高中数学必修4 《三角函数模型的简单应用》教案

第 1 页 共 11 页课题：从哥本哈根气候峰会谈起三角函数模型的简单应用 （教案）教材：高中数学 人教 A 版 必修 4 第一章1教学目标 知识与技能（1）能根据三角函数的局部图像求出三角函数的解析式；（2）能根据已知三角函数解析式画出函数图像，并根据图像研究函数性质；（3）能够将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型，解决一些简单的实际问题。 思想与方法（1）让学生体验周期性问题的数学“建模”思想；（2）解决问题的过程中，再次深刻体会“数形结合”的方法和思想。 情感和态度（1）让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用；（2）培养学生的环保意识。2教学重点、难点 教学重点：不同层次地用三角函数模型解决一些具有周期变化的实际问题。 教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题3教学方法与手段本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，主要特点如下：（1）教学过程中要创造让学生亲历实践建模过程的机会，在学习过程中不断给予鼓励，帮助学生建立信心，消除畏难情绪。（2）通过图片，flash 和几何画板动画等直观形象的手段，介绍实际问题涉及的知识背景，消除学生对问题的陌生感，帮助建立数学模型。第 2 页 共 11 页4教学流程设计5教学过程【引言】哥本哈根联合国气候变化大会 设计时间：2 分钟 设计意图：以哥本哈根联合国气候变化大会为背景，引入正题。 教学活动：师 2009 年 12 月 7 日，联合国气候变化大会在丹麦首都哥本哈根举行， “气候变暖” ， “节能减排” ， “低碳”等环保关键词再次吸引了全地球人的关注。 “今天，你绿色了吗？”成为了网络上一句最有号召力的口号。但你可有想过，这个全球最大的课题其实蕴藏着许多周期变化的现象，而这些现象可以用我们数学领域中，大家所熟悉的三角函数模型来诠释。今天，就让我们举几个简单的例子，来体会一下三角函数的价值和应用。生 兴奋地进入下一环节的学习。【教学环节 1】关键词一：气候变化 设计时间：8 分钟 设计意图：让学生充分利用列表和图像提供的信息，数形结合确定待定系数，理解函数表达式中参数 ,Ab与图像之间的关系。引入：哥本哈根联合国气候变化大会关键词 1：惠州 08年月平均气温变化问题。数学问题：由三角函数局部图像求函数解析式。关键词 2：水轮机某点满足的函数关系式相关问题。数学问题：由函数解析式画图像，求通过图像研究性质。关键词 3：为提高太阳能热水器的利用率而设计的建筑问题。数学问题：已知参数范围，构建函数模型，求目标参数的取值范围。教学活动：学生独立解决问题，展示学生解题案例，教师点评。教学活动：学生独立作图，学生上黑板展示作图过程，教师给予点评。教学活动：学生分组讨论，派代表发言，教师参与讨论，共同探究解决问题。课堂小结第 3 页 共 11 页 教学活动知识背景气候变化指气候平均状态统计学意义上的巨大改变或持续较长一段时间的（典型的为 10 年或更长）气候变动。问题探究 1下表是 2008 年惠州全年月平均气温的不完整数据，其中 1 月和 6 月的数据不慎丢失，而其温度变化曲线近似满足 sin()yAxb函数，请根据其局部图像（如下图） ，求出函数解析式，并由此估计 1 月和 6 月的平均气温。2008 年惠州月平均气温统计 （单位：）1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月14 17.5 22 247 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月29.5 30 27.5 25 22 16.5师前面我们已经学过由图像求 sin()yAxb解析式的问题，那让我们一起来回顾一下参数 ,Ab的确定方法吧！生 看最值， 看平衡位置， 看周期， 看特殊点。师很好！这个气温变化的问题，实际上就是由三角函数图像求解析式的问题，相信大家可独立解决！（3 分钟时间，让学生独立完成，并展示学生的解答过程，给予点评。 ）师解答过程中有一点需要关注： 值的确定能用最值点代入固然最好，但用平衡点代入也未尝不可，但需要区别平衡点所在区域的单调性。问题小结实际问题 数学问题惠州 08 年月平均气温变化问题 由三角函数局部图像求 sin()yAxb解析式。【教学环节 2】关键词二：潮汐能 设计时间：8 分钟 设计意图：学会根据三角函数的解析式画出其图像，然后根据图像研究该函数的性质。 教学活动：知识背景因海水涨落及潮水流动所产生的能量成为潮汐能，潮汐能是一种可再生的零碳能源。潮汐能的利用方式主要是发电，发电原理是利用高、低潮位之间的落差，推动水轮机旋转，带动发电机第 4 页 共 11 页发电，其中的水轮机就是一个重要的机件。问题探究 2现有一水轮机装置如图，水轮机一半浸在水中，一半露出水面。为观测水轮机的运转情况，在水轮机的外圈设置一观测点 A，以 A点刚好在位于水面上为初始位置，根据分析可知 A 点到水面的距离和水轮转过的角度满足函数 y=|sinx|，请画出该函数的图像，并由图像观察周期。师虽然题目已经给出了实际问题的数学模型，但为什么这个函数是 y=|sinx|？有同学能回答吗？生学生思考后回答。师（点评）其实水轮机的本质是一个单位圆， “A 点到水面的距离”就是正弦线的长度，所以是 y=|sin x|。师接来的问题是 y=|sinx|的图像怎么画？先让我们用课件来看看 y=|x|的图像怎么画。生提问学生回答，然后课件展示 y=|x|的图像的画法。师类比 y=|x|的画法，请大家在草稿纸上画出 y=|sinx|的图像，请一位同学上来演示他的画图过程并写出该函数的周期。（学生演示画图过程，老师给予点评）问题小结实际问题 数学问题水轮机 A 点到水面的距离和水轮转过的角度满足的函数关系式 y=|sinx|，求周期。由三角函数相关的解析式画函数图像，并由图像研究函数性质。【教学环节 3】关键词三：太阳能 设计时间：25 分钟 设计意图：1、引导学生阅读理解题意，培养学生阅读理解能力。并在此基础上培养学生的转化与建模能力。2、通过对复杂问题的分解，以数形结合的方法，问题串的形式引导学生进行连续的观察、思考和判断。 教学活动：知识背景太阳能是另一种常见的“零碳能源” ，在楼顶上装太阳能热水器已经不是什么新鲜的事情。但若要使太阳能在我们日常的生活中持续发展，房屋的建筑需注意什么问题呢？问题探究 3第 5 页 共 11 页设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90当地夏半年 取正值，冬半年 取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为 0h的楼房北面，间距为 01.5dh处盖一新楼。新楼楼顶要装太阳能热水器。为使太阳能热水器得以充分利用，则新楼顶层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，问所建新楼高度应该满足什么条件？师这个问题比较复杂，所以希望大家能充分阅读题目，理解题意！（留 2-3 分钟时间让学生读题）师阅读题目后，题目中让你读不懂的地方在哪里？谁来说一说！生正午太阳高度角 ，太阳直射纬度 ，纬度 ，三者概念有点模糊，为什么三个量之间的关系是 90？师我们借助图像来帮助理解。（几何画板课件展示问题 1 的分析过程）师三个参数中，哪个是定值？哪个是变量？生纬度 为定值，正午太阳高度角 和太阳直射纬度 为变量。师对一个复杂的问题常常可以分解为几个简单的问题来解决。下面我们把问题进行分解：师问题 1：正午太阳高度角 ，楼高 0h和影子 l之间有什么关系？生引导学生数形结合，观察得出结论 tanl。师问题 2：当一年四季交替，太阳直射纬度 如何变化？楼房的影子又随之如何变化？生学生分小组讨论，讨论后派代表发言，阐述讨论的结果。观察几何画板动画演示，直观感知变化情况：太阳直射点会在南北回归线之间移动， 在236,间变化，由图知影子在 AM到 C间变化，由 与 的关系和 l与 的关系，可求得 0.AMh， 02C，所以影子在 0.3,2h此范围内变化。师问题 3：新楼的高度应满足什么条件？生观察几何画板动画演示，分析影子与楼高的关系，得出结果：黄色区域全年正午晒不到太阳，红色区域有时晒得到太阳，有时晒不到太阳；PC 以外的区域全年正午都能晒到太阳，在楼距为 01.5h的 B 处建楼，高于此临界值便能满足条件，由比例关系知此临界值为 014h，所以新楼高度 应 04。第 6 页 共 11 页师问题到此就全部解决了。师生回顾总结整个问题的解决过程，本题表面是为使提高太阳能热水器的利用率而设计的建筑问题，其本质是由 与 的函数关系和 l 与由 的函数关系推导由 l与 的关系，即两个函数的复合 ()lgf，由此就能由直射纬度由 算出影子 的范围，并最后解决新楼楼高问题。这个分析过程，地理知识必不可少，函数思想是解决问题的关键，分类讨论也有重要作用。即：实际问题 数学问题为使提高太阳能热水器的利用率而设计的建筑问题。已知 094tanhl，且 236,，求 l的取值范围。 问题拓展如果在北京地区（纬度数约为北纬 40）的一幢高为 0h的楼房北面，盖一新楼，新楼高度为023h。新楼楼顶要装太阳能热水器，为使太阳能热水器得以充分利用，则新楼顶层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，问所建新楼与旧楼的间距有什么要求？ 师生 阅读理解，观察对比，共同分析两问题的异同在相同的情景下，将“固定楼距，求楼高范围”改为“固定楼高，求楼距范围” ，问题的数学模型是一样的。对求解过程给出点拨后，解题过程留给学生课后完成。【课堂小结】 设计时间：2 分钟 设计意图：归纳总结，思想升华 教学活动师今天我们以环保为主题，形式上是以气温变化图，潮汐能的水轮机，太阳能的利用为例子，实际上是解决由图像求解析式，由解析式画图，和在实际问题中提炼三角函数模型的过程。而事实上，不仅在环保这个课题上，在其他的科学或生活领域，三角函数都可以作为刻画周期现象的最有利工具，关键是我们要善于用“建模”的思想去转化，数学只有“用”起来，才能体现她的价值。第 7 页 共 11 页附件：学生课堂练习纸关键词 1：解：关键词 2关键词 3解：第 8 页 共 11 页课题：从哥本哈根气候峰会谈起三角函数模型的简单应用 （教案说明）授课教师：惠州市第一中学 廖伟君教材：高中数学 人教 A 版 必修 4 第一章三角函数模型的简单应用是在学习了三角函数图象和性质的前提下单独一节来学习的内容，也是三角函数整章的尾声。本课是三角函数的简单应用的第一课时，主要内容有三个层次：第一、已知图像求解析式；第二、已知解析式求图像；第三、从实际问题中提炼出三角函数模型，解决数学问题，并最后解决实际问题。本课的教学设计打破常规教法，在教学模式上大胆创新，具体表现为以下几点：一、以“建模”思想为中心，以“环保”话题为主线，大胆改造例题，源于课本而高于课本！为了突出本课重在“应用”的实质，教学设计中对例题做了大胆的改造，与课本原题的对比如下：课本原题 改造后例题例 1如图，某地一天从 614 时的温度变化曲线近似满足函数 bxAy)sin(（1）求这一天 614 时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式问题探究 1下表是 2008 年惠州全年月平均气温的不完整数据，其中 1 月和 6 月的数据不慎丢失，而其温度变化曲线近似满足 sin()yAxb函数，请根据其局部图像（如下图） ，求出函数解析式，并由此估计 1 月和 6 月的平均气温。2008 年惠州月平均气温统计 （单位：）1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月14 17.5 22 247 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月29.5 30 27.5 25 22 16.5OCT/ht/61048223第 9 页 共 11 页例 2画出函数 xysin的图象并观察其周期问题探究 2现有一水轮机装置如图，水轮机一半浸在水中，一半露出水面。为观测水轮机的运转情况，在水轮机的外圈设置一观测点A，以 A 点刚好在位于水面上为初始位置，根据分析可知 A 点到水面的距离和水轮转过的角度满足函数 xysin，请画出该函数的图像，并由图像观察周期。例 3如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90当地夏半年 取正值，冬半年 取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为 0h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？问题探究 3设地球表面某地正午太阳高度角为 ， 为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 90当地夏半年取正值，冬半年 取负值如果在北京地区(纬度数约为北纬 40)的一幢高为 0h的楼房北面，间距为 01.5dh处盖一新楼。新楼楼顶要装太阳能热水器。为使太阳能热水器得以充分利用，则新楼顶层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，问所建新楼高度应该满足什么条件？- 第 10 页 共 11 页- 由上表的对比不难看出，3 个问题的本质是一样的。不同在于，改造后的例题穿上了“环保”的外衣，使得原来比较松散的 3 个问题，有了一条主线贯穿，不管在形式还是内容上都更为丰富，也更能体现本课应用的实质。改造后的例题有了“环保”作为实际问题的背景，教学过程中便能更有针对性的体现“建模”的思想和过程。如改后的例题 1“气温变化问题” ，虽然气温的函数图像已画出，但仍可引导学生思考：“怎么由表格的数据得到函数的图像？”这实际就是用散点图做函数拟合的过程；又如改后的例 2“水轮机问题” ，虽然题目也已给出函数模型 sinyx，但这模型怎么建立的？这也不难看出水轮机就是单位圆，距离就是正弦线的本质。例题的改造，目的是为了突出“环保”主线，凸显“建模”思想，实践证明是可行的，本课教学的内容可谓“源于课本而高于课本”！二、探究过程以“问题串”的形式层层引导，有效突破重难点。例 3“太阳能”问题是本课的重点也是难点， “重”体现在要学生经历建模的全过程；“难”体现在实际问题涉及地理知识，背景较为复杂。于是对这个问题的处理，我们采用了“问题串