计算方法习题集

计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf1绪论(一)考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。(二)复习要求1.知道产生误差的主要来源。2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。3.知道四则运算中的误差传播公式。一、重点内容一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差。引起误差的原因是多方面的，主要有：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。在计算方法中主要讨论的是截断误差和舍入误差。误差：设精确值 x*的近似值为 x，差 e x x*称为近似值 x的误差(绝对误差)。误差限近似值 x的误差限 是误差 e的一个上界，即| e| x x*|。相对误差 er是误差 e与精确值 x*的比值， 。常用 计算。相对误差限 是相对误差的最大限度， ，常用 计算相对误差限。有效数字如果近似值 x的误差限 是它某一个数位的半个单位，我们就说 x准确到该位。从这一位起到前面第一个非 0数字为止的所有数字称为 x的有效数字。二、难点内容(1)设精确值 x*的近似值 x， x0. a1a2an10m， a1， a2， an是 09 之中的自然数，且a10，| x x*|0.510 m l，1 l n。 则 x有 l位有效数字。(2)设近似值 x0. a1a2an10m有 n位有效数字，则其相对误差限(3)设近似值 x0. a1a2an10m的相对误差限不大于 则它至少有 n位有效数字。(4)要求精确到 103 ，取该数的近似值应保留 4位小数。三、例题例 1设 x*=3.1415926近似值 x=3.140.31410 1,即 m=1，它的误差是 0.0015926，有， 即 n=3，故 x=3.14有 3为有效数字。 x=3.14准确到小数点后第 2位。近似值 x=3.1416，它的误差是 0.0000074，有 ， 即m=1,n5， x=3.1416有 5位有效数字。近似值 x=3.1415，它的误差是 0.0000926，有即 m=1， n4， x=3.1415有 4位有效数字。这就是说某数有 s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有 s位有效数字；若末位数字不是四舍五入得到的，那么该数有 s位或 s1 位有效数字。例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf22.0004 0.00200 9000 9000.00解因为 x1=2.00040.2000410 1,它的误差限 0.00005=0.51015 ，即 m=1,n=5,故 x=2.0004有 5位有效数字.相对误差限x2=0.00200，误差限 0.000005，因为 m=2， n=3， x2=0.00200 有 3位有效数字。相对误差限 r=0.00005/0.00200=0.25%。x3=9000，绝对误差限为 0.5，因为 m=4,n=4,x3=9000有 4位有效数字，相对误差限r0.5/9000=0.0056%x4=9000.00，绝对误差限 0.005，因为 m=4， n=6， x4=9000.00有 6位有效数字，相对误差限为r=0.005/9000.00=0.000056%由 x3与 x4可以看到小数点之后的 0，不是可有可无的，它是有实际意义的。例 3ln2=0.69314718，精确到 103 的近似值是多少？解精确到 103 0.001，即绝对误差限是 0.05,故至少要保留小数点后三位才可以。Ln20.693。例 4如何去设计一个好的算法？答：一个好的算法必须满足：1、计算步骤简化以减少运算次数及误差积累；2、避免两个相同号数数值相近的数相减；3、计算若干同号数时的和,按绝对值增大的顺序相加；4、避免乘除法中数值绝对值过大或过小；5、防止大数吃掉小数；6、选用数值稳定性好的算法。四、练习题1.设某数 x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是_。2.设某数 x*,它的精确到 104 的近似值应取小数点后_位。3.()的 3位有效数字是 0.236102。(A)235.54101 (B)235.418(C)2354.82102 (D)0.00235491034.设 a*=2.718181828，取 a=2.718,则有(),称 a有四位有效数字。(A) (B) (C) (D)5.设某数 x*,对其进行四舍五入的近似值是(),则它有 3位有效数字，绝对误差限是 。(A)0.315 (B)0.03150 (C)0.0315 (D)0.003156.以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为 。(A)0.01234 (B)12.34 (C)2.20 (D)0.2200五、练习题答案该数有效数字第四位的一半。2.四 3.(A) 4.(B) 5.(C) 6.(D) 计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf3方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法牛顿法；弦截法。(二)复习要求1.知道有根区间概念，方程 f(x)=0在区间( a,b)有根的充分条件。2.掌握方程求根的二分法；二分法及二分次数公式，迭代法及其收敛性。3.熟练掌握牛顿法，掌握初始值的选择条件。4.掌握弦截法。一、重点内容1.二分法:设方程 f(x)0 在区间 a， b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：x* xn= (a0 a， b0 b)， n0，1，2，有误差估计式： x* xn ， n0，1，2，二分区间次数：2.牛顿法：用切线与 x轴的交点，逼近曲线 f(x)与 x轴的交点。迭代公式为（ n1，2，） ，选初始值 x0满足 f(x0)f(x0)0，迭代解数列一定收敛。3.弦截法:用两点连线与 x轴交点逼近曲线 f(x)与 x轴的交点。迭代公式为(n1，2，)二、难点内容：（1） 、迭代法概念:若方程 f(x)0 表成 x( x)，于是有迭代格式： xn( xn1 )（ n1，2，） ，x* xn，存在 01,|( x)|，在区间 a,b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛。（2）定理一：设 在区间【a,b】上具有一阶连续的导数，且满足如下两个条件：当)(x时， ；存在正常数 L0， f(1)=sin10 (C) 0 (D) 0)(0fx )(0f )(f )(0xf4.设函数 f(x)在区间 a,b内有二阶连续导数，且 f(a)f(b)1 3.(B) 4.f(x)0 5.1.32)(,ff .lnl)(x6.(1) 3121 5.0.nnnn cxcx计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf10线性方程组的数值解法(一)考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法；雅可比迭代法，高斯赛德尔迭代法；消去法消元能进行到底的条件，迭代解数列收敛的条件。(二)复习要求1.知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。2.掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法。3.知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法的收敛性的充分条件。一、重点内容1.高斯消去法：解线性方程组 AX b，对增广矩阵 顺序作初等行变换，使矩阵 A化为上三角形矩阵，再回代，从而得到线性方程组的解。要求作初等行变换消元过程中， 。注意：本章讨论线性方程组的解的方法，不讨论解的存在性。2.列主元消去法：在高斯顺序消去法中，每次消元之前，要确定主元 ，(k1，2，3， n1)把第 r行作为主方程，做第 k次消元。把系数矩阵化为上三角形矩阵，从而得到线性方程组的解。3.LU公式法LUA 其中 nnn uuull 22311121211 n,.ki,ulal n.,k,.,j,n,.i,ualjkkjjiiikiijjkjiijj 132321114.雅可比迭代法：解线性方程组 AX b的雅可比迭代法公式为计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf11(k0，1，2，)4.高斯赛德尔迭代法：解线性方程组 AX b的高斯赛德尔迭代法公式为(i1，2， n； k0，1，2，)二、难点内容：解的收敛性定理（1）高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵 A的各阶顺序主子式不为 0； AX b能用高斯消去法求解的充分必要条件是 A的各阶顺序主子式不为 0。（2）(迭代法基本定理)：设线性方程组 X BX f对于任意初始向量 X(0)及任意 f，对应此方程组的迭代公式： X(k1) B(k)X f，收敛的充分必要条件是,其中 i(i1，2， n)为迭代矩阵 B的特征根。当 i为复数时，| i|表示 i的模。（3）(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组 AX b，(1)若 A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法收敛；(2)若 A为对称正定矩阵，则高斯赛德尔迭代法收敛。注：设矩阵 A aijn，若 则称矩阵 A是严格对角占优矩阵。三、例题例 1用顺序消去法解线性方程组解顺序消元于是有同解方程组回代得解： x3=1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为 X(1,1,1) T。例 2取初始向量 X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf12解建立迭代格式： (k=1,2,3,)第 1次迭代, k=0： X(0) 0，得到 X(1)(1,3,5) T,第 2次迭代， k=1：，X(2)(5,3,3) T；第 3次迭代， k=2：，X(3)(1,1,1) T；第 4次迭代， k=3：，X(4)(1,1,1) T；例 3填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组 2320213x作第 1次消元后的第 2，3 个方程分别为 。解选 a21=2为主元，作行互换，第 1个方程变为：2 x1+2x2+3x3=3，消元得到5032是应填写的内容 。2.用选主元的方法解线性方程组 AXb，是为了( )。(A)提高计算速度 (B)减少舍入误差 (C)减少相对误差 (D)方便计算答案：选择(B)3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组 52311xx的迭代格 式中 ( k=0,1,2,)答案： 1215x解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求 x2的值时应该用 x1的新值 。1215kx计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf134.当 a()时，线性方程组 的迭代解一定收敛 。(A)6 (B)=6 (C)6答案：(D)解答：当a6 时，线性方程组的系数矩阵是严格对角占优矩阵，由定理 6，迭代解一定收敛 。四、练习题1.用高斯列主元消去法解线性方程组2.用高斯赛德尔迭代法求解线性方程组取初始值(4.67，7.62，9.05) T，求二次迭代值 。3.证明线性方程组的迭代解收敛。4.用高斯顺序消去法解线性方程组，消元能进行到底的充分必要条件是 .。5.用列主元消去法解线性方程组 ，第 1次消元，选择主元为() 。(A)3 (B)4 (C)4 (D)9五、练习题答案1、 X(4，1，2) T 2、(4.66619,7.61897,9.07452) T 3、提示：系数矩阵是严格对角占优矩阵 。4、线性方程组的系数矩阵的各阶顺序主子式均不为 0。 5、(C)计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf14函数插值与曲线拟合(一)考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；差商及其性质，牛顿插值多项式；线性拟合、二次拟合。(二)复习要求1.了解插值函数，插值节点等概念。2.熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。3.掌握牛顿插值多项式的公式，了解差商概念和性质，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。4.了解线性拟合和二次多项式拟合的方法。一、重点内容求插值多项式的基本思想：设函数 在区间a,b上连续。已知它在 上 个互不相同的)(xf ,ba1n点 处的值 。如果多项式 在点 上满足 ，则称nx,10 ny,10 )(pix),0()(iypi 是函数 的插值多项式。)(p)(f1.函数插值：已知函数 f(x)的 n个函数值 yk f(xk)， k0，1，2， n。构造一个多项式 P(x)，使得 P(xk) yk。P( x)就是插值多项式， f(x)就是被插函数， xk就是插值节点。误差 R(x) f(x)P( x)。2.拉格朗日多项式：称 n次多项式 Pn(x) y0l0 y1l1 ynln 为拉格朗日插值多项式，其中基函数当 n1 时，线性插值 P1(x) yklk(x) yk+1lk+1(x)，其中基函数。当 n2 时，得到二次多项式，就是二次插值。拉格朗日插值多项式的余项为，其中 ( a， b)。3.差商与牛顿插值多项式：函数值与自变量的差商就是差商，一阶差商 (或记作 fx0， x1)；二阶差商 (或记作 fx0， x1， x2)性质 n阶差商可以表示成 n+1个函数值 )(),.(nf的线 性组合，即f kx,.10= ni iiiii xxxf0 110.).(计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf15当 n=1时， 0101010 )()()(, xfxfxffxf 当 n=2时， )()()()()1()( )()(1 , 12021012010 1200210 120120 021021020 xxfxfxf fff xfxfxfxf fffff 注：差商有两条常用性质：(1)差商用函数值的线性组合表示；(2)差商与插值节点顺序无关。用差商为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式 Nn(x) f(x0) fx0， x1(x x0) fx0， x1， x2(x x0)(x x1) fx0， x1， x2， xn(x x0)(x x1)(x x2)(x xn-1)牛顿插值多项式的余项为 Rn(x) f(x) Nn(x) fx， x0， x1， x2， xn(x x0)(x x1)(x x2)(x xn1 )(x xn)。4.分段线性插值已知 n1 个互异节点 x0， x1， xn构造一个分段一次的多项式 P(x)，且满足：(1)P( x)在 a， b上连续；(2)P( xk) yk(k0，1，2， n)；(3)P( x)在 xk， xk+1上是线性函数。分段线性插值函数 其中 lk(x)(k0，1，2， n)是分段线性插值基函数。(i1，2， n1)5.三次样条插值函数(k0，1，2， n1)( xk x xk1 )计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf16其中 S(xk) mk(k0，1，2， n)， hk xk+1 xk(k 0，1，2， n1)， m0， m1， mn满足的方程组是(*)其中： ，(k1，2， n1)(1)当已知 S(x0) y0，S (xn) yn时，(*)式中01， n1，(2)当已知 S(x0) y0 m0，S( xn) yn mn时，(*)式化为6、最小二乘法用 (x)拟合数据( xk， yk)(k1，2， n)，使得误差的平方和为最小，求 (x)的方法，称为最小二乘法。(1)直线拟合若 ， a0， a1满足法方程组(2)二次多项式拟合若 ， a0， a1， a2满足法方程组计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf17三、例题例 1已知函数 y=f(x)的观察数据为xk 2 0 4 5yk 5 1 3 1试构造拉格朗日多项式 Pn(x)，并计算 P(1)。只给 4对数据，求得的多项式不超过 3次解:先构造基函数 )()()() xxl )()()()l )()()() xxxl )()()()l所求三次多项式为P3(x)=ylkn0 )(x)()x)(x)(x。P3(1) 例 2已知函数 y=f(x)的数据如表中第 1，2 列。计算它的各阶差商。解依据差商计算公式，结果列表中。k Xk f(xk) 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商0 0.40 0.410751 0.55 0.57815 1.116002 0.65 0.69675 1.16800 0.280003 0.80 0.88811 1.27573 0.35893 0.197334 0.90 1.20152 1.38410 0.43348 0.21300 0.03134计算公式为计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf18一阶差商),()(,( kxffxf kk二阶差商),(,),(),( kxfff kkk三阶差商),(,),(),( kxxfxfxf kkkk四阶差商 fff ),(),(),(例 3设 是 n+1个互异的插值节点， 是拉格朗日插值基函数，证明：xx,. ),.)(nkxl(1) (2)nkl)( ),.()(nmxlnkk证明(1)P n(x)=y0l0+y1l1+ynln=lk0)()(),()!() xRPxffRnn当 f(x)1 时，1)()!()( xnfxlPnknn 由于 ，故有)(xfnnkl(2)对于 f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定 xm(0mn),作拉格朗日插值多项式，有 )()!()flRPnkmnnm 当 nm1 时， f(n+1)(x)=0，R n(x)=0，所以 。mnkxl(注意：对于次数不超过 n的多项式 ,利用上结果，有：aaQnn.)axaxQnn .)(= nknknknkkkn xlaxlll )()(.)()(计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf19=nkknk knknk xlQaxaxl )(.)(可见，Q n(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过 n的多项式在 n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 4已知函数 e x的下列数据x 0.10 0.15 0.25 0.30e x 0.904837 0.860708 0.778805 0.740818用分段线性插值法求 x=0.2的近似值。解用分段线性插值，先求基函数。， .)( xxl . .)(xxl， . .)( xxxl .)( xxxl所求分段线性插值函数为 )()( xxxlyxPk所以，e 0.2 =P(0.2)=0.819070.2+0.983569=0.819755。例 5选择填空题1.设 y=f(x),只要 x0,x1,x2是互不相同的 3个值，那么满足 P(xk)=yk(k=0,1,2)的 f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的解答：因为过 3个互异节点，插值多项式是不超过 2次的。设 P(x)=a2x2+a1x+a0,a2,a1,a0是待定数。P(xk)=yk,即yaxa这是关于 a2,a1,a0的线性方程组，它的解唯一，因为系数行列式 )()(xxx计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf20所以，不超过 2次的多项式是唯一的。2.通过四个互异节点的插值多项式 P(x)，只要满足(),则 P(x)是不超过一次多项式。(A)初始值 y0=0(B)一阶差商为 0(C)二阶差商为 0(D)三阶差商为 0答案：(C)解答：因为二阶差商为 0，那么牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x x0)它是不超过一次的多项式。3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A) )()!1()() xnfxPfxRnnn (B)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x1)(x x2)(x xn1 )(x xn)(C) )!()()ffnn(D)f(x,x0,x1,x2,xn)(x x0)(x x1)(x x2)(x xn1 )(x xn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。例 6已知数据如表的第 2，3 列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。 n=5。a 0,a1满足的法方程组是5.1510a解得 a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25xk xk yk 2kxkyk1 1 4 1 42 2 4.5 4 93 3 6 9 184 4 8 16 325 5 8.5 25 42.5 15 31 55 105.5例 7 设是以 0，1，2 为节点的三次样条函数，则 ,b,c 应取何值?解 由定义给出的条件 ，在 这(n-1)个内点上应满足故在 处由 及 连续，可得计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf21解得 =-2,b=3,c=-1.此时 s(x)是 0,2上的三次样条函数。计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf22计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf23计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf24计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf25计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf26四、练习题1.已知函数 y=f(x),过点(2,5),(5,9),那么 f(x)的线性插值多项式的基函数为。2.过 6个插值节点的拉格朗日插值多项式的基函数 l4(x)。3.已知多项式 P(x)，过点(0,0),(2,8),(4,64),(11,1331),(15,3375),它的 3阶差商为常数 1，一阶，二阶差商均不为 0，那么 P(x)是()(A)二次多项式 (B)不超过二次的多项式 (C)3 次多项式 (D)四次多项式4.已知 y=f(x)的差商 , , , 。那),(f ),(xf ),(xf ),(xf么 f(x4,x2,x0)=()(A)5 (B)9 (C)14 (D)85.求过这三个点(0,1),(1,2),(2,3)的拉格朗日插值多项式。6.构造例 2的函数 f(x)的牛顿插值多项式，并求 f(0.596)的近似值。7.设 l0(x)是以 n+1个互异点 x0,x1,x2,xn为节点的格朗日插值基函数).(n试证明： ).(.)()()( n0 xxxxxl 8、已知插值条件如表所示，试求三次样条插值函数。9.求数据拟合的直线方程 y=a0+a1x的系数 a0,a1是使最小。10.已知数据对(7,3.1),(8,4.9),(9,5.3),(10,5.8),(11,6.1),(12,6.4),(13,5.9)。试用二次多项式x 2.5 7.5 10y 4.0 7.0 5.0y 0.13 0.13计算方法与实习地球物理系 fbb3f33683d5a6a7e134bd9600a19023.pdf27拟合这组数据。11. 3()1,0,123fxf设 则 差 商 均 差 _ ， 0,1234f_。五、练习题答案1. 2. 3、C 4.B 5. x+1 , )().()xx6.给定五对点，牛顿多项式是不超过 4次的多项式。N4(x)=0.41075+1.11600(x0.55)+0.28000( x0.40)( x0.55)+0.19733(x0.40)( x0.55)( x0.65)0.03134( x0.40)( x0.55)( x0.6