数学毕业论文---常见分布的性质及其应用.doc

目录第一章：绪论- 31.1 随机变量-31.2 离散型随机变量及其分布-31.3 连续型随机变量及其分布-4第二章：常见离散型分布及其应用-4 2.1 0-1分布及其应用- -4 2.2 几何分布及其应用-5 2.3 二项分布及其应用-6 2.4 泊松分布及其应用-7第三章：常见连续型分布及其应用-11 3.1 均匀分布及其应用-11 3.2 指数分布及其应用-12 3.3 正态分布及其应用-13参考文献-23常见分布的性质及其应用 张久恩，数学计算机学院 摘 要：在概率论领域里，我们研究的概率分布大体分为两种：离散型概率分布和连续性概率分布。常见的离散型的概率分布有四种-两点分布或（0-1）分布， 几何分布，二项分布以及泊松分布。而常见的连续性概率分布有三种-均匀分布，指数分布，正态分布。这七种常见的概率分布使我们学习概率论的最基本最常见的分布。而这七种分布之间也有相互的联系。两点分布即是一种特殊的二项分布；二项分布在n趋向时近似泊松分布；泊松分布和二项分布在n趋向时也服从正态分布。这七种概率分布因其基础性与常见性，因而在实际生活中应用广泛，特别是工程，医药，财经等领域。 本文先是介绍了一些基本的概率知识，用集合的方法定义一些概率的概念。然后介绍两大类概念分布-离散型概率分布和连续性概率分布。紧接着着重学习研究了上面提到的七种概率分布：（0-1）分布，几何分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布，正态分布及其应用。而正态分布又是我们最为常见研究最多应用最为广泛的概率分布。关键词：离散型概率分布；连续性概率分布；(0-1）分布；几何分布；二项分布；泊松分布；均匀分布；指数分布；正态分布；the quality and application of common probability distributionzhangjiuen，mathematics and applied mathematicsabstract： the distributions which we study in the fields of possibility apparently classify as two rates: the discrete distribution and continuous distribution. while two-points distribution or (0-1) distribution, geometric distribution, binominal distribution and poisson distribution are the common four kinds of discrete distributions. and the uniform distribution ,exponential distribution and normal distribution are the common three kinds of continuous distributions .these seven types of distributions are the most basic and common distribution we have learned. whats more ,there is some relation among these distributions. for instance, two-points distribution is a special type of binomial distribution; and binomial distribution similar to poisson distribution when n tends to ; besides, poisson and binomial distribution similar to the normal distribution when n tends to . these seven kinds of distribution are applied widely in the daily life, especially in the fields of engineering and medicine and finance, due to their fundamental and common quality. we introduce some basic knowledges of possibility firstly, define some concepts of possibility with the methods of set. and then we introduce the two types of possibility distributiondiscrete distribution and continuous distribution. lastly, we focus on the study of the seven kinds of distributions discussed above. and the normal distribution is the distribution we study and applied mostly,and also the most commom one. key words : discrete distribution；continuous distribution; two-points distribution; geometric distribution; binomial distribution; poisson distribution; uniform distribution; exponential distribution; normal distribution. 第一章 绪论1.1随机变量 在概率论领域里，我们应用集合的相关知识来定义随机变量。首先对一些随机试验，它们的结果可以用数来表示。我们将随机试验e的所有可能结果组成的集合称为e的样本空间，记为s，样本空间的元素，即e的每个结果，称为样本点。 定义1.1 设随机试验的样本空间为s=e，x=x(e)是定义在样本空间s上的实值单值函数，且对任意实数x,集合ex(e)x有确定的概率。称x=x(e)为随机变量。 由此可知，随机变量不过是实验结果即样本点和是实验之间的一个对应关系。这与数学分析中熟知的“函数”概念本质是一回事。只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而在随机变量的概念中，随机变量x(w)的自变量是样本点w.因为对每一个实验结果w，都有实数x（w）与之对应，所以x（w）的定义域是样本空间，值域即实数轴。1.2离散型随机变量及其分布 本节我们先介绍离散型随便变量及其分布。 定义1.2 定义在样本空间上，取值于实数域上r,且之取有限个或可列个值的变量x=x(w)，称作是一维（实值）离散型随机变量，简称为离散型随机变量。 设离散型随机变量x所有可能值为xk(k=1,2,),x取各个可能值的概率，即事件x=xk的概率，为px=xk=pk，k=1,2, (2.2)由概率的定义，pk满足如下两个条件：（1） pk0,k=1,2,(2) k=1pk=1 我们称（2.2）式为离散型随机变量x的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示：xx1x2xnpkp1p2pn 常见的较重要的离散型随机变量有四种：（0-1）分布，几何分布，二项分布，泊松分布。我们将在下章详尽介绍。定义2.2 设x是一个随机变量，x是任意实数，函数f（x）=pxx,-x。称为x的分布函数。对任意实数x1,x2(x1x2),有px1xx2=f(x2)-f(x1)。如果将x看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数 f（x）在x处的函数值就表示x落在区间（-，x】上的概率。 分布函数f(x)具有以下的基本性质：（1） f(x)是一个不减函数，事实上，易知对任意实数x1,x2(x1x2)有f(x2)-f(x1)=px1xx20 (2) 0f(x)1, 且f(-)=limxf(x)=0 f()=limxf(x)=11.3 连续型随机变量及其分布在上节中，已经对离散型随机变量作了一些介绍，下面接着介绍另一种随机变量连续型随机变量。定义3.1 若x（w）是随机变量，f（x）是它的分布函数，如果存在函数p（x），使对任意的x有 f（x）=-xp(y)dy则称x（w）为连续型随机变量，相应的f(x)为连续型分布函数，同时称p(x)是f（x）的概率密度函数或简称密度。由分布函数的性质即可验证任一连续型分布的密度函数p（x）必具有下述性质：（1）p（x）0; (2)-p(x)dx=1。反过来，任意一个r上的函数p（x），如果具有以上两个性质，即可定义一个分布函数f(x)。常见的连续型随机变量有三种：均匀分布，指数分布，正态分布。我们将在第三章着重研究。 第二章 常见离散型分布及其应用 2.1 （0-1）分布及其应用 设随机变量x只可能取0与1两个值，它的分布律是 px=k=pk*(1-p)1-k,k=0,1 (0p00,其他指数分布的数学期望为1/，其方差为1/2。服从指数分布的随机变量x具有以下有趣的性质：对于任何s,t0,有pxs+txs=pxt。事实上，pxs+txs=p(xs+t)(xs)/pxs =pxs+t/pxs=1-f(s+t)/1-f(s)=e-(s+t)/e-s/ =e-t/=pxt。这个性质被称为无记忆性。如果x是某一元件的寿命，那么无记忆性表明：已知元件已使用了了s小时，它总共能使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它至少能使用t小时的概率相等。这即是说，元件对它已使用过s小时没有记忆。具有这一性质是指数分布有广泛应用的重要原因。指数分布常用来描述“寿命”类随机变量的分布，例如家电使用寿命，动植物寿命，电话问题里的通话时间等等。 “寿命”类分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。 例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很多电池没有使用几次就坏了这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。 有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。指数分布在可靠性理论与排队论中有广泛的应用。如单位时间内接到电话的呼唤次数、来到公共汽车站的乘客数、来到机场降落的飞机数等在数学（排队论）中称它们是“泊松流”。以机场跑道为例，在到了一架飞机以后，这条跑道就空闲着等待下一架飞机的到来，这段空闲着的时间称为“等待时间”，它的长短是随机的。在公共事业（公共汽车、飞机场等）的设计与规划中，这个“等待时间”太长或太短都是不合理的，因而有必要研究这个“等待时间”的统计规律。下面来说明这个“等待时间”服从指数分布。假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数x服从参数为t的泊松分布，求相继两次故障之间时间间隔t的概率分布。解： 当t 0时由于t是非负随机变量，故 f（t）=pt0=0当t0时，由于事件tt(t长度的时间间隔内没有发生故障)与事件x=0等价，故 f（t）=ptt=1-ptt=1-px=0=1-e-t，即 f(t)=ptt=1-e-t,t00,t0于是t服从参数为的指数分布e（）。即“等待时间”服从指数分布。3.3 正态分布及其应用normal distribution 正态分布1若连续型随机变量x的概率密度为 f(x)=e-(x-)2/22/2 -x0)为常数，则称x服从参数为，的正态分布 或高斯分布，记为xn（，2）2 正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 3标准正态曲线n（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率 。 由于一般的正态总体 其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体 ，其取值小于x的概率 。只要会用它求正态总体 在某个特定区间的概率即可。 4正态分布的数学期望为，其方差为2其图像特征为在均数处最高以均数为中心，两端对称永远不与x轴相交的钟型曲线有两个参数：均数位置参数， 标准差形状（变异度）参数。正态曲线下的面积分布有一定规律正态分布具有可加性5正态分布是具有两个参数和2的连续型随机变量的分布，第一参数是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数2是此随机变量的方差，所以正态分布记作n(，2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与邻近的值的概率大 ，而取离越远的值的概率越小；越小，分布越集中在附近，越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于对称，在处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当=0，2 =1时，称为标准正态分布，记为n（0，1）。维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。6由中心极限定理我们可知：正态分布是二项分布，poisson分布的极限。例如列维-林德伯格中心极限定理指出：设随机变量x1，x2，xn相互独立同分布，且数学期望和方差存在：e（xk）=，d（xk）=20(k=1,2,),则对任意实数x，恒有：limnp(i=1nxi-n)/nx=(x)其中(x)是标准正态分布函数。 7正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、f分布等。 又例如在著名的期权定价公式black-scholes模型中期权现值公式为c=sn(d1)-ee-rtn(d2)。其中d1=ln(s/e)+(r+0.52)t/t2，d2=d1-t2。s ：现行股价；e：看涨期权的执行价格；r：连续复利计算的年无风险收益率； 2：股票的连续收益之方差（每年）；t：至到期日的时间。在此处键入公式。使用到的正是标准正态分布函数n(x)。其中的n(d1)和n（d2）表示标准正态分布随机变量小于或等于d1或d2的累计概率。8 正态分布在哲学，医学，心理学，教育学，企业管理乃至人际关系社会学等学科中都有广泛的应用。a 正态分布论（正态哲学）的主要内涵： 在联系自然、社会和思维的实践背景下，我们以正态分布的本质为基础，以正态分布曲线及面积分布图为表征（以后谈及正态分布及正态分布论就要浮现此图），进行抽象与提升，抓主其中的主要哲学内涵，归纳正态分布论（正态哲学）的主要内涵如下：（1）、 正态分布整体论（静态） 正态分布启示我们，要用整体的观点来看事物。“系统的整体观念或总体观念是系统概念的精髓。” 正态分布曲线及面积分布图由基区、负区、正区三个区组成，各区比重不一样。用整体来看事物才能看清楚事物的本来面貌，才能得出事物的根本特性。不能只见树木不见森林，也不能以偏概全。此外整体大于部分之和，在分析各部分、各层次的基础上，还要从整体看事物，这是因为整体有不同于各部分的特点。用整体观来看世界，就是要立足在基区，放眼负区和正区。要看到主要方面，还要看到次要方面，既要看到积极的方面还要看到事物消极的一面，看到事物前进的一面还要看到落后的一面。片面看事物必然看到的是偏态或者是变态的事物，不是真实的事物本身。 （2）、 正态分布重点论 正态分布曲线及面积分布图非常清晰的展示了重点，那就是基区占68.27%，是主体，要重点抓，此外95%，99%则展示了正态的全面性。认识世界和改造世界一定要住住重点，因为重点就是事物的主要矛盾，它对事物的发展起主要的、支配性的作用。抓住了重点才能一举其纲，万目皆张。事物和现象纷繁复杂，在千头万绪中不抓住主要矛盾，就会陷入无限琐碎之中。由于我们时间和精力的相对有限性，出于效率的追求，我们更应该抓住重点。在正态分布中，基区占了主体和重点。如果我们结合20/80法则，我们更可以大胆的把正区也可以看做是重点。 （3）、 正态分布发展论（动态） 联系和发展是事物发展变化的基本规律。任何事物都有其产生、发展和灭亡的历史，如果我们把正态分布看做是任何一个系统或者事物的发展过程的话，我们明显的看到这个过程经历着从负区到基区再到正区的过程。无论是自然、社会还是人类的思维都明显的遵循这这样一个过程。准确的把握事物或者事件所处的历史过程和阶段极大的有助于掌握我们对事物、事件的特征和性质，是我们分析问题，采取对策和解决问题的重要基础和依据。发展的阶段不同，性质和特征也不同，分析和解决问题的办法要与此相适应，这就是具体问题具体分析，也是解放思想、实事求是、与时俱乐进的精髓。正态发展的特点还启示我们，事物发展大都是渐进的和累积的，走渐进发展的道路是事物发展的常态。例如，遗传是常态，变异是非常态。 总之正态分布论是科学的世界观，也是科学的方法论，是我们认识和改造世界的最重要和最根本的工具之一，对我们的理论和实践有重要的指导意义。以正态哲学认识世界，能更好的认识和把握世界的本质和规律，以正态哲学来改造世界，能更好的在尊重和利用客观规律，更有效的改造世界。 b 正态分布论在法学研究中的应用 正态分布论是重要的哲学上的世界观和方法论，在理论和实践中有这广泛的应用。正态分布论在法学研究中的应用主要是： 第一、法学研究要坚持系统整体的宏观视野 正态分布整体论启示我们要用宏观系统整体的观点和方法来从事法学研究。从宏观和整体上看，法学研究总统上可以分为三部分：法（律）学理念的研究、法（律）学制度的研究、法（律）学实践的研究，这三部分也实际上是法律文化的三个组成部分，这也对应了应然、法然和实然三层面。法学理念的研究主要是研究法的一些基本的理论，揭示法的发展规律；制度研究主要是研究具体的实在法或者说是制定法，实践研究主要是研究法在现实中的具体运作。应然研究的是法律的理想状态应该是怎样的，法然研究的是法律的具体规定是怎样的，实然研究的是法律在实践中的具体运作。深刻认识法学研究的三个层面及所处的具体层面、并贯通三个层面对法学研究具有非常重要的意义。从系统整体上分析，法学研究还要要进行法律之内、法律之上（法哲学）、还有法律之外的研究。对具体的部门法研也是如此，要进行部门法哲学、部门法律的具体规定与实践、部门法律与相关法律及其他相干学科的研究。只有通过宏观、系统、整体的分析，这样所指引的法学研究才是有生命力的、才能经受住理论和实践的考验。 第二、法学研究要坚持与时俱进的发展品性 正态分布发展论启示我们要把法学研究看做是一个发展的过程。历史、现实、未来（发展）是三个时间的维度。法学研究要总结历史、立足现实、面向未来。总结历史，回到经典，其目的和价值在于总结经验和教训，消化吸收、古为今用，而不是停留在遥远的过去和发黄的纸堆中自我陶醉。重要的和关键的在于要立足现实，要有对现实问题的敏锐性、感知力，要重点分析、解决实践中的问题。面向未来，是强调法学研究要有一定的超前性和前瞻性，要在实践的基础上把握基本的趋势，要有一定的洞察力和远见力。研究的对象要有发展性，研究的方法也要在经济全球化、信息化、网络化、知识化的进程中与时俱进。发展的品性还要求我们要看到国内、国外、国际的发展，要取人之长，与国际接轨，要有国际和全球的视野，要请进来，也要走出去。解放思想、实事求是、与时俱进是发展的切实途径。 第三，法学研究要坚持宏观视野的重点研究 法学研究要坚持全面整体的重点研究，抓住主要矛盾、重点课题进行重点研究。 一方面，法学研究要集中在解决现实实践中提出的重要和重大的问题、那些具有根本性、战略性、全局性的问题。“只有在正确的回答当代中国全局性、战略性、前瞻性的重大理论和实践问题以及在基础理论和文化建设上发挥了应有的作用，才能充分体现出哲学和社会科学的重要价值和理论力量。”。另一方面，法律文化有三个层次：理念、制度、实践，那么什么是重点呢？我们认为是立足实践基础上的理念才是那关键的少数，因为理念引导我们对制度的设计和建构、对我们的立法、执法、司法、守法和法律监督都有重大的指引作用，其中法治的最重要理念是法律至上，宪法的核心理念是保障权利、制约权力，私法的核心理念是意思自治。此外，部门法研究也要抓住重点。部门法中最重要的那关键少数是部门法哲学，在一个具体的部门法制度中，又有一些关键的少数制度是重点。上例如民法、商法、经济法三者都是调整市场经济的重要法律，三者的区别中，关键的少数区别在于，民法的的价值取向是公平至上，商法的价值取向是效益至上，经济法的价值取向是社会利益至上。在民法的具体制度中，主体制度、物权制度、债与合同制度均是重点，是关键的少数。在商法具体制度中，公司法律制度是核心制度。 c 正态分布人格 人格(personality)或称个性，是用来描述个体心理差异的，指个体总的精神面貌，是人体心理特征的总和。由于人格差异，个体在各种不同的环境中表现出各自不同的稳定而持久的行为模式。或者说，人格给个体的行为打上了独特的烙印。人格包含性格、气质、能力、兴趣、爱好等成分。其中性格为表现在人的态度和行为方面的特征，主要由于后天学习和生活锻炼而形成的，是人格重要组成部分。气质俗称“脾气”，主要指由于先天遗传，加上后天影响，形成一般较小的特征，如情绪体验的快慢、强弱以及动作反应的敏感迟钝，就属于气质范畴。它不能决定人格特征的内容，只能使人的人格带上一定的色彩。 了解个体的人格特征，不但可以预测个体在特殊情况下的行为反应，而且，不同的人格可能表现出不同的患病倾向。例如，近代研究表明，a型行为与冠心病明显相关，被认为是易患冠心病的危险因素。在精神病学临床上，病人的人格不仅决定了他患病后的行为，而且为某种精神疾病的发生准备了基础。例如，强迫症病人常有某种焦虑、刻板、固执、自信不足的精神衰弱人格，癔症病人常有情感不稳、易受暗示、自我中心的表演性格。有时，人格所表现的独特行为方式可能和精神疾病混淆起来，导致论断错误。 人格的差异有不同的程度。有些人的人格较为健全，在面对应激性事件时，依然能够很好应对。有些人的人格较为脆弱，在应激性事件作用下，易于发生神经症性障碍。对于细小的事情总