2017挑战中考数学压轴试题复习（第十版）1.2因动点产生的等腰三角形问题

1 2 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1已知线段 5 厘米，以线段 腰的等腰三角形 多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 6 厘米，以线段 底边的等腰三角形 多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果 等腰三角形，那么存在 种情况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算 哪些题目适合用几何法呢？ 如果 A（的余弦值）是确定的，夹 A 的两边 以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法 如图 1，如果 接列方程；如图 2，如果 么 1 c o C A B A；如图 3，如果 么 1 c o B A C A 代数法一般也分三步：罗列三 边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1，抛物线 y c（ a、 b、 a 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和 1( , )16 点 P 为圆心的 定点 A(0, 2) （ 1）求 a、 b、 c 的值； （ 2）求证：在点 P 运动的过程中， （ 3）设 P与 (0)、 N(0)两点，当 等腰三角形时，求圆心 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 在五种情况 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来 P在 N 4 是定值 2等腰三角形 在五种情况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性， A 图文解析 （ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)，所以 y 以 b 0， c 0 将 1( , )16y 2116a解得 14a（舍去了负值） （ 2）抛物线的解析式为214设点 P 的坐标为21( , )4 已知 A(0, 2)，所以2 2 2 411( 2 ) 44 1 6P A x x x 214x 而圆心 P到 以半径 心 P到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交 （ 3）如图 2，设 中点为 H，那么 直平分 在 ，2 2 41 416P M P A x ，2 2 411()4 1 6P H x x，所以 4 所以 2因此 4，为定值 等腰 在三种情况： 如图 3，当 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 如图 4，当 ，在 ， 2， 4，所以 2 3 此时 x 2 32 所以点 P 的纵坐标为2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 5，当 ，根据对称性，点 2 3 图 4 图 5 如图 6，当 4 时，在 ， 2， 4，所以 2 3 此时 x 2 32 所以点 P 的纵坐标为2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 7，当 4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 4 2 3 图 6 图 7 考点伸展 如果 点 运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点P 运动的过程中， y 1 相切这是因为： 设点 P 的坐标为21( , )4 已知 B(0, 1)，所以2 2 2 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 14 4 4P B x x x x 而圆心 y 1 的距离也为21 14x ，所以半径 心 P 到直线 y 1 的距离所以在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题 如图 1， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y c（ a 0）过 O、 B、C 三点， B、 C 坐标分别为 (10, 0)和 18 24( , )55，以 直径的 点，直线 l 垂直x 轴于 （ 1）求直线 解析式； （ 2）求抛物线解析式及顶点坐标； （ 3）点 A 上一动点（不同于 O、 B），过点 M 作 A 的切线，交 ，交直线 l 于点 F，设线段 为 m， 为 n，请猜想 值，并证明你的结论； （ 4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过 t（ 0 t 8）秒时恰好使 等腰三角形，请求出满足条件的 t 值 图 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 张家界 25”，拖动点 以体验到， 斜边上的高拖动点 Q 在 运动，可以体验到， 思路点拨 1从直线 解析式可以得到 三角比，为讨论等腰三角形 铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便 3第（ 3）题连结 易看到 直角三角形 边上的高 4第（ 4）题的 ， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形 图文解析 （ 1）直线 解析式 为 3 1542 （ 2） 因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(10, 0)两点，设 y ax(x 10) 代入点 C 18 24( , )55，得 2 4 1 8 3 2()5 5 5a 解得 524a 所以225 5 2 5 5 1 2 5( 1 0 ) ( 5 )2 4 2 4 1 2 2 4 2 4y x x x x x 抛物线的顶点为 125(5, )24 （ 3）如图 2，因为 ，所以 由 得 所以 1 2 同理 3 4 于是可得 90 所以 5 1由 5 1，得 A 所以 F 25 图 2 （ 4） 在 ， B 45， 10 t， t 分三种情况讨论等腰三角形 如图 3，当 ， 10 t t解得 t 5 如图 4，当 ， 1 c o Q B P B解方程 14(10 )25，得 8013t 如图 5，当 1 c o P B Q B解方程 14(10 )25，得 5013t 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（ 3）题条件下，以 直径的 G 与 x 轴相切于点 A 如图 6，这是因为 是直角三角形 边上的中线，也是直角梯形 中位线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以 G 与 图 6 例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题 在平面直角坐标系中，抛物线 y (m n)x m n）与 x 轴相交于 A、 B 两点（点A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C （ 1）若 m 2， n 1，求 A、 B 两点的坐标； （ 2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是 (0, 1)，求 大小； （ 3）若 m 2， 等腰三角形，求 n 的值 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 A在 x 轴正半轴上运动，可以体验到， 持直角三角形的形状点击屏幕 左下方的按钮（ 3），拖动点 B在 察 顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 4 种情况 思路点拨 1抛物线的解析式可以化为交点式，用 m， n 表示点 A、 B、 C 的坐标 2第（ 2）题判定直角三角形 以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比 3第（ 3）题讨论等腰三角形 把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程 图文解析 （ 1） 由 y (m n)x (x m)(x n)，且 m n， 点 的右侧 ， 可知 A(m, 0)， B(n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0) （ 2）如图 1， 由于 C(0, 当 点 C 的 坐标是 (0, 1)， 1， 1 若 A、 y 轴的两侧，那么 B m( n) 1 所以 B所以 C 所以 1 2所以 1 2 又因为 1 与 3 互余，所以 2 与 3 互余 所以 90 图 1 图 2 图 3 （ 3） 在 ，已知 A(2, 0)， B(n, 0)， C(0, 2n) 讨论等腰三角形 代数法解比较方便： 由两点间的距离公式，得 (n 2)2， 54 4 当 ，解方程 (n 2)2 4 4 43n（如图 2） 当 ，解方程 4 45 n 2（如图 3），或 n 2（ A、 舍去） 当 ，解方程 (n 2)2 5 512n （如图 4）， 或 512n （如图 5） 图 4 图 5 考点伸展 第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理 由于 C(0, 当 点 C 的 坐标是 (0, 1)， 1 由 A(m, 0)， B(n, 0)， C(0, 1)，得 (m n)2 22， 1， 1 所以 于是得到 90 第（ 3）题在讨论等腰三角形 ，对于 情况，此时 A、 B 两点关于 以直接写出 B( 2, 0)， n 2 例 12 2014 年湖南省娄底市中考第 27 题 如图 1，在 ， 90， 43果点 出发沿 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 向向点 C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s连结 运动时间为 t（ s）（ 0 t 4） ，解答下列问题： （ 1）设 面积为 S，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ （ 2）如图 2，连结 到四边形 ，当四边形 为菱形时，求 t 的值； （ 3）当 t 为何值时， 等腰三角形？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 娄底 27”，拖动点 Q 在 运动，可以体验到，当点 B 的中点时， 面积最大，等腰三角形 在三种情况还可以体验到，当 2边形 是菱形 思路点拨 1在 ， A 是确定的，夹 t 的式子表示 2四边形 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形， 图文解析 （ 1）在 ， 4， 3， 所以 5， 35， 45 作 D，那么 AQ 35t 所以 S S 12 D 13(5 )2523 ( 5 )10 23 5 1 5( ) +1 0 2 8t 当 52t时， S 取得最大值，最大值为 158 （ 2）设 于点 H，那么 4(5 )5 t 如果四边形 为菱形，那么 以 2 解方程 44 2 4 ( 5 )5 ，得 2013t 图 3 图 4 （ 3）等腰三角形 在三种情况： 如图 5，当 ， 5 t t解得 52t 如图 6，当 ， 1 c o Q A P A解方程 14(5 )25，得 4013t 如图 7，当 1 c o P A Q A解方程 14(5 )25，得 2513t 图 5 图 6 图 7 考点伸展 在本题情境下，如果点 Q 是 的重心，求 如图 8，如果点 Q 是 的重心，那么 23 解方程 244 4 ( 5 )35 ，得 6023t 图 8 例 13 2015 年 湖南省怀化市 中考第 22 题 如图 1， 已知 C 90， 8， 6，点 个单位的速度从运动，同时点 个单位的速度从 A B 们到 停止运动，设点 P、 （ 1）在运动过程中，求 P、 （ 2）经过 与时间 （ 3） P， 否存在时间 t，使得 存在，求出此时的 不存在，请说明理由 （ ，结果保留一位小数） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “ 15 怀化 22” ，拖动点 P 在 运动， 可以体验到， 腰三角形 在三种情况 思路点拨 1过点 B 作 平行线交 D，那么 长就是 最大值 2线段 过的面积 Q 分别在 3等腰三角形 三种情况讨论，先罗列三边长 图文解析 （ 1） 在 8， 6，所以 10 如图 2，当点 ，那么 2 2A B A Q A P t 所以 5所以 3 如图 3，当点 Q 在 时， 1 6 2 28C Q t 又因为 6 23， 所以 D因此 以 D 在 ， 6， 3，所以 35所以 最大值是 35 图 2 图 3 图 4 （ 2）如图 2，当点 0 t 5， S 15 由 2()D所以 S S 215 ( )5t 235t 如图 3， 当点 5 t 8， S 24 因为 S 12P 1 (1 6 2 )(8 )2 2( 8)t ， 所以 S S S 24 (t 8)2 16t 40 （ 3）如图 3，当点 2 C 90，所以 当点 们先用 知 8 t 如图 2，由 D， 即535QP t所以 355QP t 如图 4，作 在 AQ A 65t， 85t 在 勾股定理，得 22H 2268( ) ( 8 )55 分三种情况讨论等腰三角形 （ 1）当 方程 3585，得 6 5 10t 图 5所示） 当 226 8 3 5( ) ( 8 )5 5 5t t t 整理，得 21 1 1 2 8 3