中位线的性质即可求出线段 长 考点二 等边三角形的性质与判定 【例 2】如图， D 是等边 边 一点， E 是 长线上一点， 接 F，过 D 点作 G 点 （ 1）证明： 1（ 2）证明： 12999 数学网 12999 数学网 解题点拨： 本题考 查了全等三角 形的判定与性质、等边三角形的性质全等三角形是证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件 解：（ 1）证明： 等边三角形， A 60 ， 90 ， 30 ， 21 （ 2）过点 D 作 点 H， B， E， 等边三角形， B A 60 ， A 60 ， 等边三角形， ， H， 又 课堂训练 当堂检测 1（ 2016 安顺） 已知实数 x、 y 满足 | 4 | 8 0 ，则以 x、 y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A 20 或 16 B 20 C 16 D以上答案均不对 【答案】 B 2（ 2016 武汉 ） 平面直角坐 标系中，已知 A(2， 2)、 B(4， 0) 若在坐标轴上取点 C，使 等腰三角形，则满足条件的点 C 的个数是（ ） 5 B 6 C 7 D 8 【答案】 A 3（ 2016 达州） 如图， P 是等边三角形 一点，将线段 点 A 顺时 针旋转 60得到线段 接 6， 8， 10，则四边形 面积为 12999 数学网 12999 数学网 【 答案 】 24 9 3 4（ 2016 菏泽） 如图， 为等腰三角形，点 A， D， E 在同一直线上，连接 21 教育网 （ 1）如图 1，若 50 ， 求证： 求 度数 （ 2）如图 2，若 120 ， 上的高， 上的高，试证明： 2 3 32 解： （ 1）证明： 为等腰三角形， 【版权所有： 21 教育】 解：由得 在 ， 180 180 180 180 180 50 50 80 （ 2）证明：在等腰 ， 120 ， 1 60 ， 在 ， 3 2 3 由（ 1）中，得 180 180 (180 120 ) 120 ， 60 在 ， 332 由（ 1）中知 32 A B C D E 图 1 A B C D M E N 图 2 12999 数学网 12999 数学网 2 3 32 2 3 32 中考达标 模拟自测 A 组 基础训练 一、选择题 1（ 2016 荆门） )如图， ， 平分线，已知 5， 3，则 长为 ( ) A 5 B 6 C 8 D 10 【答案】 C 2（ 2016 黄石）如图所示，线段 垂直平分线交线段 点 D， A 50 ，则 （ ） A 50 B 100 C 120 D 130 【 答案 】 B 3（ 2016 荆门）已知 3 是关于 x 的方程 (m 1)x 2m 0 的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 两条边长，则 周长为 ( ) A 7 B 10 C 11 D 10 或 11 【答案】 D 4（ 2016 扬州）如图 ，矩形纸片 ， 4， 6将该矩形纸片剪去 3 个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( ) A 6 B 3 C D 2 (第 8 题 ) 【 答案 】 C 二、填空题 5（ 2016 资阳） 如图 ，在 33 的方格中， A、 B、 C、 D、 E、 F 分别位于格点上，从 C、 D、 E、F 四点中任取一点，与点 A、 B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是 D C B A 第 1 题图 12999 数学网 12999 数学网 【答案】436（ 2016 乐山）如图，在等腰 ， 直平分 知 40，则 【答案】 15 7（ 2015 南通）如图， ， D 是 一点， 102，则 【答案】 52 三、解答题 8（ 2016 贺 州） 如图，在 ，分别以 边作等边三角形 等边三角形 接 于点 O， 求 度数 解：如图： 于点 H 是等边三角形， 60 ， 在 ， 12999 数学网 12999 数学网 180 ， 180 ， 60 ， 180 120 9如图， ， 分 平分 E， F，求证： 解：（ 1）连接 平分 平分线， 90 在 B 组 提高练习 10（ 2016 内江） 已知等边三角形的边长为 3，点 P 为等边三角形内任意一点，则点 ） A 32B 332C 32D 不能确定 【 答案 】 B 【 提示 】解： 如图，过点 A 作 G，连接 12999 数学网 12999 数学网 等边三角形， 60， 3 32 332 S 12121212 332， 11（ 2016 江西） 如图是一 张长方形纸片 知 8， 7， E 为 一点， 5，现要剪下一张等腰三角形纸片（ 使点 P 落在长方形 某一条边上，则等腰三角形 底边长是 【 答案 】 5 2 或 4 5 或 5 解：如图所示： 当 5 时， 90 ， 等腰直角三角形， 底边 2 5 2 ； 当 5 时， 8 5 3， B 90 ， 422 底边 5448 2222 当 ，底边 5； 综上所述：等腰三角形 对边长为 5 2 或 4 5 或 5； 12（ 2016 沈阳） 在 ， 6， 5，将 点 A 按顺时针方向旋转，得到 转角为 0 1 8 0 ，点 B 的对应点为 D，点 C 的对应点为 E，连接 BD， 12999 数学网 12999 数学网 （ 1）如图，当 60 时，延长 点 F 求证： 等边三角形； 求证： 请 直接 写出 长； （ 2）在旋转 过程中，过点 D 作 直于直线 足为点 G，连接 线段 线段 公共点时，请 直接 写出 值 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 解： （ 1） 证明： 点 A 顺时针方向