4 电动习题答案 郭硕鸿 第四章

第四章 电磁波的传播 1考虑两列振幅相同偏振方向相同，频率分别为 d 和 d 的线偏振平面波。它们都沿 z 轴方向传播 (1) 求 合成波 ， 求证波的振幅不是常数 ， 而是一个波。 (2) 求 合成波的相位传播速度和振幅传播速度。 解： （ 1） d(c o 20A A c o s ( d ) z d d(c o d(c o 21 k z c o sc o 所以 振幅为 k 不是常数 ， 而是一列波。 因为 d 和 起 和 k 来都是很小的量，所以该振幅改变得 很缓慢。 (2)相速度 t 时刻 1 时刻 . 1 群速度 1 1 d k z d t d k z z d t t g 2以平面电磁波以 045 从真空入射到 24 的介质。电场强度垂直于入射面。求反射系数和折射系数。 解：由 1122 1 12 解得 030 由 菲 涅耳公式： s c o s c o s1 r 2 rc o s c o s1 r 2 c o s 4 5 2 c o s 3 0c o s 4 5 2 c o s 3 01313 312c o sc o sc o 由定义 : 32323131n*3232122223312c o sc o n*3 有一可见平面波由水入射到空气 ,入射角为 证明这时将会发生全反射 ,并求折射波沿表面传播的相速度和进入空气的深度 o ,水的折射 率为 解 : v 水所以 水气气 2k 气水气气水水气水 水气水气4 频率为 的电磁波在各向异性介质中传播时，若 H,B,D,E 仍按 x p 变化，但 D 不再与E 平行（即 D = E 不成立）， （ 1）证明 0 ，但一般0 。 (2)证明 2 。 (3)证明能流 S 与波矢 k 一般不在同一方向上 。 解 : (1) 由 x , 0B 得 0x x x 00 0 由 0D f , x , 所以 00 由 , , 因为 x , 所以 0 由 , 0 由 0D f , 0 , 又由 x 由于各 向 异性条件， 0 (2)由 由 H,B,D,E 按 变化得 ki, 所以有 )2( 将（ 2）代入（ 1） 得 （ 3） 00 H E E B 因为 k 所以 20001不共向与 ,0 . 5 有两个频率和振幅都相等的平面单色波沿 轴传播 ,一个波沿 方向偏振 ,另一个沿 方向偏振 ,但相位比前者超前2,求合成波的偏振 一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振 ? ,02成波为圆偏振 . 6 平面电磁波垂直射入到金属表面上 ,试证明透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热 . 解 : x x , , )1(21210*)2ex p (2121 2002002041)2e x p (21)2e x p (21 , )2(24,212020 由（ 1） =（ 2） , 所以透入金属内部的电磁波能量全部变为焦耳热 . 7 已知海水的 11 ,试计算频率为 50, 96 1010 和 三种电磁波在海水中的透入深度 . 解 : 21, 72 , 7610r 6 1 6 m 7910r 9 8 平面电磁波由真空倾斜入射到导电介质表面上 ,入射角为1,求导电介质中电磁波的相速度和衰减长度 ,若导电介质为金属 ,结果如何 ? 提示 :导电介质中的电磁波波矢量 ,只有 分量 。 解 :由边值关系 )1( 有 )2(0, 则有 : )3(s i s i nk x 设折射波矢是 )4( 由（ 2 ）（ 3 ）两式有 )5(0si 可见 ,透射波矢 k 中 只有 分量 ,因此 : )6( 而 )7(222 于是，由两式得到关于z 和)8(s i n 22222 2 12 解得 2/1222222222222/122222222222si 得 0,0,s i nc 透入波的衰减长度为 , 透入波的相速度为 2若导电介质是金属 ,即有 1 , 因而 222 因此 e k 这说明对于良导体 ,电磁波倾斜入射与垂直入射所得的结果是相近的 。 9 无限长的矩形波导管 ,在 z=0 处被一块垂直地插入的理想导体平板完全封闭 ,求在 z=-到 z=0 这段管内可能存在的波模 . 解 : 设 E 的径向分量为： 0ti(e x p)z,y,x(u)t,z,y,x( 代入 u 分离变量得 : 0 )s i nc o s)(s i nc o s)(s i nc o s(),(332211 0;0;,00;0;,00;0;,0解条件由 ,si nc o 00,001302,01,0同理由 nc o 00,002301,022,0由 ss i ns i n,00,000031,030由 22222 得 2222z 由 0E , 有 0 10 电磁波 kiy ) ex p,x(E)t,z,y,x(Ez 在波导 管 中 沿 z 方 向 传 播 , 试 使 用 及 证明电磁场所有分量都可用 )y,x(E z 及)y,x(H z 这两个分量表示 。 解 : z e x p,E p,H 由 001,)3(1)2(1)1(110000 ,0 )6(1)5(1)4(110000 z e x p,E p,H （ 7） 代入式中得 : )13()12(1(0(i)9(由 （ 8）（ 12） ，消去 消去 由（ 9）（ 11）解得： 0011 写出矩形波导管内磁场 H 满足的方程及边界条件 . 解 : 由 222 t 由 0 H 得 0H 222 由 , 0,0 2222 , 令 22 得 : 022 由 0,0 得 : 0,0,0H,00,0,0H,0，12 论证矩形波导管内不存在0, 解：矩形波导 管内电磁波须满足以下方程： 002 电磁波沿 z 轴方向传播，它应有传播子 把电场 , n,c o n,si nc o ,0, 对解还必需加上条件 E 0 0321 (1) 当 模为 (m,0)时 0 则电场的解为 : )2(0E)y ex px co s ks i n 当 模为 (0,n)时 , 0 则电场的解为 : 0y ex ps i n ) 即在（ m,0） ,(n,0)下，只有一组特解 。 由01 知 模为 (m,0)时 ,由（ 2）得： )e x p (c o sc o si 0 ,即不可能是 。否则，由（ 1）式知，电磁波无法存在。 （另：若0，则 由（ 2）式知该模电磁波无法存在。） 当 模为 (0,n)时 )e x p (c o sc o 0 0 ,即不可能是 。否则，由（ 1）式知，电磁波无法存在。 （另：若0，则 及 一个为零，则由（）式知该模电磁波无法存在。） 13 频率为 的微波 ,在 矩形波导管内能以什么波摸传播 ?矩形波导管内能以什么波摸传播 ? 解 :频率为 的微波波长为 1,宽为 a,高为 b 的矩形波导内 ,能传播的 (m,n)型波截止角频率 222200n,m,0 相应的截止波长为 2222n,m,cn,m,c 以 a=b=及 a=b=别代入上式，可算出最初几个波形的截至波长，列如下表： 波形 102030010211112121n,m,c10,c0,c2,c1.1,c2.1,ca=0.7 b=a=0.7 b=以 ,对于 微波 ,矩形波导管只能传10 矩形波导管只能传10 14 一对无限大的平行理想导体板 ,相距为 b,电磁波沿平行于版面的正方 向传播 ,设波在x 方向是均匀的 ,求可能传播的波摸和每种波摸的截止频率 . 解 : 0E 02 设 e x p, 0x x ;y s in s ys in s y s in s 由边界条件 : . ; z 当 y=0,b 时 0 0其中 ,2222 222 , zz 独立 2222 15 证明整个谐振腔内的电场能量和磁场能量对时间的平均值总相等 . 证明 : E A c o s k x s i n k y s i n k z e x p - i w x y s i n k x c o s k y s i n k z e x p - i w x y c o s k x s i n k y c o s k z e x p - i w x y 解得 将 E 的方程代入得 : i w e x py s i n kx c o s kc o s w e x py c o s kx s i n kc o s w e x py c o s kx c o s ks i n 电场能量密度对时间平均值为 : t d o c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s 代入得由 2Ts T w td t 2c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s 23222132103212303212203212102c o s kx s i n kc o s s i n kx c o s ks i n s i n kx s i n kc o s xd yd zd xd yd zd xd yd *H( w t d ts i s i c o o s)c o s i o s)c o c o i 由 2Tw 代入 20208 s i c o s)co s