上海市黄埔区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷与答案及上海市宝山区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷

（第 11 题图） 黄浦区 2017 年高考模拟考 数 学 试 卷 2017 年 4 月 （完卷时间：120 分钟 满分：150 分） 考生注意： 1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷 上的解答一律无效； 2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 16 题每题满分 4 分，第 712 题每 题满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1函数 的定义域是 2yx 2若关于 的方程组 有无数多组解，则实数 _, 1042axy， a 3若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则 的最大值为 230x 4已知复数 ， (其中 i 为虚数单位)，且 是实数，则实数 t 等于 1iz2izt 12z 5若函数 (a0,且 a1)是 R 上的减函数，则 a 的取值范围是 ,()(0)xaf 6设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为 ,xy21yx， 2zxy 7. 已知圆 和两点 ，若圆 上至少存在22:(4)(3)4Cy (, 0)(, )0AmBC 一点 ，使得 ，则 的取值范围是 P90AB 8. 已知向量 ， ，如果 ，那么 的值为 (cos),1a (,4) babcos(2)3 9若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角 形的概率是 10若将函数 的图像向左平移 个单位后，所得()fx|sin()|(0812 图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是 11三棱锥 满足： ， ， ， ，PABCABPA4PC 则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 12对于数列 ，若存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列naTnnTa 是以 为nT 周期的周期数列设 ，对任意正整数 n 都有1(01)bm 若数列1 )(0 nnb， ， nb 是以 5 为周期的周期数列，则 的值可以是 (只要求填写满足条件的一个 m 值即可) 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是 （ ）2， Ay = sin(2x+ By = cos(2x+ )2)2 Cy = sin(x+ Dy = cos( x+ 14如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的 表面积是 （ ） A B 910 C D12 15已知双曲线 的右焦点到左顶点的距离等 21(,)xyab 于它到渐近线距离的 2 倍，则其渐近线方程为 （ ） A B020xy C D43xy34 16如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ，BM,AC,DE ，点 是圆 及其内部任意一点，且D1PPxAy ，则 的取值范围是 （ ）(,)xyRxy A B 423423, C D1, 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 17 （本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是1ABCABCABDEF, 的中点 1,ABC （1）求证： ；EDF （2）求 与平面 所成角的大小及点 到平面 的距离DEF 2 2 （第 14 题图） 3 2 （第 16 题图） 18 （本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分 在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列ABC, ,abcos,c,osCaAB （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 的值 32a6bcABC+ 19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分 如果一条信息有 n 种可能的情形（各种情形之间互不相容） ，且这些情形1,)N（ 发生的概率分别为 ，则称 （其中2,np H12()()nfpffp ()fx ）为该条信息的信息熵已知 log,ax(0) （1）若某班共有 32 名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求 “谁被 选中”的信息熵的大小； （2）某次比赛共有 n 位选手（分别记为 ）参加，若当 时，选12,nA 1,2kn 手 获得冠军的概率为 ，求“谁获得冠军”的信息熵 关于 n 的表达式kA2k H 20 （ 本 题 满 分 16 分 ） 本 题 共 有 3 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 4 分 ， 第 2 小 题 满 分 6 分 ， 第 3 小 题 满 分 6 分 设椭圆 M: 的左顶点为 、中心为 ，若椭圆 M 过点 ， 2(0)xyabAO1(,)2P 且 APO （1）求椭圆 M 的方程； （2）若APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求APQ 面积的最大值； （3）过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆 M 于 两点，且 ，求证：直12,k,DE12k x y 线 恒过一个定点DE 21 （ 本 题 满 分 18 分 ） 本 题 共 有 3 个 小 题 ， 第 1 小 题 满 分 4 分 ， 第 2 小 题 满 分 6 分 ， 第 3 小 题 满 分 8 分 若函数 满足:对于任意正数 ，都有 ，且 ，()fx,st()0,(fsft()()fstfst 则称 函数 为“L 函数” （1）试判断函数 与 是否是“L 函数” ；21()f 12()fx （2）若函数 为“L 函数” ，求实数 a 的取值范围；3xga （3）若函数 为“L 函数” ，且 ，求证：对任意 ，都有()f ()f1(2,)*Nkx()fx 2 高三数学参考答案与评分标准 一、填空题：（16 题每题 4 分；7 12 题每题 5 分） 1. ； 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 0， 1321)3， 4 7. ； 8. ； 9. ； 10. ； 11. ； 12. （或 ，或3， 724(0,5231 ） 二、选择题：（每题 5 分） 13.A 14.D 15. C 16. B 三、解答题：（共 76 分） 17解：（1）以 A 为坐标原点、AB 为 x 轴、 为 y 轴、AC1 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系 由题意可知 ，(0,)(,12)(,0)(1,)EF 故 ，4 分2EDF 由 ，()()A 可知 ，即 6 分A （2）设 是平面 的一个法向量，(,1)nxyE 又 ，02 (,1)FF， 故由 解得 故 9 分,DExy2,3xy(2,31)n 设 与平面 所成角为 ，则 ，12 分A|570si 4AE 所以 与平面 所成角为 ，F70arcn14x yzO 点 到平面 的距离为 14 分ADEF5sin14A 18解：（1）由 成等差数列，cos,cobCaB 可得 ， 2 分cs2B+ 故 ，所以 ， 4 分iniinssin()2sicoCA+ 又 ，所以 ，故 ，As()iA 又由 ，可知 ，故 ，所以 6 分(0,)i01co23 （另法：利用 求解）cosbCBa+ （2）在ABC 中，由余弦定理得 ， 8 分2 2s()b 即 ，故 ，又 ，故 ，10 分218()318c6cb 所以 2ABACAB+ 12 分22|osC ，cb()30cb 故 14 分30 19解：（1）由 ，可得 ，解之得 . 2 分1()2f1log2a2a 由 32 种情形等可能，故 ， 4 分(,3)3kP 所以 ，23(log)5H 答：“谁被选中”的信息熵为 6 分 （2 ） 获得冠军的概率为 ，8 分nA111+)()422nn( 当 时， ，又 ，1,k )logkkkfpfp 故 ， 11 分132482nH ，1 +2n 以上两式相减，可得 ，故 ，112482nnH 42nH 答：“谁获得冠军”的信息熵为 14 分2 20解：（1）由 ，可知 ， APOAPOk 又 点坐标为 故 ，可得 ， 2 分(,0)a1+21a 因为椭圆 M 过 点，故 ，可得 ，P14b23b 所以椭圆 M 的方程为 4 分 213yx （2）AP 的方程为 ，即 ， 0210xy 由于 是椭圆 M 上的点，故可设 ， 6 分Q3(cos,in)Q 所以 8 分 cosi13122APQS23cs()46 当 ，即 时， 取最大值kZ2()6kZAPQS 故 的最大值为 10 分APQS3164+ 法二：由图形可知，若 取得最大值，则椭圆在点 处的切线 必平行于 ，且在直APQS lAP 线 的下方 6 分 设 方程为 ，代入椭圆 M 方程可得 ，l(0)yxt2246310xt 由 ，可得 ，又 ，故 8 分023t3t 所以 的最大值 10 分APQS1|164+ （3）直线 方程为 ，代入 ，可得D1()ykx2xy ， ，2211()630kx13ADk 又 故 ， ， 12 分A， 21Dk2112()y 同理可得 ， ，又 且 ，可得 且 ，23Ex23Ek121k21k 所以 ， ， ， 21Ek12Ey112221133()EDDyxkk 直线 的方程为 ， 14 分D1112 2()3)3k 令 ，可得 0y11(x 故直线 过定点 16 分E(,0) （法二）若 垂直于 轴，则 ，y,EDExy 此时 与题设矛盾 221213DEkx 若 不垂直于 轴，可设 的方程为 ，将其代入 ，DEyDE+xtys231xy 可得 ，可得 ，12 分22(3)10tts2,DEDEtst 又 ，12 1()()DEEDykxtsts 可得 ， 14 分2()1)0tys 故 ， 22()33stt 可得 或 ，又 不过 点，即 ，故 EA1s2s 所以 的方程为 ，故直线 过定点 16 分DExtyD(,0) 21解：（1）对于函数 ，当 时， ，21()fx,t2211,()0ftfs 又 ，所以 ，1() )ftsfttsstt 故 是“L 函数”. 2 分2x 对于函数 ，当 时， ， ()fxt2 2()()ftfts 故 不是“L 函数”. 4 分2()f （2）当 时，由 是“L 函数” ，0,ts()31()xxga 可知 ，即 对一切正数 恒成立，()310tga0ttt 又 ，可得 对一切正数 恒成立，所以 6 分tt1 由 ，可得 ，()()sg+3(31)0sttststa 故 ，又 ，故 ，3130+stta(1)0t +t 由 对一切正数 恒成立，可得 ，即 9 分0ta