2015-2016学年湖南省张家界市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016 学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷（A 卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将所选答案填涂在答题卷中对应位置1已知集合 A=0，1，2，集合 B=0，2，4 ，则 AB=（ ）A0 ，1，2 B0，2 C0，4 D0 ，2，4【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；定义法；集合【分析】利用交集定义求解【解答】解：集合集合 A=0，1，2，集合 B=0，2，4，AB=0，2故选：B【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题2对数型函数 y=logax+1（a0，且 a1）的图象过定点（ ）A （0，0） B （0，1） C （1，2） D （1，1）【考点】对数函数的图象与性质【专题】转化思想；演绎法；函数的性质及应用【分析】根据对数函数必要（1，0）点，结合函数图象的平移变换法则，可得答案【解答】解：对数函数 y=logax（a0，且 a1）的图象过定点（1，0） ，函数 y=logax+1（a0，且 a1）的图象由对数函数 y=logax（a0，且 a1）的图象向上平移一个单位得到，故函数 y=logax+1（a0，且 a1）的图象过定点（1，1） ，故选：D【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键3设函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x） ，f（0）=0 ，则 f（4 ）=（ ）A0 B C2 D4【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】由已知可得函数的周期为 2，进而可得 f（4） =f（2）=f（0） 【解答】解：函数 f（x）满足 f（x+2）=f（x） ，f（ 4）=f（2）=f（0）=0，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数求值，难度不大，属于基础题4用二分法求方程 x32x5=0 在区间2，3上的实根，取区间中点 x0=2.5，则下一个有根区间是（ ）A2，2.5 B2.5，3 C D以上都不对【考点】二分法求方程的近似解【专题】计算题【分析】方程的实根就是对应函数 f（x）的零点，由 f（ 2）0，f（2.5）0 知，f（x）零点所在的区间为2，2.5 【解答】解：设 f（x）=x 32x5，f（2）=10， f（3）=160，f（2.5）= 10= 0，f（x）零点所在的区间为2，2.5，方程 x32x5=0 有根的区间是2，2.5，故选 A【点评】本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号5某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格是某公司前 5 天监测到的数据：第 x 天 1 2 3 4 5被感染的计算机数量 y（台） 12 24 49 95 190则下列函数模型中能较好地反映在第 x 天被感染的数量 y 与 x 之间的关系的是（ ）Ay=12x By=6x 26x+12 Cy=62 x Dy=12log 2x+12【考点】线性回归方程【专题】函数思想；分析法；概率与统计【分析】根据表格中 y 的增长速度进行判断【解答】解：由表格可知，每一天的计算机被感染台数大约都是前一天的 2 倍，故增长速度符合指数型函数增长故选：C【点评】本题考查了不同函数模型的增长速度问题，属于基础题6 的值是（ ）A2 B1 C 2 D1【考点】二倍角的正弦【专题】计算题【分析】原式先利用对数的运算法则计算，再利用二倍角的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可求出值【解答】解：原式=log 2sin cos =log2sin=log222=2故选 C【点评】此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及对数的运算性质，熟练掌握公式是解本题的关键7已知=（1，2） ，= （2，0） ，且 k+与垂直，则 k=（ ）A1 B C D【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】由已知向量的坐标求出 k+的坐标，再由数量积的坐标表示列式求得 k 值【解答】解：= （1，2） ，=（ 2，0） ，k+=k（1，2）+（ 2，0）=（k2，2k） ，由 k+与垂直，得 ，即 1（k2）+2 2k=0，解得： k=故选：C【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，是基础题8将函数 f（x）=sin（2x ）的图象左移 ，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，则所得到的图象的解析式为（ ）Ay=sinx By=sin （4x+ ） Cy=sin （4x ） Dy=sin（x+ ）【考点】正弦函数的图象【专题】三角函数的图像与性质【分析】先由“左加右减” 的平移法则和再将图象上各点横坐标压缩到原来的，即可求出【解答】解：将函数 f（x）=sin（2x ）的图象左移可得 y=sin2（x+ ） ）=sin（2x+ ） ，再将图象上各点横坐标压缩到原来的，可得 y=sin（4x+ ） ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数的平移及周期变换三角函数的平移原则为左加右减上加下减周期变换的原则是 y=sinx 的图象伸长（0 1）或缩短（1）到原理的 可得 y=sinx 的图象9已知幂函数 y=f（x）的图象经过点 ，且 f（ a+1）f （10 2a） ，则实数 a 的取值范围是（ ）A （1， 5） B （ ，3） C （3，+） D （3，5）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用【分析】利用待定系数法求出 y=f（x）的解析式，再利用函数的单调性把不等式 f（a+1）f（10 2a）化为等价的不等式组 ，求出解集即可【解答】解：幂函数 y=f（x）=x 的图象经过点 ，4=，解得 =；f（ x）= ，x0；又 f（a+1）f（10 2a） ， ，解得 3a5，实数 a 的取值范围是（3，5） 故选：D【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及利用函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目10设函数 f（x）定义在 R 上，它的图象关于直线 x=1 对称，且当 x1 时，f（x）=3 x1，则有（ ）A B CD【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质【专题】证明题【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可【解答】解：函数 f（x）定义在 R 上，它的图象关于直线 x=1 对称，且 x1 时函数f（x）=3 x1 为单调递增函数，x 1 时函数 f（x）为单调递减函数，且 f（）=f（）1 ，即故选 B【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法11设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且 f（x+3 ） f（x ）= 1，f （1）= 2，则 f（2015）=（ ）A0 B0.5 C 2 D2【考点】函数奇偶性的性质；函数的值【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用【分析】根据已知可得函数 f（x）是周期为 6 的周期函数，结合函数奇偶性，可得答案【解答】解：f（x+3） f（x）=1，f（ x+3）f（x+6）= 1，f（ x+6）=f（x） ，即函数 f（x）是周期为 6 的周期函数，又 f（1）=2，故 f（2015）=f（1）= f（1）=2 ，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档12ABC 中三个内角为 A、B、C ，若关于 x 的方程 x2xcosAcosBcos2=0 有一根为 1，则ABC 一定是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形【考点】解三角形【专题】计算题【分析】先把 1 代入方程，然后利用余弦的二倍角化简整理，最后利用两角和公式求得cos（A B）=1 推断出 A=B，则可知三角形的形状【解答】解：依题意可知 1cosAcosBcos2=0，cos2= = =1cosAcosB =0，整理得 cos（A B）=1A=B三角形为等腰三角形故选 B【点评】本题主要考查了解三角形和三角形的形状判断解三角形常与三角函数的性质综合考查，应注意积累三角函数的基本公式二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卷中对应题号后的横线上13sin420 = 【考点】运用诱导公式化简求值【专题】三角函数的求值【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解【解答】解：sin420=sin （360 +60）=sin60= 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题14函数 的单调递增区间是 2，+ ） 【考点】函数的单调性及单调区间【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】可求导数，根据导数符号即可判断 f（x）在定义域上为增函数，从而便可得出f（x）的单调递增区间【解答】解： ；f（ x）在定义域2，+）上单调递增；即 f（x）的单调递增区间是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】考查根据导数符号判断函数单调性以及求函数单调区间的方法，清楚增函数的定义，注意正确求导15设向量 ，定义两个向量 之间的运算“ ”为，若向量 ，则向量= （3， 2） 【考点】平面向量的坐标运算【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用【分析】直接利用新定义即可求出【解答】解：向量 ，则向量=（x，y） ，（ x， 2y）=（3，4） ，x=3，y=2，向量 =（ 3，2 ） ，故答案为：（3， 2） 【点评】本题考新定义的应用，以及向量的坐标运算，属于基础题16设函数 f（x）=2cos（x+）对任意的 x 都有 ，若设函数g（x）=3sin（x+ ）1，则 的值是 1 【考点】余弦函数的图象【专题】转化思想；待定系数法；函数的性质及应用【分析】根据 ，得出 x= 是函数 f（x）的一条对称轴，从而求出 的表达式，再函数 g（ x）的解析式以及 的值【解答】解：函数 f（x）=2cos （ x+）对任意的 x 都有 ，x= 是函数 f（x）的一条对称轴，cos（ +）= 1，即 +=k， kZ，=k ，kZ；函数 g（x）=3sin（x+ ） 1=3sin（x+k ）1，kZ； =3sin（ +k ）=3sink1= 1故答案为：1【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的问题注意正余弦函数在其对称轴上取最值，是基础题目三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17已知全集为实数集，集合 A=x|1x4 ，B=x|3x 1x+5（1）求集合 B 及 RA；（2）若 C=x|xa， （ RA）C=C，求实数 a 的取值范围【考点】交、并、补集的混合运算【专题】对应思想；定义法；集合【分析】 （1）化简集合 B，求出集合 A 在 R 中的补集即可；（2）根据交集的定义，计算得出 CRA，再求出 a 的取值范围即可【解答】解：（1）B=x|3x1x+5，B=x|x3， （2 分）又 A=x|1x4，RA=x|x1 或 x4；（5 分）（2）（ RA） C=C，CRA=x|x1 或 x4， （7 分）又 C=x|xa，a1 （10 分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目18已知 ， （1）求 tan 的值；（2）求 的值【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】 （1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求 cos 的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求 tan 的值（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1） ， ，（3 分） ；（6 分）（2）原式= = ，（9 分）= （12 分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19已知函数 f（x）= （1）求 f（1） ，ff（2）的值；（2）若 f（a）=10 ，求实数 a 的值【考点】分段函数的应用；函数的值【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用【分析】 （1）由已知中函数 f（x）= ，将 x=1，x=2 代入计算，可得答案；（2）根据函数 f（x）= ，分类讨论满足 f（a）=10 的 a 值，综合讨论结果，可得答案；【解答】解：（1）函数 f（ x）= （2 分）ff（2） =f（4 ）=10；（6 分）（2） ， （8 分），不合题意，舍去； （10 分）当 a2 时，10log 4a=10，a=4 合题意； （11 分） （12 分）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，难度中档20已知向量与的夹角为 30，且 = ， =1（1）求 ；（2）求 的值；（3）如图，设向量 ，求向量在方向上的投影【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】 （1）直接由已知结合数量积公式求解；（2）利用 ，等式右边展开后代入数量积得答案；（3）由 ，代入投影公式化简即可【解答】解：向量与的夹角为 30，且 = ， =1（1） ；（2） ；（3） ， 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，对于（3）的求解，需要掌握向量在向量方向上的投影的概念，是中档题21已知函数 的部分图象如图所示（1）求函数 f（x）的解析式；（2）当 ， ，若 g（x）=1+2cos2x，求 g（x 0）的值；（3）若 h（x）=1+2cos2x+a，且方程 f（x） h（x）=0 在 上有解，求实数 a 的取值范围【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象【专题】计算题；转化思想；三角函数的图像与性质【分析】 （1）由图求出 A， 的值，可得函数 f（x）的解析式；（2）根据 ， ，求出 x0，代入 g（x）=1+2cos2x，可求g（x 0）的值；（3） （3） ，进而得到答案【解答】解：（1）由图知 A=2， （解法只要合理，均可给分） （1 分）， （2 分）f（ x）=2sin （2x+ ） ， ， ， ， （3 分） ； （4 分）（2） ， （6 分）； （8 分）（3） ， （