第8章_特征值问题变分原理

111第 8 章 特征值问题的变分原理8.1 Sturm-Liouville 微分方程与特征值在求解微分方程、结构的稳定性或者求结构的固有频率时，我们经常会遇到下面的微分算子 A(8.1.1)01d()()(),(,)yxyxpqyxx其中 都是已知的函数， ，那么方程),(qp0(8.1.2)()()w称为 Sturm-Liouville 方程，其中权函数 ，当且仅当在 的一个零测度集上)(x01(,)x等号成立。当给定了齐次边界条件后，只有某一些特定的 才能使得该方程有非零解, 使得该方程有非零解的 称为特征值，相应的解 称为特征函数 。常见的边界条件为y(1) 两端固定 。0)(10xy(2) 两端自由 。( p(3) 一端固定、另一端自由 或 ， 或 。)(00)(1xy0)(xpy0)(1xpy我们可以在复函数空间中定义一个内积运算为10122(),()xyxydx容易证明， ，即 是对称(自伴) 算子。如果记,AA( )为 Sturm-Liouville 方程的特征值 是相应的特征12, 21n .,21ny函数。也就是说(8.1.3)(iiiyxwyx那么，对于特征值和特征函数，我们可以得到以下一些性质：1. 所有特征值是实的若 是一组特征值和特征函数，即,()yx(8.1.4)()Awxy则 也是一组特征值和特征函数，即,(8.1.5)()()y将(8.1.4) 乘 、(8.1.5) 乘 相减并积分可得xyx10()()(d0xw2. 特征函数正交性 ,ijyij112由算子 的对称性A,ijijjiyAyy另一方面，由于 是算子 的特征向量，所以有ij,ijijiijw,jijijjijijyyywy因此0,)(jiji当 时，要求上式成立，只有ji,jiyw当 时，若 是 的两个线性无关的特征向量，选择ijijA,/,jjijiyw代替 ，满足正交性要求 。对于有多个线性无关特征向量的重特征值问题，jy0ij也可类似处理(Schmit 正交化)。这样，我们总是可以选择合适的特征函数，使得(8.1.6)jiywijji 01,也就是说可以把特征函数单位正交化。否则，我们只要把得到的特征函数作下面的变换就可以 ,iiy3. 特征函数的富里叶展开对于任意一个连续函数 ，均可以用 Sturm-Liouville 算子的特征函数进行富里叶展)(xf开(8.1.7)0)()(iiyaxf其中)(,)()(,)( xywfxywf iii这里，严格的证明我们不去讨论。8.2 Sturm-Liouville 特征值问题的 Rayleigh 原理根据上面 Sturm-Liouville 方程的算子 及内积定义，对于任意的函数 ,定义A)(xy(8.2.1),Ayw我们称该泛函为算子 的 Rayleigh 商。113定理 8.1 上述定义的 Rayleigh 商与算子 的特征值 有A(8.2.2)0,st.yAw这里 表示泛函取驻值，此时得到的 为对应特征值 的特征函数。当 时，st.()(xy ()0px所有特征值 ，此时取最小特征值 ,则(8.2.2) 变成i1(8.2.3)10,minyA证明: 对任何一个函数 ，按 Sturm-Liouville 方程的特征函数进行富里叶展开)(x0)(iiax其中 (),()i iwyx那么由于 ,ijijijijA2000(),(),ii iii iayxawy 因此有20,iiaAy从而 20,diiaAyw即0,st. 1,2iiyAyiw当 时，式(8.2.3) 可由性质(2)得到。()px定理 8.1 称为 Sturm-Liouville 特征值问题的 Rayleigh 原理。8.3 特征值问题的 Rayleigh-Ritz 法根据 Rayleigh 原理，Ritz 提出了求解 Sturm-Liouville 微分方程特征值的近似计算方法:首先把特征值问题转化为变分问题(8.2.2)，然后再用数值方法来求解该变分问题。令()Tyx12,(),.()Tnx11412,.,Tn其中 是待定的常数， 是选定的一系列基函数，它们满足指定的边界条件。在实际应用ii中最好从一组完备的函数系中来选取基试算函数，如幂函数，三角函数等。将 的表达)(xy式代入 的定义中，可以得到,JAyIwKG其中,ijijijKijijijG而且矩阵 和 是对称的。要使得上面的 取到最小值，那么必定要求满足d0从而得到dJI也就是0KG这是一个(广义)代数特征值问题，可以通过迭代方法，SVD 方法或者其他数值方法来求解。例 8.1 )(,“lyy解： A其特征值为 ，特征函数为2lnlxnxnsi2)(Rayleigh 商为 y,如果取近似函数为 ，那么 ，代入 的表达式中得到)()(1xlax12aAy3251112, /0st. st.lll它比真实的 稍大。1如果取近似函数为 ，代入 的表达式中得到221)()()(xlaxlxy，287.9l它和真实的 几乎相等。18.4 Sturm-Liouville 四阶微分方程的特征值问题Sturm-Liouville 四阶微分算子为115(8.4.1)22d()d()()()yxyxAyxspqyx特征方程为(8.4.2)()()r这里 。边界条件为每端 各取下列两个边条件()0x12,)x(1) 或者 ；y2dd()0ysp(2) 或者 。0x2x与该方程特征值问题等价的变分问题为1010220(“)dst.t.xxyyspyqxJIr8.5 结构的稳定性结构的平衡状态可以分为三类: 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡。在工程中经常会遇到结构失稳问题：(1) 细长杆受压，当压力从零开始增加时，杆件保持为直线，当压力到达一定值的时候，杆件被压弯，产生较大的变形。(2) 板条或者工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲，当载荷到达一定值时，会发生侧向弯曲与扭转。(3) 圆柱壳的失稳。定 义 8.1（ 稳 定 性 ） 设 结 构 处 于 某 一 平 衡 状 态 ， 受 到 任 一 微 小 扰 动 后 而 稍 微 离 开 原 平衡 位 置 。 当 扰 动 消 失 后 ， 如 果 结 构 能 回 到 原 来 位 置 ， 则 称 此 平 衡 状 态 为 稳 定 平 衡 状 态 ；如 果 结 构 可 能 继 续 偏 离 ， 不 能 回 到 原 来 位 置 ， 则 称 此 平 衡 状 态 为 不 稳 定 平 衡 状 态 。 介 于稳 定 平 衡 和 不 稳 定 平 衡 之 间 的 过 渡 平 衡 ， 称 为 临 界 平 衡 状 态 ， 简 称 临 界 状 态 。注 ： 这 里 我 们 用 临 界 平 衡 替 代 前 述 的 随 遇 平 衡 。 这 是 两 个 不 同 的 概 念 ， 因 为 临 界 平衡 可 能 是 随 遇 平 衡 ， 也 可 能 是 稳定平衡或 不稳定平衡，它在工程上更有用。定 理 8.2 设 为 系 统 的 总 势 能 ， 是 结 构 的 位 移 函 数 ， 则 其 平 衡 点 必()Vuu0u定 满 足 ， 并 且0()u（ 1） 对 于 任 意 ， ， 则 必 定 是 稳 定 的 平 衡 点 ；20()0（ 2） 至 少 存 在 一 个 非 零 的 ， 使 得 ， 则 必 定 是 不 稳 定 平 衡 点 ；2()V0（ 3） 对 于 任 意 ， ， 并 且 至 少 有 一 个 非 零 的 使 得 不 等 式 中 的 等 号 成 立 ，20()Vuu则 必 定 是 系 统 的 临 界 平 衡 点 。0u定 理 8.3 平 衡 点 稳 定 的 充 要 条 件 是 使 得 总 势 能 取 严 格 极 小 值 。例 8.2 图 8.1（ a） 为 一 刚 性 压 杆 （ 不 变 形 ） ， 承 受 中 心 压 力 为 ， 底 端 为 铰 支 座 ，FA顶 端 有 弹 簧 系 数 为 的 水 平 弹 簧 支 承 。Bk116FkBAl I(不 稳 定 )I(不 稳 定 )FOABC()kl （a） （b）图 8.1 例 8.2 图解 ： 当 为 竖 直 时 ， 系 统 能 平 衡 ， 这 是 原 始 的 平 衡 形 式 。 现 在 考 虑 倾 斜 位 置 是 否 还AB存 在 新 的 平 衡 状 态 。 为 此 ， 写 出 平 衡 条 件 （ 水 平 方 向 ）tansi0Fkl即 (co)il这 个 方 程 有 两 个 解0这 正 好 是 原 始 平 衡 状 态 （ ） ， 另 一 解 为cosFkl这 是 新 的 平 衡 路 径 （ ） 。 将 这 些 解 画 在 图 （ b） 上 ， 显 然 分 支 点 为 Acrl分 支 点 将 原 始 平 衡 路 径 分 成 两 段 ： 前 段 上 的 点 属 于 稳 定 平 衡 ， 而 后 段 属 于AOAB不 稳 定 平 衡 。 而 在 新 的 平 衡 路 径 上 ， 当 载 荷 减 少 时 倾 角 反 而 增 大 ， 所 以 也 是 属 于 不 稳定 平 衡 。 对 于 这 类 具 有 不 稳 定 分 支 的 完 善 体 系 ， 进 行 稳 定 性 验 证 时 要 特 别 小 心 ， 一 般 应考 虑 初 始 缺 陷 （ 初 曲 率 、 偏 心 ） 的 影 响 。现 在 按 小 挠 度 理 论 分 析 。 所 谓 小 挠 度 理 论 ， 是 将 平 衡 方 程 中 位 移 分 量 按 小 量 线 性化 处 理 。 由 于sin,cos1代 入 方 程 （ a） 得()0Fkl故 两 个 平 衡 态 为，,lFkl前 者 是 原 始 平 衡 状 态 ， 后 者 是 新 的 平 衡 状 态 。117OABC()kl 图 8.2 小 挠 度 理 论 结 果显 然 ， 按 小 挠 度 理 论 计 算 出 的 分 支 点 与 大 挠 度 完 全 一 样 ； 但 对 分 支 点 以 后 的 情 形 ，小 挠 度 给 出 的 随 遇 平 衡 是 一 种 假 象 。例 8.3 考 虑 图 8.3（ a） 单 自 由 度 非 完 善 体 系 ， 刚 性 杆 有 初 倾 角 ， 其 余 同 上 例 。ABk BAlFkABl038.042. 137. 147. 157.0536.0.695Fkl1.520.8040.321.000(a) (b) (c)图 8.3 例 8.3 图解 ： 在 图 （ b） 中 ， 平 衡 条 件 （ 水 平 方 向 ） 为（ a）tan()sin()si0Fkl所 以（ b）icos()1s()l 对 于 不 同 的 ， 曲 线 画 在 图 （ c） 上 。 曲 线 上 有 极 值 点 ， 为 此 令 ， 解 得F d0F13sin()si代 入 式 （ b） 得 到 相 应 的 极 值 载 荷 为（ c）23(1si)crFkl显 然 ， 初 倾 角 越 大 ， 临 界 载 荷 就 越 小 。crF现 在 用 小 挠 度 理 论 。 设 ， 从 而1=sin(),os(),sin代 入 式 （ b） 得（ d）1Fkl118对 于 所 有 的 ， 上 述 的 曲 线 均 是 以 作 为 渐 近 线 的 ， 即 。 很 显 然 ， 式FFklcrFkl（ d） 中 的 曲 线 无 极 值 。稳 定 性 问 题 的 出 现 是 由 于 整 个 结 构 总 势 能 的 正 定 性 破 坏 能 造 成 的 ， 所 以 只 要 讨 论 正定 性 破 坏 的 条 件 ， 就 可 以 得 到 所 需 的 临 界 载 荷 。（ 1） 是 平 衡 点 要 满 足 的 条 件 ， 表 明 的 正 定 性 被 破 坏 。 所 以 ，0V20V或 有 非 零 解 存 在 可 以 得 到 临 界 载 荷 的 值 。2（ 2） 一 般 我 们 考 虑 的 是 小 应 变 、 大 变 形 问 题 。 换 言 之 ， 由 于 应 变 量 是 小 量 ， 所 以 应变 能 可 以 按 原 来 的 公 式 计 算 ； 但 外 力 势 能 ， 则 要 按 变 形 后 的 位 置 计 算 。例 8.4 用 能 量 法 计 算 前 面 例 子 中 的 临 界 载 荷 。解 ： 点 弹 簧 的 弹 性 势 能 为A21Vk当 转 过 角 度 时 （ 图 8.2（ b） ） ， 外 力 沿 方 向 移 动 了 ：BFx1(cos)ll所 以 外 力 的 势 能 为F22lV总 势 能 为 212()kFl由 得0()0l从 其 非 零 解 条 件 可 得 /crFkl例 8.5 F Fy xlxv图 8.4 两 端 简 支 的 压 杆首 先 来 考 虑 两 端 是 简 支 的 压 杆 。 选 取 坐 标 系 如 图 所 示 ， 则 其 弯 矩 为zMFv用 表 示 的 平 衡 方 程 （ 适 用 于 小 挠 度 ）v v2d0zxEI引 入 记 号1192zFkEI则 方 程 的 通 解 为 （ 当 时 ）012cosinvCxk由 的 条 件 可 得 ， 再 将 的 条 件 代 入 上 式 可 得0,x1,0xlv2()si0ll为 使 方 程 有 非 零 解 （ 第 二 平 衡 路 径 ） ， 必 须 有 ,=1,kln因 此 22(),0,1zzFEInl取 最 小 的 作 为 临 界 载 荷 。 选 ， 即2cr/zIl这 就 是 我 们 要 求 的 两 端 简 支 梁 的 临 界 载 荷 。8.6 求压杆临界载荷的变分方法考虑一根直梁，在轴向力 作用下的失稳问题。由于没有横向载荷，挠度 满足方程Pw222dd()0wEIxx（8.6.1）梁的边界条件为每端各取下列两个条件(1) 或者 ；02dd()0IPxx(2) 或者 .wx2wE显然 是该方程的解。对于一些特殊的 ，该方程有非零解，我们称 的这些值为压P杆的临界载荷，相应的 为特征函数。对应的变分形式为202dminlwlIxP（8.6.2）8.7 临界载栽荷的 Rayleigh-Ritz 法以 两 端 简 支 的 压 杆 稳 定 性 为 例 。 由 于 作 用 ， 其 在 微 元 上 所 作 用 的 弯 矩 为F(,d)xzMFv当 挠 度 由 变 到 时 ， 这 一 弯 矩 所 做 的 功 为v120dzMvxFvx从 而 对 整 根 梁 来 说 ， 力 所 做 的 功 为 20 021()d1 ()dlllWvxvFvxF因 为 , 式 中 处 的 项 自 动 消 失 。 这 样 外 力 势 能 为0v,xl220()lVvx而 总 势 能 为 22120()(dlzEIvFx设 挠 度 曲 线 可 以 近 似 写 成()vx1()Nix这 里 满 足 边 界 条 件 ， 为 已 知 的 插 值 函 数 系 ， 为 待 定 参 数 ， 代 入 总()ix0iili势 能 表 达 式 得 221011TT(,)()()d2 NNlNzi iVEIxFx AB式 中 T12,N 0()d,lijijzijlijijijAEIxB从 可 以 得 到 一 组 要 满 足 的 代 数 方 程0V()0F（ 8.7.1）要 使 代 数 方 程 有 非 零 解 （ 零 解 对 应 原 始 平 衡 位 置 ） ， 必 有det()0AB（ 8.7.2）即 必 定 是 矩 阵 对 的 广 义 特 征 值 。 临 界 载 荷 应 当 是 最 小 特 征 值 。F(), crF现 在 我 们 用 上 述 方 法 计 算 临 界 载 荷 。 取 ， 用 两 种 不 同 插 值 函 数 求 。1NcrF取 ， 显 然 满 足 条 件 。 此 外1()xl1(0)l02,2x121所 以 2 231 10 0()d4,()dl lzzAEIxIlBxl 由 式 (8.7.2)可 得 cr2zIFBl比 精 确 值 大 22 。2/zEIl若 取 ， 显 然 也 满 足 边 界 条 件 ， 同 时1()sinxl211co,()sinxlll所 以 42130()dll EIAIxlB从 而 2crAEIFl这 个 值 刚 好 是 精 确 值 。一 般 来 说 ， 插 值 函 数 取 项 越 多 越 准 确 。 如 果 所 取 插 值 函 数 中 有 一 项 刚 好 是 精 确 的所 对 应 的 非 零 解 ， 则 得 到 的 结 果 是 精 确 的 。 可 以 证 明 ， 随 着 所 取 的 插 值 函 数 项 的 增 加 ；cr所 求 得 的 临 界 载 荷 值 （ 即 最 小 特 征 值 ） 是 不 增 的 。 换 言 之 ， 用 上 述 近 似 方 法 算 出 的 临 界载 荷 是 精 确 值 的 一 个 上 限 。例 8.6 计 算 一 端 固 定 、 一 端 自 由 的 受 到 均 匀 垂 直 分 布 载 荷 的 杆 的 临 界 载 荷 。q图 8.5 例 8.6 图解 ： 用 能 量 法 求 解 。 现 在 计 算 外 力 势 能 ， 考 虑 上 的 外 力 所 做 的 功 ， 这 里 外(,d)x力 为 ， 而 弯 曲 产 生 的 位 移 为dqx220 011()d()x xvv （ ）所 以 该 段 上 外 力 所 做 的 功 为122201d()xqv从 而 整 个 杆 上 的 外 力 势 能 为 22 2200011()d()d()(dlxlllVvqvxqv 总 势 能 2201()()lEIvxlvx现 用 近 似 方 法 求 解 ， 取 ()1cos2xl满 足 固 定 端 的 边 界 条 件 。 此 外 2()sin ,()cosxxxlll 所 以 4 22 23 20 01()d,()(d()4l lEIAEIxBxl 最 后 4cr3238.()IIqBll与 精 确 解 相 比 ， 误 差 为 。37.8EIl5.9%8.8 求结构固有振动频率的变分方法所 谓 固 有 振 动 ， 是 指 在 没 有 外 界 作 用 下 系 统 以 某 一 特 定 的 频 率 的 运 动 。 现 在 来 推p导 固 有 振 动 应 满 足 的 方 程 。为 简 单 起 见 ， 考 虑 具 有 一 个 广 义 位 移 函 数 的 系 统 。 对 线 性 系 统 (平 衡 位 置 附 近(,)uxt的 小 振 动 )来 说 动 能 与 势 能 可 写 成22100213(,)(,)d()()dl lxx xl xTuuaVu其 对 应 的 拉 格 朗 日 方 程 的 变 分 形 式 （ 可 从 哈 密 尔 顿 原 理 导 出 ） 为