构造法在数列中求通项公式的应用 毕业论文.doc

目录1引言22文献综述22.1、国内外研究现状22.2、国内外研究现状评价22.3、提出问题23、构造法在数列中求通项公式的应用33.1、构造一个等差数列或一个等比数列33.2、型如 (为常数且，)的数列43.3、形如的复合数列63.4、取倒数构造等差数列或等比数列73.5、特征方程构造等差数列或等比数列83.6、其它特殊数列的特殊构造方法93.6.1、取对数来构造新的数列93.6.2、换元来构造新的数列103.6.3、两个数列的复合构造等差或等比数列103.7、逐差构造法求高阶等差数列得通项公式113.8、 构造一个具备连续递推功能的简单数列133.9、归纳构造法134、数列构造法在数列求和中的应用154.1、逐差构造法154.2、利用组合数公式构造数列的通项求和164.3、拆项构造法165、数列构造在证明中的运用175.1、构造数列证明不等式175.2、构造数列证明整除性命题185.3、构造数列证明恒等式196.参考文献201引言构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考，构造出解题的数学模型从而使问题得以解决。构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的解决办法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。 数列的实质是“按照一定规律”排列成的一列数，描述这种“规律”的最简单的形式是通项公式。因此，求数列的通项公式是研究数列的一个主要课题。等差数列和等比数列以及它们的前n项和所成的数列是一些最特殊最基本的数列。它们的通项公式用演绎法套公式解决。对于其它类型的数列，构造法求通项公式是一种重要的方法，即构造一个与原数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新法案。下面我们通过举例来说明通过数列构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.2文献综述2.1、国内外研究现状国内外对数列的研究大多侧重于研究数列的通项公式及数列的求和、数列在生活中的应用，如楼梯设计、人口增长问题、存款利率问题、分期付款问题等多方面的应用2.2、国内外研究现状评价数列是以种特殊的函数，在研究数列的问题上不能只按数列的思想来看待问题，应用函数的观点来看待数列，看待问题2.3、提出问题高中教材中的数列都是一些简单、低阶的数列，很难培养学生的发散思维和创新能力，因此应把数列穿插到函数中和适当讨论一些高阶的数列的通项公式、求和，以达到训练学生发散思维，提高学生的思想的创新能力.3、构造法在数列中求通项公式的应用3.1、构造一个等差数列或一个等比数列一个非等差、非等比数列，给定初始项的值及一个递推公式（如某些高阶递归数列），通过递推关系式直接变形，或应用待定系数法，若能构造成一个等差数列或以个等比数列，那么它的通项公式便可求得。例1 在数列中，已知，求通项.解 递推式两边同时除以（，否则与矛盾）；构造辅助数列；是与-3为首项，-2为公差的等差数列-+ = =1-把代入上式，得例2 已知数列满足且，求通项.解 用待定系数法，构造等比数列.假设可转化为即比较系数可知 ，则、为方程的两根： ，原关系式化为构造一个以为首项，为公比的等比数列 把上面各式累加起来： ，其中解得 3.2、型如 (为常数且，)的数列型如 (为常数且，)的数列，其本身并不是等差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式.（1）（为常数），可以构造等比数列求解.例3 已知数列满足，求通项.解 由，得又，故数列是以首项为，公比为的等比数列所以 注：一般地，递推关系式(、为常数，且，)可等价地改写成，则为等比数列，从而可求（2）为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解.如（为常数），两边同除以，得，则可转化为得形式.例4 已知数列中，求通项.解 由条件得令，则即 ，又，所以数列为等比数列，故有 ，即所以 （3）为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解.例5 已知数列满足，求.解 令，则所以 ，带入已知条件得 即 令，解得：，所以 ，且故是以3为首项，为公比得等比数列因此 ，故.注：此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解3.3、形如的复合数列形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解 例6 已知数列满足，求.解 有已知可得: 又所以数列是以首项为，公比为的等比数列所以 即 ，亦即 ，又所以 数列是以首项为2，公差为6的等差数列故 因此 3.4、取倒数构造等差数列或等比数列一些较为特殊的数列，可利用“取倒数”的方法构造等差数列或等比数列求解 例7 已知数列中，求.解 由已知，得设，则故是以为首项，1为公差的等差数列所以即例8 若数列中，是数列的前项和，且，求数列的通项公式.解 由，得令，则有故所以数列是以为首项，3为公比的等比数列即，所以当时，由 得 所以 3.5、特征方程构造等差数列或等比数列对某些特殊的数列，可利用特征方程构造等差数列或等比数列求解如满足 的数列，可令特征方程为，变形为，如方程由两异根，则可令 ，则数列是首项为，公比为的等比数列；若方程有二重根，则可令 ，则数列是首项为，公差为的等差数列，然后代入的值可求得值，于是可求得.例9 已知数列满足，求数列的通项.解 令，化简得解得 ，令由，得，可得所以数列是以为首项，以为公比的等比数列故 解得 例10 已知数列满足， ，求数列的通项.解 令，化简得解得 令由，得，求得所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列故所以3.6、其它特殊数列的特殊构造方法3.6.1、通过取对数来构造新的数列求解例11 在数列中，若且 ，求数列的通项.解 由提意可知，将两边同时取对数得 ，即所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列故 所以 3.6.2、通过换元来构造新的数列求解例12 在数列中，求.分析 本题的难点是已知递推关系式中的较难处理，可构建新数列，令，这样就巧妙地去掉了根式，将通项进行转化，便于化简变形解 令，则，即则原条件转化为化简得 ，即变形得所以数列是以为首项，为公比的等比数列故 ，即所以 3.6.3、对于两个数列的复合问题，也可构造等差或等比数列求解.例13 在数列、中，且，求，的通项公式.解 构造新数列，则令，得或所以数列是首项为，公比的等比数列当时，数列是首项为，公比的等比数列.故 当时，数列是首项为，公比的等比数列联立两式得 解得，.3.7、逐差构造法求高阶等差数列得通项公式对于数列，若则数列叫做等差数列；令，则数列叫做一阶差分数列，若是等差数列，则叫做的一阶等差数列；令，数列叫做的二阶差分数列，若是等差数列，则叫做的二阶等差数列；数列是的阶差分数列，若是等差数列，则数列叫做的阶等差数列.下面以二阶等差数列为例说明怎样求高阶等差数列的通项公式.设数列是数列的一阶差分数列，即；数列是的二阶差分数列，即；是等差数列，首项为，公差为.则又，所以于是 最后的结果可作为二阶等差数列的通项公式.例14 已知数列的前6项依次为0, 4, 18, 48, 100, 180，求数列的通项式. 解 设为的一阶差分数列，它的前5项依次为：4, 14，30， 52，80；数列为的二阶差分数列，它的前4项依次为：10, 16，22, 28. 数列是的二阶等差数列，. 3.8、 构造一个具备连续递推功能的简单数列 这里所指的是解题的思维意向，一个模糊的模式，不是解题的具体方法和步骤，也不依赖于某个公式一切均与由问题的条件出发进行探索例15已知数列满足，且，求通项解用合比定理，把化为：构造数列使则即解得3.9、归纳构造法通过有限构造性试验，推测一般结论，让后用数学归纳法去证明例16求数列的通项公式解构造分式取，2，3，4，5时，其分式的值一次为，观察这个有限的前5项可知：各分数的分母为常数3，分子组成一个以3为首项，2为公差的等差数列于是可推测它的第项是那么则用数学归纳法证明此结论：当时，结论成立；假设时结论成立，则有那么当时，左边有 右边有 即当n=k+1时，等式左边等于等式的右边所以对于一切n，等式都成立故 注：1并不是任何数列都可以求出其通项的，能够求出通项的只是一些特殊的数列。例如数列1，1.4，1.41，1.414，就没有通项公式；2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如数列1，1，1，1，其通项公式为，；3数列是函数概念的继续和延伸，数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列中的项与数集中元素的异同，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性。从上述各题构建新数列的过程中，可以看出对题设中递推式的观察、分析，并据其结构特点进行合理变形，是成功构建新数列的关键。构建新数列的目的是为了化繁为简、化未知为已知、化不熟悉为熟悉，这也是解答数学问题的共性之所在4、数列构造法在数列求和中的应用4.1、逐差构造法一个自然数高次幂所组成的数列，它的前项和可以通过逐差构造法，转化为用自然数低次幂的前项的和来表示例17求解构造数列 即 4.2、利用组合数公式构造数列的通项求和运用此方法时，把一个数列的通项转化为用组合数表示，要注意公式的逆向性例19 求数列的前项和解设数列的通项为 故数列的前项和4.3、拆项构造法在数列中，若能构造数列，使那么例20 计算解设数列，故设辅助数列： 则， 于是5、数列构造在证明中的运用5.1、构造数列证明不等式相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果构造数列，利用数列的单调性证明不等式如果要证明不等式，构造数列：，若且是递增数列，即，于是证明了例21 在中，为直角边的长，为斜边的长求证：证明根据勾股定理可知，即 显然有 ，构造数列：首项因为又，有，所以故数列是递减数列当时，即则不等式成立5.2、构造数列证明整除性命题定理对于数列，的充要条件是且例试证能被7整除.证明22 构造数列：， 则 ，又根据定理可知即能被7整除. 5.3、构造数列证明恒等式例23 已知，设，求证：证明 构造数列因为 所以 即 注：一般要证明成立，我们通常转化为证明成立.从以上各例不难看出，数列构造法是一种极富技巧性和创造性的解题方法，体现了数学中发现、类比、化归的思想，也渗透着猜想、探索、特殊化等重要的数学方法。运用数列构造法解数学题可从中欣赏数学之美，感受解题乐趣，更重要的是可开拓思维空间，启迪智慧，并对培养多元化思维和创新精神大有裨益。 6.参考文献1、 侯繁义，数学思维与数学方法。长春：东北师范大学出版社，19912、 邵光华等，数这思想方法与中学数学，北京：北京师范大学出版社，19993、 王国军，蒋园仙，证明不等式的常用处理技巧，中学数学教与学，2000（10）4、 宋玉连，构造法在