图书销售点模型

图书销售点选择模型姓名:赵虎 班级:08 应数(2) 学号: 0807022015摘要: 在出版社向七个区建立两个销售点且每个销售点只能向本区和一个相邻区售书的条件下，建立 0-1 规划模型得到要使供应的大学生数量最大，两个销售点应该建在 56 千人区和 71 千人区的最优结果。关键词:01 线性规划 最优解 bintprog 函数正文1 问题复述一家出版社准备在某市建立两个图书销售代理点,向七个区大学生供应图书,每个区的大学生数量不同, 且每个代理点只能向本区和一个相邻区的大学生售书,每个区的大学生数量及位置如图所示, 这两个销售点应该建在何处, 才能使所能供应的大学生数量最大。 图 1 七个区大学生人数分布2 问题分析要想选择两个合适的销售点使得售书的覆盖人群达到最大,选择合适的销售点就是本问题的关键所在。要在许多候选区域中选择最优的区域,就要制定最优的规划方案,即建立优化模型, 。每个地区都有选与不选的可能性, 这就要用到 01 规划模型,每个区域只能选择一个销售代理点,最优方案就是选择每个相邻销售点之间权值最大和次大的两个,将此方案限制转化成约束条件, 建立目标函数 ,求最优解即可。3 模型假设建立模型之前需对该地区做如下假设:3.1 选择销售点时,只考虑该地区及相邻地区的人数,对人员的迁入迁出,人员的消费能力,人们的需求均不予考虑。3.2 只有两个销售点,且每个销售点只能向该区和其邻近的区售书。3.3 书的供应量远远满足学生的需求。3.4 销售点对两个区学生的售书价格相同。3.5 不考虑临区学生因路程远近而减少买书的因素。3.6 售书多少与学生人数多少成正比,且人人消费能力相同。4 符号说明及名词定义 对目标函数出现的变量做如下定义:4.1 将大学生数量为 34,29,42,21,56,18,71 的去分别标号为 A,B,C,D,E,F,G。4.2 令 , , , , , , , , , , 分别表示 AB,AC,BE,BD,CD, DG,DF,DE,EF,FG,BC1x2345x6789x10地区之间建立代售关系。4.3 Q 表示所能供应的大学生数量的最大值。4.4 f 表示目标函数值 Q 的相反数, 即 f=-Q。图 2 七个区之间的相邻关系图5 模型建立决策变量：设在 ABCDEFG 中的某两地之间代售关系 。ix(1,2.)=1 表示在其建立代售关系， =0 表示没有建立代售关系。ixi决策目标: 以供应的大学生数量最大为目标可得12345678910163785092347Qxxxx约束条件：只能建立两个销售点： 123456789102每个代理点只能向本区和一个相邻区售书，则与每个区建立代售关系的约束条件为：与 A 建立代售关系： 1x2与 B 建立代售关系： 341x与 C 建立代售关系： 2x5与 D 建立代售关系： 467x8与 E 建立代售关系： 3x891与 F 建立代售关系： 70与 G 建立代售关系： 6x1另外变量 或 ;0ii(,2.)即求如下规划模型的解：12345678910163785092347MaxQxxxxxs.t. 123456789102x1341x2x5467x83x891706x1,i(,2.1)i6 模型求解在 matlab 7.0 软件中输入如下代码:f=-63,76,85,50,63,92,39,77,74,89,71;A=1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1;1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0;1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1;0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1;0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0;0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0;0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0;0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0;b=2;1;1;1;1;1;1;1;x,Fval=bintprog(f,A,b)因为 matlab 软件中的 bintprog 函数求解的是目标函数的最小值，所以要将所求最大值的目标函数乘以-1,转化为求最小值,将程序运行的结果值再乘以-1 即可得到目标函数的最大值。 运行上述程序可得如下结果:Optimization terminated。x =00100100000Fval =-177即 = =1, = = = = = = = = =0 , f=-177 ;3x612x4578x910x则可在 B、E 和 D、G 之中选择两个作为代售点，在 B、E 地区中人数较多的为 E 区 56千人，在 D、G 地区中人数较多的为 G 区 71 千人，所以两个销售代理点最好建在 E 区和 G区。又因 f=-177,故 Q=177,即所能供应的大学生数量的最大值为 177 人;7 模型检验把两个销售代理点建在 E 区和 G 区，B、E、D 、G 四个区的总人数为 177 人，符合上述模型最优解的值，随机选择其他两个区，把相邻的区域人数加起来得到的总和的值都小于 177 人，验证了此模型结果的正确性。8 模型应用在大学的几个人数不同的区中正确选择几个有限的销售点，可以使书店销售代理点卖出的书最多，从而能使商人们获得最大的利润。要正确选择最优的销售点，就要建立优化模型设计一个合理有效的投资方案。本模型合理运用 01 整数规划模型求得相邻区域间权值最大和次大的两个点，从而得到了最优的两个区域，进而解决了如何有效建立图书销售点的问题。9 参考文献1姜启源，谢金星.数学模型（第三版）M. 北京：高等教育出版社， 2003-8.2万福永，戴浩晖.数学实验教程（matlab 版）M. 北京：科学出版社， 2006-11.3 xiaochaoszh. 关于图书销售点选择的探讨 J/OL.网址：/view/9df9fbfef705cc1755270