2.2.1　用样本的频率分布估计总体分布(2) 学案（人教a版必修三）

2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布(二)【明目标、知重点】1了解频率折线图和总体密度曲线的定义2理解茎叶图的概念，会列频率分布折线图、茎叶图3了解频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，会选择上述方法分析样本的分布做出总体估计【填要点、记疑点】1频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图(2)总体密度曲线随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比2茎叶图(1)适用范围：当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好(2)优点：它不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，给数据的记录和表示都带来方便(3)缺点：当样本数据较多时，枝叶就会很长，茎叶图就显得不太方便【探要点、究所然】探究点一 频率分布折线图、总体密度曲线的概念思考 1 如下图，在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，各组数据的平均值大致是哪些数？答 大致是这些小长方形下端的中点的横坐标，即0.25，0.75，1.25,1.75,2.25,2.75,3.25,3.75,4.25.思考 2 在频率分布直方图中，依次连接各小长方形上端的中点，就得到一条折线，这条折线称为频率分布折线图，你认为频率分布折线图能大致反映样本数据的频率分布吗？答 由于折线图是取了长方形上端的中点，即每一组数据平均值对应的频率，所以能大致反映样本数据的频率分布思考 3 当总体中的个体数很多时(如抽样调查全国城市居民月均用水量) ，随着样本容量增加，作图时所分的组数增多，组距减少，你能想象出相应的频率分布折线图会发生什么变化吗？答 由于组数的增多，组距减少，长方形上端中点的数量增多，且相距越近，各相邻长方形上端中点的折线越短，折线变得近似于曲线思考 4 在上述背景下，相应的频率分布折线图越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线那么下图中阴影部分的面积有何实际意义？答 图中阴影部分的面积，就是总体在区间(a，b) 内的取值的百分比思考 5 对于一个总体，如果存在总体密度曲线，能否通过样本数据准确地画出总体密度曲线？为什么？答 不能由于频率分布折线图是随着随机抽取的样本、样本的容量和分组情况的变化而变化的，因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线探究点二 茎叶图问题 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39；乙运动员得分：49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39.思考 1 你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？答 中间的数字表示得分的十位数，旁边的数字分别表示两个人得分的个位数从图中看出乙运动员的发挥更稳定思考 2 在统计中，思考 1 中的图叫做茎叶图，它也是表示样本数据分布情况的一种方法，那么“茎” 、 “叶”分别指的是哪些数？答 茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数小结 茎叶图的定义：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图思考 3 一般地，画出一组样本数据的茎叶图的步骤如何？答 第一步，将每个数据分为“茎”(高位) 和“叶”(低位)两部分；第二步，将最小的茎和最大的茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右) 侧；第三步，将各个数据的叶按次序写在茎右(左) 侧思考 4 你认为用茎叶图表示数据的分布情况有哪些优点？又有什么缺陷？答 优点：(1)保留了原始数据，没有损失样本信息；(2)数据可以随时记录、添加或修改；(3)可以帮助分析样本数据的大致频率分布，还可以用来分析样本数据的一些数字特征缺陷：茎叶图只方便记录两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观、清晰例 1 某中学甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下：甲的得分：95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107；乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.画出两人数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图对两人的成绩进行比较解 甲、乙两人数学成绩的茎叶 图如图所示从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分情况是大致对称的，中位数是 98 分；甲同学的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是 88 分，但分数分布相对于乙来说，趋向于低分阶段因此乙同学 发挥比较稳定， 总体得分情况比甲同学好反思与感悟 茎叶图和频率分布表极为类似，事 实上，茎相当于频率分布表中的分组；茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频率跟踪训练 1 下面是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图，据下图可知( )A.甲运动员的成绩好于乙运动员B乙运动员的成绩好于甲运动员C甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异D甲运动员的最低得分为 0 分答案 A解析 从茎叶图上看，由于甲运 动员的成绩多数集中在 31 以上，而乙运 动员的成绩集中在 12 到 29 之间，所以甲运 动员成绩较好例 2 甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是 x 甲 ，x 乙 ，则下列正确的是( )A.x 甲 x 乙 ；乙比甲成绩稳定Bx 甲 x 乙 ；甲比乙成绩稳定Cx 甲 4 不合题意【当堂测、查疑缺】1.如图是总体密度曲线，下列说法正确的是 ( )A组距越大，频率分布折线图越接近于它B样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C阴影部分的面积代表总体在(a，b)内取值的百分比D阴影部分的平均高度代表总体在 (a，b)内取值的百分比答案 C2若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )A.91.5 和 91.5 B91.5 和 92C91 和 91.5 D92 和 92答案 A解析 87 89 90 91 92 93 94 96 的中位数 91.5，91 922平均数 91.5.87 89 90 91 92 93 94 9683随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图根据茎叶图判断_班的平均身高较高答案 乙解析 由茎叶图可知：甲班身高集中于 160179 之间，而乙班身高集中于 170180 之间因此乙班平均身高高于甲班4甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为_和_答案 24 23解析 甲 (1022053031767) 24，x110乙 (10320430317112) 23.x110【呈重点、现规律】1总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图2茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据构成，没有