浅谈数学课堂的“牛鼻子”——例题

1浅谈数学课堂的“牛鼻子” 例题例题教学是数学课堂教学的重要组成部分，是对所学知识进一步深化，同时对技巧的运用进行示范，把数学知识、解题技能和思想方法联系起来，并最终转化为能力。其质量的高低直接影响学生对数学基础知识和基本技能的掌握，同时也影响学生对基本思想的感悟和基本活动经验的积累，从而影响学生运用数学知识解决实际问题的能力。因此，把握住例题的精髓，彰显解题思路和方法上的典型性和代表性，由知识转化为能力上的示范性和启发性，应该成为初中数学教学的中心。一、精导-揭示本质例 1 若代数式 x2+2x-3 可以表示为(x+1) 2+m(x+1)+n 的形式，则 m-n 的值是 .问题 1：问题中要求什么？（可以分别求出 m、n , 也可以直接求 m-n。 ）问题 2：如果分别求 m、n，这里的 m、n 可以看成什么？（ m、n 是待定系数，可以看成未知数，关键是要得到关于 m、n 的二元一次方程组。 ）问题 3：如何得到关于 m、n 的二元一次方程组？（把条件“代数式 x2+2x-3 可以表示为(x+1) 2+m(x+1)+n 的形式”理解为“x 2+2x-3=(x+1)2+m(x+1)+n”。将(x+1) 2+m(x+1)+n 展开整理得 x2+(2+m)x+1+m+n，所以 x2+(2+m)x+1+m+n=x2+2x-3，所以 ，31mn解得 ，所以 m-n=-4。 ）04mn问题 4：因为 x2+(2+m)x+1+m+n=x2+2x-3，所以 mx=-m-n-4， ，结果x4未能求出 m、n 的值，这是怎么回事？（事实上，条件的本质是“在 x 为任意实数时都有等式成立” ，即是恒等式；也可看成同一个二次函数的两种不同表示形式；只有当所有对应项的系数都相等时才成立，即 时才满足要求。 ）231mn问题 5：将恒等式 x2+2x-3=(x+1)2+m(x+1)+n 的右边展开，则是由繁到简的一种常用变形；如果从左到右思考呢？（事实上，将 x2+2x-3 配方成(x+1) 2-4，条件的本质是“在 x+1 为任意实数时都有等式(x+1) 2-4=(x+1)2+m(x+1)+n 成立” ，则更容易得出。 ）04mn问题 6：还有其他方法得到关于 m、n 的二元一次方程组？（任意给出 x 两个特定的值分别代入两个整式，就得到关于 m、n 的两个方程，如 x=0 和 x=1 代入得。 ）nm13242问题 7：在问题 6 中 x 能否取其它数值？（特殊性寓于一般性之中，一般情形成立的结论特殊情况下一定成立；要说明特殊情形下的结论在一般情形下成立必须经过一般性证明。作为填空题毋庸置疑，但如果作为解答题，则必须进行一般性的验证。 ）问题 8：如何想到直接求 m-n？（在代数式(x+1) 2+m(x+1)+n 中，给定 x 的具体数值就可出现关于 m 与 n 的代数式，如：当 x=0 时有 m+n，当 x=1 时有 2m+n，当 x= 时21有 m+n，。那么怎样才能出现 m-n 呢？因为 m 的系数为(x+1)，n 的系数为 1，要出23现 m-n，m、n 的系数必须是互为相反数，所以 x+1=-1，即 x=-2。当 x=-2 时有（-2）2+2（-2）-3=(-2+1) 2+m(-2+1)+n，化简整理得-3=1-m+n，所以 m-n=4。 ）例题是数学知识的载体，它集知识性、典型性、探索性于一体，更是学生学习数学知识的范例。就题论题，体现不出例题的导向作用和举一反三的效果。例题教学的精导是引导学生经历探索、感悟、反思甚至尝试失败与错误的曲折过程，让学生有感而发、有感而问、有感而究，深入理解例题的本质，逐步优化思路与方法。2、解惑-灵活应用例 2 已知 和 为抛物线 两点，若),(1yxP),(Q2y 0)1(m2xy，且 ，请比较 、 的大小。1x21学生的困惑 1：二次函数的解析式不确定，则相应的函数图像与性质能知道吗？学生的困惑 2：二次函数图像上的点的位置与点的纵坐标的大小有何关系？学生的困惑 3：抛物线对称轴两侧的两个点的纵坐标如何比较大小呢？学生的困惑 4： 、 两点在二次函数图像上的位置能确定吗？),(1yxP),(Q2y学生的困惑 5：抛物线上点的纵坐标即为相应的二次函数值，则能代入解析式先求函数值，再比较大小吗？解析这道题，教师可设置下列问题做铺垫：问题 1：由 ，你能说出哪些结论？12xy生 1：这是一个二次函数，图象是一条开口向下的抛物线。生 2：抛物线的对称轴为直线 x=1。生 3：当 时 y 随着 x 的增大而增大；当 时 y 随着 x 的增大而减小。x 1x问题 2：关于 ，上述性质有变化吗？0)1(m2问题 3：若（-1， ）和 为抛物线 两点，则比较大1y,3 0)(m2xy3小： 。1y2y问题 4：若（-1， ）和 为抛物线 两点，则比较大1),(2y 0)1(m2xy小： 。1y2y生 4：因为 关于对称轴直线 x=1 的对称点 也在抛物线),( ),0(2y上，-12-1，所以点（-1， ）离对称轴直线 x=1 的距离比点离对称轴直线 x=1 的距离远，所以 0，所以 -1y 1y21y0，所以 。2y2教师通过不断创设一定梯度且前后连贯的问题情境，激发学生的思维，获得启发后明晰思路，寻求突破。解法 1：设点 Q 直线 x=1 的对称点为 ，则 ， 。因为),(Q0yx20-x0y，所以 。因为 ，所以 。又因为抛物线的开口21x021-xx211向下，当 时 y 随着 x 的增大而增大，所以 ，即 。 10y2y解法 2：因为 ，所以 。又因为 ，所以点 到2112-xx),(Q2yx对称轴直线 x=1 的距离大于点 到对称轴直线 x=1 的距离，又因为抛物线的开口),(1yxP向下，所以 。21y解法 3：因为 和 的中点的横坐标为 ，又因为 ，),(1x),(Q2y21x21x对称轴直线 x=1，所以中点在对称轴的右侧。又因为 ，所以点 到对1),(Qy称轴直线 x=1 的距离大于点 到对称轴直线 x=1 的距离，又因为抛物线的开口向),(1yxP下，所以 。21y4解法 4：因为 ， ，121mxy 122mxy所以 )()(- 21221 xx ，又因为 ， ，所以 ，)(1xm21x210y即 。21y例题的解析不仅仅是要让学生知道结果，更重要的是教师要在学生感到迷茫的时候，要善于层层剥茧，直接问题要害，让学生看到方向，并让他们找到解决问题的方法。好的问题设计具有较高的数学思维含量，能起到较好的引疑、激疑、释疑作用。一题多解可以从不同角度、不同方位思考问题,是提高分析问题和推理能力的一种极好的思维方法。在设计问题时，要拓展问题的思考空间、增加问题的探究属性，让学生能够多角度、多层次地展开思考，为学生的创新注入动力。3、渗思-深思提能例 3 如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成 3 个正方形和 2 个长方形后仍是中心对称图形若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（ ）A B C D 本题考查的内容有矩形、正方形、中心对称图形的性质，数与式、定值问题，将方程思想、整体思想、数形结合思想、转化思想和平移方法融汇在基本图形中，更多地关注学生的思维能力和创新精神、洞察力，是融 PISA 理念和初中数学思想于一体的典型范例。解法 1：设住房平面图长方形的长为 a，宽为 b，正方形的边长为 x,正方形的边长为 y，从横向考虑有大长方形的长等于 2 个正方形的边长与 1 个正方形的边长的和，从纵向考虑有大长方形的宽等于 2 个正方形的边长与 1 个正方形的边长的差，由这两个等量关系可得关于 x、y 方程组 ，解得 。所以长方形的ayxb42baxy周长为 2（x+y）+（x-y）=4x=a+b，正方形的周长为 4x=a+b，正方形的周长为4y=2(a-b)。所以当给定大长方形的周长时，标号为 的图形周长为定值，故选 A。解法 2：运用转化（平移）的思想，将线段 GN 平移到 DP 处，线段 PE 平移到 NB 处，即 GN=DP，PE=NB，又因为 PE=EH+PH=GH+PH，HAMBNC QDPGFE 5所以长方形的周长=CP+NG+GH+PH+CN=CP+DP+PE+CN=CD+NB+CN=CD+CB；将线段 PH 平移 AQ 处，线段 QF 平移到 PC 处，即 PH=AQ，QF=PC，又因为 QF=QE+EF=QE+EH，所以正方形的周长=DP+QE+EH+PH+DQ=DP+PC+DA=DC+DA；所以标号为 的图形周长均为大长方形的周长的一半，即只知道原住房平面图长方形的周长，分割后 图形不用测量就能知道周长，故选 A。数学思想方法比数学知识更抽象，思想方法的教学是一种数学活动的过程，重在领会应用，学生的参与显得尤其重要。因此，在例题解析时先让学生有自己的切身体验，逐步领悟大长方形的任意性、满足要求的分割的存在性和唯一性以及可操作性，体验特殊的数量关系与位置关系沟通与关联的转化思想和整体思想，体验用字母表示图中有关线段的长度而体现的符号意识和数形结合思想，通过方程思想进行数式的运算是进行数学思考和表达的重要形式，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系，当经验和领悟积累到一定程度，数学方法就会凸现出来。总之，例题教学是数学教学非常关键的一环，不仅关于学生数学概念、定理、性质、公式等知识的掌握和综合运用，更是对学生数学思维方式、思维品质的关键示范。因此教师在教学准备中要认真研究、准确判断和挖掘其功能和价值、进行合理的预设，在例题解析中要充分发挥学生参与活动的主动性，给学生充分的思维活动空间，引导学生进行顺势而思自然得法，要把握例题精髓，重视常规例题解决，强化通性通法提炼，注重对解法的思辨与优化和适度的变式拓展，追求真实、有效的方法，使学生牢固掌握演绎推理的解题方法，深刻感悟数学思想，有效启迪数学研究方法，从而实