ch4_4双线性变换法

数字信号处理(Digital Signal Processing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地vIIR数字滤波器设计的基本思想数字滤波器设计的基本思想v模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器设计v模拟域频率变换模拟域频率变换v脉冲响应不变法脉冲响应不变法v双线性变换法双线性变换法vIIR数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构v利用利用 MATLAB设计设计 IIR DF双线性变换法双线性变换法问题的提出问题的提出双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理 双线性变换法设计双线性变换法设计 DF的的 步骤步骤双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法问题的提出问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器 ?1. 脉冲响应不变法脉冲响应不变法2. 双线性变换法双线性变换法Wp,Ws p,s H(s) H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到 DF的转换双线性变换法双线性变换法问题的提出问题的提出采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法DF的频谱有混叠的频谱有混叠解决方法解决方法采用双线性变换法采用双线性变换法上节例题上节例题 利用 AF-BW filter 及脉冲响应不变法设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-18-16-14-12-10-8-6-4-20Normalized frequencyGain,dBAs = 14.2dB双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高频率为的带限模拟滤波器率为的带限模拟滤波器 模拟频率与数字频率的关系为 双线性变换法双线性变换法s域到域到 z域的映射关系域的映射关系 双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理双线性变换 双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理稳定性分析稳定性分析令 s=+j， 则有双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理稳定性分析稳定性分析1) 0, |z|1S域虚轴映射到 z域单位圆上S域右半平面映射到 z域单位圆外因果因果 、 稳定的稳定的 AF系统映射为因果系统映射为因果 、 稳定的稳定的 DF系统系统双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理W和和 的关系的关系)2/tan(2 W=TWp)( WjeH)( jHpW sWWps双线性变换法双线性变换法双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点 缺点：缺点： 幅度响应不是常数时会产生幅度失真 优点：优点： 无混叠双线性变换法双线性变换法双线性变换法设计双线性变换法设计 DF的的 步骤步骤1. 将数字滤波器的频率指标 Wk转换为模拟滤波器的频率指标 k 2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的 H(s)。3. 利用双线性变换法，将 H(s)转换 H(z)。双线性变换法双线性变换法双线性变换法设计双线性变换法设计 DF的的 步骤步骤Wp,Ws p,s H(s) H(z)设计模拟滤波器双线性变换numd,dend = bilinear(num,den,Fs)num,den： AF分子、分母多项式的系数向量Fs： 抽样频率numd,dend： DF分子、分母多项式的系数向量利用 MATLAB例例 : 利用 BW 型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=p/3， Ap=3dB， N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的 DF比较。解：解： 设双线性变换中的参数为 T(1) 将 DF的频率指标转换为 AF的频率指标(2) 设计 3dB截频为 p的一阶 BW 型 模拟低通滤波器，即N=1, c = p故例例 : 利用 BW 型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=p/3， Ap=3dB， N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的 DF比较。解：解： 设双线性变换中的参数为 T(3) 用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 结论：结论： 参数 T的取值和最终的设计结果无关。 为简单起见，一般取 T=2 例例 : 利用 BW 型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=p/3， Ap=3dB， N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的 DF比较。解：解：双线性变换法设计的 DF的系统函数为脉冲响应不变法设计的 DF的系统函数为令 z=ejW ，可 分别获得两者的幅度响应。例例 : 利用 BW 型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=p/3， Ap=3dB， N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的 DF比较。脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的 DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的 DF满足给定指标。3dB例例 : 利用 BW 型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=p/3， Ap=3dB， N=1的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的 DF比较。H双 (z)和 H脉 (z)幅度响应比较的 MATLAB实现Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1 -exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2) tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1) );xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 解：解： (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标 ，取 T=2 Ap2db, As15db (2) 设计模拟低通滤波器 （ BW 型）=2 =0.585 1 例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 解：解：(3) 用 双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB %Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15;T=2;Fs=1/T; %Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(wp,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB %determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h);axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10( abs(h(1);fprintf(As= %.4fn,-20*log10( abs(h(2);例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB Ap= 0.3945As= 15.0000例：例： 利用 AF-BW filter 及 双线性变换法 设计一 DF， 满足Wp=0.2p, Ws=0.6p, Ap2dB, As15dB 将 双线性变换法与脉冲响应不变法所 设计 DF的结果比较。双线性变换Ap= 0.3945As= 15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变Ap= 1.1187As= 12.3628双线性变换法双线性变换法非低通非低通 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计Wp,Ws p,sH(z) =W/T脉冲响应不变法双线性变换法 H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器 复频率变换注意：注意：脉冲响应不变法不能设计高通高通 和 带阻带阻 数字滤波器方法一方法一双线性变换法双线性变换法非低通非低通 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计方法二方法二Wp,WsH(z) =W/T脉冲响应不变法双线性变换法数字频率变换设计原型低通滤波器z域变换例：例： 试设计满足下列指标的 BW 型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。解解 :脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。 (1) 将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标 取 T=2， 利用 得模拟带阻指标为p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=1rad1,Ap1dB, As 10dB 例：例： 试设计满足下列指标的 BW 型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s, As 10dB 。解解 :(2) 将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标 Ap1dB, As 10dB p1=6rad, p2=13rad, s1=9rad, s2=1rad1,Ap1dB, As 10dB 模拟带阻指标例：例： 试设计满足下列指标的 BW 型数字带阻滤波器Wp1=2.8113rad/s, Wp2=2.9880rad/s, Ap1dB , Ws1=2.9203rad/s, Ws2=2.9603rad/s,