09-刚体的平面运动

第九章 刚体的平面运动 9-1 椭圆规尺 AB 由曲柄 OC 带动，曲柄以角速度 绕0 O 轴匀速转动，如图所示。如 OC=BC=AC=r，并取 C 为 基点，求椭圆规尺 AB 的平面运动方程。 解：取 C 为基点。 将规尺的平面运动分解为随基点的平动和绕基点的转动。 因为 所以 ,rABBO 设此角为 ，则t0 故规尺 AB 的平面运动方程为 ， ，rxCcostyC0sint0 9-3 半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动，如图所示。如曲柄 OA 以等角加速度 绕 O 轴转动，当运动开始时，角速度 ，转角 。求动齿00 轮以中心 A 为基点的平面运动方程。 解：动齿轮的平面运动可分解为以 A 为基点的平动和绕 A 点的转动。在图示坐标系中，A 点的坐标为： （1）cos)(rRx （2）inyA 因为 是常数，当 时，0t00 所以 2 设小轮上开始时啮合点为 M，则 AM 起始位置为水平。设任一时刻 AM 绕 A 的转角为 ，由图可见，A ，且NA 因动齿轮作纯滚动，有 ，即 所以C0rRrR 故得 （3）rRA 以 代入（1） 、 （2） 、 （3）式中，2t 得动齿轮的平面运动方程为 2cos)(trRxA iny 2)(1atrA 9-5 如图所示，在筛动机构中，筛子的摆动是由曲柄杆机构所带动。已知曲柄 OA 的转速 ， 。当筛子 BC 运动到与点 O 在同一水平线上时，min/40rnOA 3.0 。求此瞬时筛子 BC 的速度。9B 解：由图示机构知 BC 作平移，图示位置时， 与 CBO 夹角为 30，与 AB 夹角为 60。Bv 71 由题意知 m/s 40.3.04OAv 由速度投影定理 得 ABv)()( 6coBAv /s2.518.6cosBC 9-7 图示双曲柄连杆机构的滑块 B 和 E 用杆 BE 连接。主动曲柄 OA 和从动曲柄 OD 都绕 O 轴转动。主动曲柄 OA 以等角速度 转动。已知机构的尺寸为：rad/s 120 OA=0.1m，OD=0.12 m，AB =0.26 m，BE=0.12 m， 。求当曲柄 OA 垂直于 312.0D 滑块的导轨方向时，从动曲柄 OD 和连杆 DE 的角速度。 解：当 OA 垂直 EB 时， ，AB 杆作瞬时平动， ，而 BE 杆作平动，所以BAv/ BAv 。故BEv/s 2.10OE 由于 ，平面运动杆 DE 的速度瞬心应在 、 的垂线的交点 P。DDE 由几何关系 12.02 ， ，m 12.0O ，即3/cos E0 速度投影定理得 而 cosDv9 sin m/320.1tanE （逆）rad/s.7OvD 由几何关系知 m 312.0tntn OEPP 故 （逆）r/s.5310ED 9-9 图示配汽机构中，曲柄 OA 的角速度 为常量。已知 OA=0.4m，AC=BC=rad/s 2 m。求当曲柄 OA 在两铅直线位置和两水平位置时，配汽机构中气阀推杆 DE 的速372.0 度。 解：图示杆 AB、 CD 作平面运动。 （1）当 ，270时，OA 曲柄处于铅垂位置，图（a）表示 情形90 90 可知， 、 均沿水平方向，则 AB 杆瞬时平动， ， 也沿水平方向，而 CDAvB BAvC 72 杆上的 D 点速度（即推杆 DE 的平动速度） 应沿铅垂方向，故 CD 杆的速度瞬心在 DDEv 点。 可见此时， 。0DEv （2）当 ， 时，杆 AB 的速度瞬心在 B，即 。而 、 均沿180vACv 铅垂方向，CD 杆上 ， 均沿铅垂方向，则杆 CD 此时作瞬时平动， 。图C DE （b）表示 的情形。因 ，故m/s 0.42Av/s .4DE 因此 时 （）0.DE 同理 （）18/ 9-11 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆 绕 轴转动，转速为 。 处用铰链21O14n2O 接一半径为 的活动齿轮 II，杆 转动时轮 II 在半径为 的固定内齿轮上滚动，并使2r21 3r 半径为 的轮 I 绕 轴转动。轮 I 上装有砂轮，随同轮 I 高速转动。已知 ，11O13r ，求砂轮的转速。r/min 904n 解：轮 II 作纯滚动，其速度瞬心在 P 点，如图（a）所示。 421421)(2 rvO 又 ， 2P 421r 轮 II 与轮 I 的切点 C 的速度 421)(2rvOC 413 4131)( )(rr ()r/min0824n 9-13 图示蒸汽机传动机构中，已知：活塞的速度为 v； ， ，1aAO2 ， ；齿轮半径分别为 r1和 r2；且有 。当杆 EC 水平，杆1bCB2 21rba 铅直，A 1、 A2 和 O1， O2 都在同一条铅直线上时，求齿轮 O1 的角速度。2 解：设 B1B2杆角速度为 以 C 为基点分析 B1、 B2 点的速度，如图所示。因为该瞬时B 且方向水平，B 1B2 铅垂，其它各速度矢均沿水平方向，故有vC （1）vb1 73 （2）vbvBB212 因 ，1/A2/A 故 A1B1、A 2B2 均作瞬时平动。 设齿轮 O1、 O2 角速度分别为 、 ，则1O2 1av2OABav 代入式（1） 、 （2）得 （3）b211 （4）O2 由式（3） 、 （4）得 （5）vbO)(2121 根据齿轮传动关系有 （6）12r 把式（6）代入式（5）中，解得 121)(rbaO 9-15 半径为 R 的轮子沿水平滚动而不滑动，如图所示。在轮上有圆柱部分，其半径为 r。 将线绕于圆柱上，线的 B 端以速度 v 和加速度 a 沿水平方向运动。求轮的轴心 O 的速度和 加速度。 解：因为轮子沿水平面滚动而不滑动，所以轮上与地面接触点 C 的速度为零，且轮上 C 点 的加速度沿水平面上的投影也为零。 以轮心 O 为基点分析轮上 A 点及 C 点的运动。设轮心 O 的速度为 ，加速度为Ov ，则有 OaOAvOv 设轮子滚动的角速度为 ，角加速度为 ，则 ， ， ， ， RrC0CAraRC 由图（a）得 （1）r （2）vO0 解式（1） 、 （2）得 r 由图（b）得 ，nAOAaanCOCa 将上两式向 x 轴（水平轴）投影 （3）O （4）RCx 由于 ， ，故可从式（3） 、 （4）解得aAx0 rO 9-17 在曲柄齿轮椭圆规中，齿轮 A 和曲柄 O1A 固结为一体，齿轮 C 和齿轮 A 半径为 r 并 74 互相啮合，如图所示。图中 AB=O1O2，O 1A=O2B=0.4 m。O 1A 以恒定的角速度 绕 O1 转 动， 。M 为轮 C 上一点，CM= 0.1 m。在图示瞬时， CM 为铅垂，求此时 Mrad/s 2.0 点的速度和加速度。 解：（1）AB 杆平动， Av 轮 A、C 接触点线速度相同 ra/s . 以 C 为基点， MC m/08.4.v /s 2.1M m/s 098.3.080.8. co22 CCv （2） 为常数 为常数， CC （ ）nMatMa 016.2.4021AO 4nCC 3cos2 22 m/s 013.269.30.16.04.16. 9-19 在图示机构中，曲柄 OA 长为 r ，绕 O 轴以等角速度 转动， ，OrAB6 。求图示位置时，滑块 C 的速度和加速度。rBC3 解：一、以 A 为基点，分析 AB 杆上 B 点的速度和加速度，如图（a） 、 （b）所示。 由于 ，Ov2OAra 由速度图得 ， OBrv360tn OABrv260cos 由加速度图将 分别向 B 的滑道及垂直于滑道方向投影，有 nABAa （1）si60sinBAa （2）Bacoc 由（1） 、 （2）式解出 2nt 36)(3OOAB rr 222 2 11)( OO rra 二、以 B 为基点，分析 BC 杆上 C 点的速度和加速度，如图（ a） 、 （b）所示。 由速度图得 （）BCv30cos Or21in 75 由 加 速 度 图 得 ()2 22n 13)(3130cos OOOCBBC rrraa 9-21 为加快电缆释放速度，装有电缆卷轴的拖车以加速度 从静止开始运动。与2m/s 9.0 此同时，另一卡车以加速度 水平地拉着电缆自由端向相反方向运动。求当运动刚2m/s 6. 开始时以及运动开始后 1 s 时，卷轴水平直径上点 A 的全加速度。 解：（1）运动刚开始时， 0 2rad/s 59 2t / .AOa 2/s .0 22t m/s 43.9.05.)( Oa （2） 时 1t rd/s 5. 2m90Oa 22n /s 65.A t 2222t2n m/s 3.5.)9.0.()()( AOOa *9-23 图示曲柄连杆机构带动摇杆 O1C 绕 O1 轴摆动。在连杆 AB 上装有两个滑块，滑块 B 在水平槽内滑动，而滑块 D 则在摇杆 O1C 的槽内滑动。已知：曲柄长 OA=50 mm，绕 O 轴转动的匀角速度 。在图示位置时，曲柄与水平线间 90角，rad/s 10 ，摇杆与水平线间成 60角；距离 。求摇杆的角速度和角加6OA 701D 速度。 解：机构中曲柄 OA 和摇杆 O1C 作定轴转动，连杆 ABD 作平面运动，滑块 B 作水平平动， 在此瞬时， 和 均沿水平方向，故连杆 ABD 作瞬时平动，则有AvB m/s 50.ADe 以 D 点为动点，动系固连在摇杆上， D 点在速度分析如图（ a） 由于 及16inev 故 （顺）rad/s 9.6sin1OvD 9-25 平面机构的曲柄 OA 长为 2l，以匀角速度 绕 O 轴转动。在图示位置时， AB=BO，并且 。求此时套筒 D 相对杆 BC 的速度和加速度。90OAD 76 解：（一）运动分析 动点：BC 上 B；动系：OA ；定系：机架；绝对运动：水平直线；相对运动：直 线；牵连运动：定轴转动。 （二）v 分析 ， reBvOle （1）32cos0 ， OBlvtaner OAlv2 AD 平面运动，用速度投影 ，D30cos ODll34 套筒 D 相对 BC 杆速度： （）OBllv15.2r 找 AD 的瞬心 P，得 AP=3l OAl323D （三）a 分析 （3）CreaBB 2rC32OOllv （3）式向 向投影，得a C0cosB （4）234Ol 2OAla 以 A 为基点： （5）DAADan 22n94Oll （5）式向 向投影，得Aa n30cosDAD 298Ol 套筒 D 相对 BC 杆的加速度 （）2222r .9034OB lllla *9-27 已知图示机构中滑块 A 的速度为常数， ， 。求当m/s .0Av 4.0B ， 时杆 CD 的速度和加速度。CA30 解：（一）运动 AB 作平面运动 动点：CD 上 C；动系： AB；定系：机架；绝对运动：直线；相对运动：直线； 牵连运动：平面运动。 （二）v 分析 77 AB 杆瞬心在 P rad/s 12.0AvB meBC rC 上式向 方向投影，得rv 60cos3csev /s 15.3CC m/ .02ee2r v （三）a 分析 （1）CreaC tnA （以 A 为基点， ） （2）0 （3）tBBa 222n m/s 4.1.A （3）式向 x 方向投影，得 60cos0costa 2nt /s 98.34.BAa t rad71 2t m/s 46.0.2ABAC 又 r 315Cva 式（1）向 方向投影，得 t30cosaAe2/s 67.021.46.C 9-29 图示平面机构中，杆 AB 以不变的速度 v 沿水平方向运动，套筒 B 与杆 AB 的端点铰 接，并套在绕 O 轴转动的杆 OC 上，可沿该杆滑动。已知 AB 和 OE 两平行线间的垂直距 离为 b。求在图示位置（ ， ，OD=BD）时杆 OC 的角速度和角加速度、3 滑块 E 的速度和加速度。 解：一、速度 1. 取套筒 B 为动点，动系固连于 OC 杆，B 点的速度分析如图（a） 。 由速度图得 vvvB230cos3se 1inr 故 （顺）bOBC4e 2. 作 及 的垂线得交点 P 即为 DE 杆在图示位置的速度瞬心，设其角速度为DvE 。DE 78 由几何关系 ，30cos2bOD bDEPE30cot,t ，PsinOB2 故 （逆）rad/s 43bvPDvCE （）bvE214 二、加速度 1. 取套筒 B 为动点，动系固连在 OC 杆，B 点的加速度分析如图（b） 。 将 向 方向投影CrenBaa 由于按题意 ，故得 0e 由于 ，bvBOCB4322rOCCBb32 （逆）28a 2. 以 E 点为基点，分析 D 点的加速度，如图（b）所示。 将 向 方向投影，ntnt EEDaDa t30cosa 由于 bvOC82t aDEDE162n 故 （）2nt 387)(3bva *9-31 图示行星齿轮传动机构中，曲柄 OA 以匀角速度 绕 O 轴转动，使与齿轮 A 固结 在一起的杆 BD 运动。杆 BE 与 BD 在点 B 铰接，并且杆 BE 在运动时始终通过固定铰支 的套筒 C。如定齿轮的半径为 2r，动齿轮半径为 r，且 。图示瞬时，曲柄 OA 在rA5 铅直位置，BD 在水平位置，杆 BE 与水平线间成角 ，求此时杆 BE 上与 C 相重合4 一点的速度和加速度。 79 解：轮 A 瞬心在 P ， ，Orv3OArv3OABrPv63 以套筒上 C 点动点， ，相对运动：直线， 方向如图0aCrCv rea 杆上 v BE 上 C 点速度方向如图 速度投影： coseBC ， ，459051tan095.24 OBCrv86.)s(e OCEr 618ta3.ta23e OC865.r （三）a 分析 （）2A （ ）tnBABa0tBA 22n59Orr 以套筒上 C 点为动点， ，BE 为动系，牵连运动为平面运动，相对运动为aC 直线运动，绝对运动：静止 0reyxa 由图（b）知， 2rCe 486.865.1.2OOOBEx rrv 以 B 为基点 tnCByaa 即 teACx 上向 投影，nCBa nne 45coscsCBBAy 2222 73.1)68.0(393 OOOO rrrr e2e 1.6xCyCaa *9-33 图示放大机构中，杆 I 和 II 分别以速度 和 沿箭头方向运动，其位移分别以 x1v2 和 y 表示。如杆 II 与杆 III 平行，其间距离为 a，求杆 III 的速度和滑道 IV 的角速度。 解：1. 以滑块 B 为动点，滑道 IV 的动系，则有 （1）reBv 其中 可由以 A 以基点分析滑道 IV 上与滑块 B 重合点的速度来确定，即 （2）Be 考虑到 ， 把（2）代入（1）得2vA （3）r1BAv 80 把式（3）向 方向投影得ABv （4）ABv21sinco 其中 ，4 2yx ，2syxi 代入式（4）得 214v 2. 以滑块 C 为动点，滑道 IV 为动系，则有 （5）reC 其中 可由以 A 为基点分析滑道 IV 上滑块 C 重合点的速度来确定，即ev （6）ACve 考虑到 ， ，把式（6）代入式（5）得23 （7）r3C 把式（7）向 方向投影，得ACv （8）Av2sini 其中 ，4a 代入式（8）得 xvyv21243sin *9-35 图示四种刨床机构，已知曲柄