《弹性力学简明》习题提示和参考答案

题提示和答案 弹性力学简明教程 习题提示和参考答案 第二章 习题的提示与答案 2 1 是 2 2 是 2 3 按习题 2 1分析。 2 4 按习题 2 2分析。 2 5 在 的条件中，将出现 2、 3阶微量。当略去 3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。 2 6 同上题。在平面问题中，考虑到 3阶微量的精度时，所得 出的平衡微分方程都相同。其区别只是在 3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。 2 7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程 连续性和小变形，物理方程 理想弹性体。 2 8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出 3个积分的近似边界条件来代替。 2 9 在小边界 上，对于图 2 15（ a）、（ b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。 2 10 参见本章小结。 2 11 参见本章小结。 2 12 参见本章小结。 2 13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量 必须满足 （ 1）平衡微分方程， （ 2）相容方程， （ 3）应力边界条件（假设 )。 2 14 见教科书。 2 15 见教科书。 2 16 见教科书。 2 17 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及 x=0和 的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 2 18 见教科书。 2 19 提示：求出任一点的位移分量 和 ，及转动量 ，再令 ,便可得出。 第三章 习题的提示与答案 3 1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解： （ 1）校核相容条件是否满足， （ 2）求应力， （ 3）推求出每一边上的面力 从而得出这个应力函数所能解决的问题。 3 2 用逆解法求解。由于本题中 lh, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。 3 3 见 3 3 4 本题也属于逆解法的问题。首先校核 是否满足相容方程。再由 求出应力后，并求对应的面力。本题的应力解答如习题 3力对应的面力是： 主要边界： 所以在 边界上无剪切面力作用。下边界无法向面力； 上边界有向下的法向面力q。 次要边界： x=0面上无剪切面力作用； 但其主矢量和主矩在 x=0 面上均为零。 因此，本题可解决如习题 3 3 5 按半逆解法步骤求解。 （ 1）可假设 （ 2）可推出 （ 3）代入相容方程可解出 f、 ，得到 （ 4）由 求应力。 （ 5）主要边界 x=0,b 上的条件为 次要边界 y=0上，可应用圣维南原理，三个积分边界条件为 读者也可以按 或 的假设进行计算。 3 6 本题已给出了应力函 数 ，应首先校核相容方程是否满足，然后再求应力，并考察边界条件。在各有两个应精确满足的边界条件，即 而在次要边界 y=0 上， 已满足，而 的条件不可能精确满足（否则只有 A=B=0，使本题无解），可 用积分条件代替： 3 7 见例题 2。 3 8 同样，在 的边界上，应考虑应用一般的应力边界条件 (2 3 9 本题也应先考虑对称性条件进行简化。 3 10 应 力函数 中的多项式超过四次幂时，为满足相容方程，系数之间必须满足一定的条件。 3 11 见例题 3。 3 12 见圣维南原理。 3 13 m 个主要边界上，每边有两个精确的应力边界条件，如式 (2示。 n 个次要边界上，每边可以用三个积分的条件代替。 3 14 见教科书。 3 15 严格地说，不成立。 第四章 习题的提示和答案 4 1 参见 4 4 4 2 参见图 4 4 3 采用按位移求解的方法，可设 代入几何方程得形变分量，然后再代入物理方程得出用位移表示的应力分量。将此应 力公式代入平衡微分方程，其中第二式自然满足，而由第一式得出求的基本方程。 4 4 按应力求解的方法，是取应力为基本未知函数。在轴对称情况下， ，只有 为基本未知函数，且它们仅为 的函数。求解应力的基本方程是： (1)平衡微分方程 (其中第二式自然满足 )， (2)相容方程。相容方程可以这样导出：从几何方程中消去位移，得 再将形变通过物理方程用应力表示，得到用应力表示的相容方程。 4 5 参见 4 4 6 参见 4 4 7 参见 4 4 8 见例题 1。 4 9 见例题 2。 4 10 见答案。 4 11 由应力求出位移，再考虑边界上的约束条件。 4 12 见提示。 4 13 内外半径的改变分别为 两者之差为圆筒厚度的改变。 4 14 为位移边界条件。 4 15 求出两个主应力后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4 16 求出小圆孔附近的主应力场后，再应用单向应力场下圆孔的解答。 4 17 求出小圆孔附近的主应力场后，再应 用单向应力场下圆孔的解答。 4 18 见例题 3。 4 19 见例题 4。 第五章 习题提示和答案 5 1 参见书中由低阶导数推出高阶导数的方法。 5 2 参见书中的方程。 5 3 注意对称性的利用，取基点 A 如图。答案见书中。 5 4 注意对称性的利用 ,并相应选取基点 A。答案见书中。 5 5 注意对称性的利用，本题有一个对称轴。 5 6 注意对称性的利用，本题有二个对称轴。 5 7 按位移求微分方程的解法中，位移应满足： (1) 上的位移边界条件， (2) 上的应力边界条件，(3)区域 A 中的平衡微分方程。用瑞利 定的位移试函数应预先满足 (1)上的位移边界条件，而 (2)和 (3)的静力条件由瑞利 5 8 在拉伸和弯曲 情况下，引用 的表达式，再代入书中的公式。在 扭转和弯曲情况下，引用 的表达式，再代入书中的公式。 5 9 对于书中图 5假设 对于书中图 5y 轴是其对称轴， x 轴是其反对称轴，在设定 u、 v 试函数时，为满足全部约束边界条件，应包含公共因子 。此外，其余的乘积项中，应考虑： u 应为 x 和 y 的奇函数， v 应为 x 和 y 的偶函数。 5 10 答案见书中。 5 11 在 u,v 中 各 取 一 项 , 并设 时 , 用 瑞 利 - 里 茨 法 得 出 求 解 的 方 程 是代入 后 ,上两式方程是 解出 位移分量的解答为 应力分量为 第六章 习题的提示和答案 6 1 提示：分别代入 的公式进行运算。 6 2 （ 3）中的位移，一为刚体平移，另一为刚体转动，均不会产生应力。其余见书 中答案。 6 3 求 i 结点的连杆反力时，可应用 公式 为对围绕 i 结点的单元求和。 6 4 求支座反力的方法同上题。 6 5 单元的劲度矩阵 k，可采用书中 g）的结 果，并应用公式 求 出整体劲度矩阵的子矩阵。 6 6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵可采用书中 6 7 求劲度矩阵元素可参见 g）的结果，再求出整体劲度矩阵元素 答案见书中。 6 8 当单元的形状和局部编号与书中图 6 10相同时，可采用 g） 的单元劲度矩阵。 答案：中心线上的上结点位移 下结点位移 6 9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅反映了单元的刚度位移和常量应变，还在单元的边界上，保持了相邻单元的位移连续性。 第七章 习题的提示和答案 7 1 答案： 7 2 提示： 原 (x,y,z)的点移动到 (x+u,y+v,z+w)位 置，将新位置位置代入有关平面、直线、平行六面体和椭球面方程。 7 3 见本书的叙述。 7 4 空间轴对称问题比平面轴对称问题增加了一些应力、形变和位移，应考虑它们在导出方程时的贡献。 7 5 对于一般的空间问题，柱坐标中的全部应力、形变和位移分量都存在，且它们均为 的函数。在列方程时 应考虑它们的贡献。 第八章 习题的提示和 答案 8 1 提示：应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 )。柱体的侧面，在（ x,y）平面上应考虑为任意形状的边界（ n=0,l,m 为任意的），并应用一般的应力边界条件。 8 2 提示：同上题。应力应满足平衡微分方程、相容方程及应力边界条件（设 若为多连体，还应满足位移单值条件。 由于空间体为任意形状，因此，应考虑一般的应力边界条件（ 7法线的方向余弦为 l,m,n，边界面为任意斜面，受到法向压力 q 作用。为了考虑多连体中的位移单值条件，应由应力求出对应的位移，然后再检查是否满足单值条件。 8 3 见 8 8 4 从书中式（ 8（ 8以导出。由结论可以看出位移分量和应力分量等的特性。 8 5 为了求 o 点以下 h 处的 位移，取出书中式（ 8 ，并作如下代换 ， 然后从 o a 对 积分。 8 6 引用布西内斯克解答，在 z=0的表面上的沉陷是 （ 1）求矩形中心点的沉陷，采用图 8a）的坐标系， 代入并积分， 再应用部分积分得到， 。 （ 2）求矩形角点处的沉陷，采用图 8-9(b)的坐标系， 8 7 题中 已满足边界条件 再由 便可求出切应力及扭角等。 8 8 题中 能满足两个圆弧处的边界条件 然后，相似于上题进行求式解 为 的两倍。 8 9 分别从椭圆截面杆导出圆截面杆的解答，和从矩形截面杆导出正方形截面杆的解答；并由，得出 代入后进行比较即可得出。 8 10 参见 8 第九章 习题提示和答案 9 1 挠度 w 应满足弹性曲面的微分方程， x=0的简支边条件，以及椭圆边界上的固定边条件，。校核椭圆边界的固定边条件时，可参见例题 4。 求挠度及弯矩等的最大值时，应考虑函数的极值点（其导数为 0）和边界点，从中找出其最大值。 9 2 在 重 三 角 级 数 中 只 取 一 项 可以满足 的弹性曲面微分方程，并 可以求出系数 m。而四个简支边的条件已经满足。 关于角点反力的方向、符号的规定，可参见 9 4中的图 9 5。 9 3 本题中无横向荷载， q= 0，只有在角点 B 有集中力 F 的作用。注意 w =满足：弹性曲面的微分方程， x =0和 y =0的简支边条件 , x =a 和 y =b 的自由边条件，以及角点的条件 （见图 9 5中关于角点反力的符号规定 ）。 在应用莱维解法求解各种边界条件的矩形板时，这个解答可以用来处理有两个自由边相交的问题，以满足角点的条件。因此，常应用这个解答于上述这类问题，作为其解答的一部分。读者可参考 9 6中图 9 9 4 本题中也无横向荷载， q= 0，但在边界上均有弯矩作用。 x= 0,a 是广义的简支边，其边界条件是 而 y= 0,b 为广义的 自由边，其边界条件是 将 w=f(x)代入弹性曲面微分方程，求出 f(x)。再校核上述边界条件并求出其中的待定系数。 9 5 参见 9 7及例题 1， 2。 9 6 应用纳维解法，取 w 为重三角级数，可以满足四边简支的条件。在求重三角级数的系数 中，其中对荷载的积分 只有在 的区域有均布荷载 作用，应进行积分；而其余区域 ，积分必然为零。 9 7 对于无孔圆板，由 的挠度和内 力的有限值条件，得出书中 9 9 式 (d)的解中，然后再校核简支边的条件，求出 。 求