《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1[1]

1 习题 答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件 , 分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件 , 中的样本点。 解： (正，正 )，（正，反），（反，正），（反，反） A (正，正 )，（正，反） ； B （正，正），（反，反） C (正，正 )，（正，反），（反，正） 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件 , 分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于 5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为 3”。试写出样本空间及事件 , 中的样本点。 解： )6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( ； )1,3(),2,2(),3,1(),1,1( )1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( )2,2(),1,1( )4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1( 3. 以 , 分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用 , 表示以下事件： （ 1）只订阅日报； （ 2）只订日报和晚报； （ 3）只订一种报； （ 4）正好订两种报； （ 5）至少订阅一种报； （ 6）不订阅任何报； （ 7）至多订阅一种报； （ 8）三种报纸都订阅； （ 9）三种报纸不全订阅。 解：（ 1） （ 2） （ 3） ； （ 4） ; （ 5） ； （ 6） （ 7） 或 （ 8） （ 9） 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321 , 、丙射中。试说明下列事件所表示的结果： 2A , 32 , 21 21 , 321 313221 . 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件 , 满足 试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： ， ， . 解： 如图： 2 ;6. 若事件 , 满足 ，试问 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。例如： 5,4,3A ， 3B ， 5,4C ， 那么， ， 但 。 7. 对于事件 , ，试问 )()( 是否成立？举例说明。 解： 不一定成立。 例如： 5,4,3A ， 6,5,4B ， 7,6C ， 那么 3)( 但是 7,6,3)( 8. 设31)( 1)( 就 以下三种情况分别求 )( （ 1） （ 2） ， （ 3）81)( 解： （ 1）21)()()()( （ 2）61)()()()( （ 3）838121)()()()( 9. 已知41)()()( 61)()( 0)( 事件, 全不发生的概率。 解： )(1)( = )()()()()()()(1 A B 83016116104141411 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率： A “三个都是红灯” =“全红”； B“全绿”； C “ 全黄”； D “无红”； E “无绿”； F “三次颜色相同”； G “颜色全不相同”； H “颜色不全相同”。 解： 271333 111)()()( 78333 222)()( 91271271271)( 2333 !3)( 98911)(1)( 11. 设一批产品共 100 件，其中 98 件正品， 2 件次品，从中任意抽取 3 件（分三种情况：一次拿 3 件；每次拿 1 件，取后放回拿 3 次；每次拿 1 件，取后不放回拿 3次），试求： （ 1） 取出的 3 件中恰有 1 件是次品的概率； （ 2） 取出的 3 件中至少有 1 件是次品的概率。 解： 一次拿 3 件： （ 1） （ 2） 每次拿一件，取后放回，拿 3 次： （ 1） 0 5 7 0982 32 P ； （ 2） 3 P ； 每次拿一件，取后不放回，拿 3 次： （ 1） 7982 P； （ 2） 697981 从 9,2,1,0 中任意选出 3 个不同的数字，试求下列事件的概率： 501 与三个数字中不含A ， 502 或三个数字中不含A 。 4 解： 157)(310381 15142)(31038392 15141)(310182 13. 从 9,2,1,0 中任意选出 4 个不同的数字，计算它们能组成一个 4 位偶数的概率。 解：9041454102839 14. 一个宿舍中住有 6 位同学，计算下列事件的概率： （ 1） 6 人中至少有 1 人生日在 10 月份； （ 2） 6 人中恰有 4 人生日在 10 月份； （ 3） 6 人中恰有 4 人生日在同一月份； 解： （ 1） 6 P ； （ 2） 16246 （ 3） 16246112 15. 从一副扑克牌（ 52 张）任取 3 张（不重复），计算取出的 3 张牌中至少有 2张花色相同的概率。 解： 5 习题 答 1. 假设一批产品中一、二、三等品各占 60%， 30%、 10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。 解： 令 到的是 i 等品”， 3,2,1i )()()()(3133131 2. 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取 2 件，已知所取 2 件产品中有 1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。 解： 令 A “两件中至少有一件不合格”， B “两件都不合格” 511)(1)()()()|(21026210243. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统 I 和 种报警系统单独使 用时，系统 I 和 效的概率分别 系统 I 失灵的条件下，系统 有效的概率为 （ 1） 两种报警系统 I 和 有效的概率； （ 2） 系统 灵而系统 I 有效的概率； （ 3） 在系统 灵的条件下，系统 I 仍有效的概率。 解： 令 A “系统（）有效” ， B “系统（）有效” 则 (, （ 1） )()()()( 8 6 ()()( （ 2） 0 5 )()()( （ 3） 8 2 8 )()|( 设 1)(0 证明事件 A 与 B 独立的充要条件是 )|()|( 证： ： A 与 B 独立， A 与 B 也独立。 )()|(),()|( )|()|( ： 1)(01)(0 又)()()|(,)()()|( 而由题设)()()()()|()|( 6 即 )()()()()(1 )()()( ，故 A 与 B 独立。 5. 设事件 A 与 B 相互独立，两个事件只有 A 发生的概率与只有 B 发生的概率都是41，求 )( )( 解：41)()( 又 A 与 B 独立 41)()(1)()()( (1)()()()( )(),()( 2 )( 6. 证明 若 )(0， )(0，则有 （ 1） 当 A 与 B 独立时， A 与 B 相容； （ 2） 当 A 与 B 不相容时， A 与 B 不独立。 证明： 0)(,0)( （ 1）因为 A 与 B 独立，所以 0)()()( A 与 B 相容。 （ 2）因为 0)( 而 0)()( )()()( ， A 与 B 不独立。 7. 已知事件 , 相互独立，求证 与 C 也独立。 证明： 因为 A 、 B 、 C 相互独立， )()( )()()()()()()()()()()()()()()()( 与 C 独立。 8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为 在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 解： 令321 , 、丙三机床不需要工人照顾， 那么 ,321 表示最多有一台机床需要工人 照顾， 7 那么 )()(321321321321 )()()( 321321321321 9. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为 )10( （称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互独立的，计算下面各系统的可靠性。 解： 令 A “系统（）正常工作” B “系统（）正常工作” i 个元件正常工作”， ,2,1 21 ,)( 相互独立。 那么 )()()(22121 )2(2)()()()()()(22121122122121 )()()( 22211 (2)()()()()(121110. 10 张奖券中含有 4 张中奖的奖券，每人 购买 1 张，求 （ 1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （ 2） 第二人中奖的概率。 解： 令 i 个人中奖”， 3,2,1i (1) )(321321321 注：利用第 7 题的方法可以证 明 )(A 与 )(A 时独立。 系统 I 1 2 n n+1 n+2 2n 系统 n+1 2 n+2 n 2n 8 )()()(321321321 )|()|()()|()|()()|()|()(213121213121213121 21859410684951068596104 或213102614 （ 2） )|()()|()()( 1211212 529410693104 11. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出 95%的真实患者，但也有可能将 10%的人误诊。根据以往的记录，每 10 000 人中有 4 人患有肝癌，试求： （ 1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率； （ 2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。 解： 令 B “被检验者患有肝癌”， A “用该检验法诊断被检验者患有肝癌” 那么， 0 0 0 ,(,( （ 1） )|()()|()()( （ 2）)|()()|()( )|()()|( 12. 一大批产品的优质品率为 30%，每次任取 1 件，连续抽取 5 次，计算下列事件的概率： （ 1）取到的 5 件产 品中恰有 2 件是优质品； （ 2） 在取到的 5 件产品中已发现有 1 件是优质品，这 5 件中恰有 2 件是优质品。 解： 令 5 件中有 i 件优质品”， 5,4,3,2,1,0i （ 1） 3 0 8 ( 32252 2）)()()|()|(00202512 i3 7 3 0 8 1)(502 9 13. 每箱 产品有 10 件，其次品数从 0 到 2 是等可能的。开箱检验时，从中任取 1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误， 1 件正品被误检是次品的概率是 2%， 1 件次品被误判是正品的概率是 5%，试计算： （ 1）抽取的 1 件产品为正品的概率； （ 2）该箱产品通过验收的概率。 解： 令 A “抽取一件产品为正品” 中有 i 件次品”， 2,1,0i B “该箱产品通过验收” （ 1） ()()(2020 ii （ 2） )|()()|()()( 14. 假设一厂家生产的仪器，以概率 以直接出厂，以概率 进一步调试，经调试后以概率 以出厂，并以概率 为不合格品不能出厂。现该厂新生产了 )2( 仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （ 1）全部能出厂的概率； （ 2）其中恰有 2 件不能出厂的概率； （ 3）其中至少有 2 件不能出厂的概率。 解： 令 A “仪器需进一步调试” ； B “仪器能出厂” A “仪器能直接出厂” ； “仪器经调试后能 出厂” 显然 ， 那么 (, ()( 所以 )()( 令 n 件中恰有 i 件仪器能出厂”， ,1,0 （ 1） ( （ 2） 2222222 )( 3） )(1)( 11120 15. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为 p ，试求以下事件 的概率： （ 1）直到第 r 次才成功； （ 2）第 r 次成功之前恰失败 k 次； （ 3）在 n 次中取得 )1( 次成功； 10 （ 4）直到第 n 次才取得 )1( 次成功。 解： （ 1） 1)1( （ 2） 1(1 1 （ 3） )1(（ 4） )1(1116. 对飞机进行 3 次独立射击，第一次射击命中率为 二次为 三次为 击中飞机一次而飞机被击落的概率为 中飞机二次而飞机被击落的概率为 被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。 解： 令 有 i 次击中飞机”， 3,2,1,0i B “飞机被击落” 显然： ( 0 1)( 2 3 而 0)|(0 ( 1 ( 2 1)|(3 4 5 ()()( 30 i 5 4 1)( 11 习题 答 1. 设 X 为随机变量，且1)( ( ,2,1k ), 则 （ 1） 判断上面的式子是否为 X 的概率分布； （ 2） 若是，试求 ）为偶数和 )5( 解： 令 ,2,1,21)( 1）显然 10 且 1121212111 k kk 所以 ,2,1,21)( （ 2） 为偶数31121)41411 21 2 k kk 161121)5(2121555 k kk 的概率分布为 k!)( ,2,1k ), 且 0 ， 求常数 C . 解： 1!1 ， 而 1!0 1!010 即 1)1( 3. 设一次试验成功的概率为 )10( 不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量 X 表示试验的次数，求 X 的概率分布。 解： ,2,1,)1()( 1 k 4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=生产过程中出现废品时立即进行调整， X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求 （ 1） X 的概率分布； （ 2） )5( 解： （ 1） ,2,1,0,1()( 2） 555)()5( 5. 一张考卷上有 5 道选择题，每道题列出 4 个可能答案，其中有 1 个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少 4 道题的概率是多少？ 12 解： 因为学生靠猜测答对每道题的概率为41p，所以这是一个 5n ,41 641)43()41(43)41()4( 0555445 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为 台设备工作情况相互独立。 （ 1）若由 1 人负责维修 20 台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率； （ 2）设有设备 100 台， 1 台发生故障由 1 人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过 解： （ 1） 0 1 7 1920 （按 泊松 )分布近似） （ 2） ,10 0 按 泊松 )分布近似） )1( 100111001100100 k 查表得 4N 7. 设随机变量 X 服从参数为 的 松 )分布，且21)0( （ 1） ； （ 2） )1( 解： 21!0)0(0 )1()0(1)1(1)1( )212 8. 设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从 松 )分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率。 解： )2()1( ， 即 2,!2!121 20 （ 842 )( 9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求 （ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率； 9. 在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数为2松 )分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） . 求 （ 1）某一天从中午 12 时至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率； （ 2）某一天从中午 12 时至下午 5 时收到 1 次紧急呼救的概率； 13 解： （ 1） 23)0(23,3 （ 2） 251)0(1)1(25,5 10. 已知 X 的概率分布为： X 1 0 1 2 3 P 2a 101 3a a a 2a 试求（ 1） a ； （ 2） 12 概率分布。 解： （ 1） 1231012 01a。 （ 2） Y 1 0 3 8 P 103 51 103 51 11. 设连续型随机变量 X 的概率密度曲线如图 示 . 试求 :（ 1） t 的值； （ 2） X 的概率密度； （ 3） )22( 解： （ 1） 21 t1t f (x) 图 x t o 1 2 3 14 （ 2）其它，0)3,0,2161)0,1,2121)( 3）1211)2161()2121()22 0120 12. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 其他,00,s 试确定常数 a 并求 )6( 解： 令 1)( 即 1 1 即2,0 c o ss (2626 13. 乘以什么常数将使 2 变成概率密度函数 ? 解： 令 12 即 141)21( 2 x 即 141 411 4. 随机变量 ),( 2其概率密度函数为 6 44261)( x ) 试求 2, ；若已知 CC ()(，求 C . 解： 222)3(2)2(64432161)( 2 , 32 15 若 ()( ，由正态分布的对称性 可知 2c . 15. 设连续型随机变量 X 的概率密度为 其他,010,2)( 以 Y 表示对 X 的三次独立重复试验中“21X”出现的次数，试求概率 )2( 解：412)21( 210 x d 649)43()41()2( 223 16. 设随机变量 X 服从 1,5上的均匀分布，试求 )( 21 . 如果 （ 1） 51 21 （ 2） 21 51 . 解： X 的概率密度为 其他,051,41)( （ 1） 21221 )1(4141)( x （ 2） 51211)5(4141)(17. 设顾客排队等待服务的时间 X （以分计）服从51的指数分布。某顾客等待服务，若超过 10 分钟，他就离开。他一个月要 去等待服务 5 次，以 Y 表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求 Y 的概率分布和 )1( 解： 21051 11)10(1)10( 5,4,3,2,1,0,)1()()( 5225 1 6 (1)1( 52 16 习题 答 1. 已知随机变量 X 的概率分布为 ( ( ( 试求 X 的分布函数； ) 画出 )(曲线。 解： 3,132,)(； )(线： 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 331111,1,)(试求 :（ 1） X 的概率分布； （ 2） )1|2( 解： （ 1） X 1 1 3 P （ 2）32)1( )1()1|2( 从家到学校的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是 X 为途中遇到红灯的次数，试求（ 1） X 的概率分布； （ 2） X 的分布函数。 解： （ 1） 3,2,1,0,)53()52()( 33 x)( 2 7 X 0 1 2 3 p 1252712554125361258（ 2）3,132,12511721,1258110,125270,0)(试求习题 第 11 题 X 的分布函数，并画出 )(曲线。 解： 313041211210141214110)(22设连续型随机变量 X 的分布函数为 00,0,)( 2（ 1） 的值； （ 2） )11( （ 3）概率密度函数 )( 解： （ 1） 11)( 2 10)0()(0 x)( 18 （ 2） 21)1()1()11( （ 3） 0,00,2)()( 2x 6. 设 X 为连续型随机变量，其分布函数为 .,;1,)(试确定 )(的 , 的值。 解： 10)( 又 11)( 又