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关于如何学好不定积分的思想和方法指导老师 晏莉颖摘 要：本文从不定积分的定义与性质说起，总结了直接积分法、换元积分法、分部积分法、有理函数积分法和其它一些常见的积分法的技巧，并通过实例加以说明.关键词：积分；直接积分；换元积分；分部积分；有理函数积分1.引言不定积分是高等数学最基本、最重要的的概念之一.不定积分的计算式积分理论的重要组成不分，有这广泛的应用.在学习过程中，我们知道不定积分的计算方法有很多种，但面对一道题时用哪种方法呢？这是我们所面临的问题，下面就我对不定积分的理解，做以下简单的总结.2. 基本概念与性质2.1不定积分的性质 定义 设是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分；即要点 由定义知，假设存在一个注：为什么会有，我们知道任意常数的导数所以易见的原函数是一组函数,而不是某个函数. 2.2不定积分的性质1、或2、或3、（只对有限个函数适用）4、要点 由性质1、2，知若“”与“”连在一起、或者抵消、或者抵消后差一个常数.由定义知，两边同时微分得，记为（1）式，由微分知识可知，所以（1）式即为同理，因对于性质3，例如对于性质4，例如3.不定积分方法小结3.1直接积分法3.1.1基本公式1、由2、由3、由4、由5、由6、由7、由8、由9、由10、由11、由和可得12、由13、由14、注：例1 分析：对于这种含根式的形式，首先要化为幂的形式，然后分项积分解 原式=例2 分析：先通过变形达到将分子降幂的目的解 原式=注：从上面的例子可以看出，直接积分法往往需要对被积分函数进行适当的变形或简化或拆项，使被积函数变成可积函数代数和形式，此方法在求不定积分中比较常见，再如：3.1.2倒代换例3 解 令，则，于是原式注：代换称为倒代换，当有理分式函数中分母的阶较高时常使用3.2换元积分法3.2.1第一类换元积分法若，且有连续的导数，则有：注：此方法需熟练掌握函数的微分运算，以及常用的微分公式例4解 原式=3.2.2第二类换元积分法例5 分析：被积函数含根号，令，去根号使问题简化解 令, 在其区间内气反函数为单调的则，故原式=为了方便、直观，回代时，可以利用代换做个辅助直角三角形, 如图1图1可以看出例6 分析：被积函数含项，可令，此题中，令此区间内反函数是单调的，则于是解 原式=例7 分析：被积函数为型的积分，故令，为的最小公倍数.解 令，则，于是有例8 分析：化简分母成的形式解 ，故，即，对式两边同时求微分，则有从而原式=注：解此题时并未直接反解出，而是直接求出了，这种简化过程在解题中应注意.下面介绍含三角函数的不定积分.同乘以一因式或同除以一因式法，如：先凑微分后化为同名函数法，如：易证求的方法.若均为偶数，则先化为同名函数，再用倍角公式降次，若至少有一个为奇数，则先凑微分再化为同名函数，如：易证；3.3分部积分法利用分部积分公式计算不定积分 一般的，下列类型的被积函数常用分部积分法（其中都是正整数） 分部积分法选好是关键，一般的优先选择的顺序：对数函数、三角函数、幂函数、反三角函数、指数函数，具体应用时依据问题具体分析.例9 例10 分析：被积函数为两类不同函数，故考虑用分部积分法解 原式=令，则，于是有从而例11 求解 于是即注：这种类型的不定积分不能直接求出结果，但可以通过两次分部积分得到一个关于原不定积分的方程，从而得出原不定积分的解，但需要注意，两次分部积分中的选择要一致，否则二次积分后将化为原式。3.4有理式积分法若是的次多项式，是的次多项式，则称为的有理函数；若，则称它为真分式，若，则称它为假分式.关于有理函数积分，一般步骤如下： 若，先进行除法，使=多项式+真分式化真分式为部分分式之和对多项式与部分分式之和分项积分，亦即的有理函数最后都可化为，这样四种最简单的积分例12 分析：这是有理函数积分，被积函数是真分式，先把它化成部分分式之和解 设，可用待定系数法或赋值法求待定系数的值，下面联合这两种方法求之.两端去分母得为了求得，比较的系数，得，为了求得，在比较常数项的系数，得，故原式例13 析：这是一个真分式，但分母不能化为一次因子的乘积，求解这类不定积分，一般处理如下解 原式=由上可知：形如的积分，可将它化为m与n的和，对的积分，求解方法如下.当时，方法有二个：第一，将分母因式分解，分项积分；第二，将分母配成完全平方式再积分当时，将分母配成完全平方式再积分当是，上式变为，显然易积分.4.总结总之在求不定积分时，以上几种方法都可以用到，但是针对不同的被积函数要选择适当的方法，有些不定积分需要综合运用换元积分法和分部积分法才能求出结果，这就需要