数值分析最佳习题含答案

2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编1第一章 绪论姓名 学号 班级 习题主要考察点：有效数字的计算、 计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。1 若误差限为 ,那么近似数 0.003400 有几位有效数字？（有效数字的计算）510.解： ，2*34x 325*101x故具有 3 位有效数字。2 具有 4 位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）159.解： ，欲使其近似值 具有 4 位有效数字，必需100 *， ，即4*2 331022 14209.34109.*3 已知 ， 是经过四舍五入后得到的近似值，问 ， 有几位3.a978.b ba有效数字？（有效数字的计算）解： ， ，而 ，3*1022*1018.2ba176.2130)()( baba故 至少具有 2 位有效数字。 2123* 065.102978.)( 故 至少具有 2 位有效数字。ba4 设 ， 的相对误差为 ，求 的误差和相对误差？（误差的计算）0xxln解：已知 ，则误差为 * *x则相对误差为 * lnln1lnxx5 测得某圆柱体高度 的值为 ，底面半径 的值为 ，已知hcm20rcm5*， ，求圆柱体体积 的绝对误差限与相对误差cmh2.0|*r1.|*hv2限。（误差限的计算）解： *2*2),(),( rrhrhvr 绝对误差限为 25.051.055,0( 22008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编2相对误差限为 %42015)5,20(, 2vrh6 设 的相对误差为 ,求 的相对误差。（函数误差的计算）x%anxy解： ，* )(* naxn7 计算球的体积，为了使体积的相对误差限为 ，问度量半径 时允许的相对误差限为多%1r大？（函数误差的计算）解：球体积为 ，34)(rrv3*4)(rv欲使 ，必须 。13)( *2* rrr %31*r8 设 ，求证：10dxeInn（1） )2,(1I（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）解： 11010110 nxnxnxnxnn IdedeedeI 1110)(Ix如果初始误差为 ，若是向前递推，有*00I 022111* !)1()1()()( nnnnInn 可见，初始误差 的绝对值被逐步地扩大了。0如果是向后递推 ，其误差为nnII1 n !)1(21)()()( 1*110 可见，初始误差 的绝对值被逐步减少了。n2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编3第二章 插值法姓名 学号 班级 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的 计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1 已知 ，求 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值）1)2(,)1,2)(fff )(xf解法一（待定系数法）：设 ，由插值条件，有cbaxL124cba解得： 。3/4,/,6/故 。2)(xxL解法二（基函数法）：由插值条件，有 1)2(1)2(1)(1)( xx323x4622 已知 ，用线性插值求 的近似值。（拉格朗日线性插值）9,10xy 7解：由插值节点与被插函数，可知， ， ，其线性插值函数为240y391y5634924)( xxL的近似值为 。7.157)(3 若 为互异节点，且有,.10(njx )()()() 1110 njjjjjjjj xxxxl 试证明 。 （拉格朗日插值基函数的性质）,.)(0 nklnjjk解：考虑辅助函数 ，其中， ， 。nj kjkxlxF0)()( nk0),(x2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编4是次数不超过 的多项式，在节点 （ ）处，有)(xFnixn0)()(0 kiikiikij iijki lxl这表明， 有 n+1 个互异实根。)(xF故 ，从而 对于任意的 均成立。0nj kjkxl0)( nk04 已知 ，用抛物线插值计35274.06.si,3487.si,314567.2.si 算 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值）670n解：由插值条件，其抛物线插值函数为 314567.0).32.0)(4.(6) xxL8.).)(3.0(35274.0)6.)(2.(4x将 代入，计算可得： 。370x 30.)6.(L其余项为： 其中， )6.(4.32.0!sin)( xxr 36.02.)6.)(4.32.061)( xr故误差的上界为：。7104.2)36.07.)(3407.)(67.()7.( r5 用余弦函数 在 ， ， 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插xcos01x2值多项式, 并近似计算 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉6格朗日二次插值）解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为 0)4/2)(0/(21)/)(0/(1)2/0)(4/() xxxxL2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编522 )/(8)/)(4/(8xx 850.924)/6(/)/6)(/()6 22 L绝对误差为： 13.183943)(cos L相对误差为： 079.2849)6(L余项为：，其中，)2/)(4/(!3sin)(xxr 2/0其余项的上界为： )/(4/61xr0239.)2(461)( 43r比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值 ，求函数的四阶均21)6(,8)4(,6)(,1)(,)0( fffff差 和二阶均差 。（均差的计算）6,431,f 34解：采用列表法来计算各阶均差，有x y 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差0 61 10 43 46 18 14/34 82 36 6 1/36 212 65 29/3 11/15 1/15从表中可查得： 。156,430fx y 一阶均差 二阶均差4 821 10 72/33 46 18 6故 。其实，根据均差的对称性， ，该值在第一个表6,f 4,31,4ff中就可以查到。2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编67 设 求 之值，其中 ，而节点)()()(10nxxxf 1,0pxf 1np互异。（均差的计算）,10ni解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有 pi pipiiiiiii xxxxxfxf0 111101,0 )()()( 而 ，故 。)(if0,pf8 如下函数值表 x0 1 2 4)(f1 9 23 3建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解：先构造均差表x f(x) 一阶均差 二阶均差 三阶均差0 11 9 82 23 14 34 3 -10 -8 -11/4故 。)2(14)(8)( xxxN9 求一个次数小于等于三次多项式 ，满足如下插值条件： ， ，)p2)1(p4)(， 。（插值多项式的构造）3)2(p12)(解法一（待定系数法）：设 ，则dcxbax23)(，由插值条件，有cbax)(2123927418dcba解得： 。6,5,故 )(23xxp2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编7解法二（带重节点的均差法）：据插值条件，造差商表x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商1 22 4 22 4 3 13 12 8 5 2故 6159)()(1)()( 3 xxxxxp10 构造一个三次多项式 ，使它满足条件)(H（埃尔米特插值）。)(,)2(,0)1(,)0( HH解：设 ，dcxbax3 cbxax23利用插值条件，有 123480cbadd解得： 。1,4,)(23xxH11 设 。(1)试求 在 上的三次埃尔米4/9,14/,20f )(xf4/9,1特插值多项式 ，使得 ， 以升幂形)(x ),210),(fHjxfHj (x式给出。(2)写出余项 的表达式。（埃尔米特插值及其余项的计算）。R解： ， ， ， ，81)4(f)(f827)49(f 213)(xf 3)(f设 ，dcxbaxH23 cbaxH223387491687114cbadc2008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编8解得： ， ， ， 。2514a063b452c1d故 。)(xxH，其中， 。)49(1)4(128325xR 49112 若 ，试证明： 0,)bfafcf（插值余项的应用）|)(|mx8|( |max2bab 解：以 为插值条件，作线性插值多项式，有0)ff 0)()( fabaxL其余项为 )(!2)()( bxafxffR故 。)(max)(81)ma21ax 2fbbxb 13 设 求 使 ；,(,)0(,)(fff (xp,10ifi又设 ，则估计余项 的大小。（插值误差的估计）M| )fr解：由插值条件，有 241cba解得：1/38c从而 148)(2xxp其余项为 )2,()2(!3)()()( xffr MxMx7389164632008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编9第三章 函数逼近姓名 学号 班级 习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1 设 ，求 于 上的线性最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）xfsin)()(f1,0解： ,1pa， ，),(01dx2),(1021xd31),(102dx，sin),(01f 1sincosin),( 02102 xxf法方程组为 13212a解得： ，102线性最佳平方逼近多项式为： 。2*2 令 ，且设 ,求 使得 为 于 1,)(xexf xap10)(10)(xpf1,上的最佳平方逼近多项式。（最佳平方逼近）解： ,span， ，2),(11dx0),(121xd32),(12dx，11),(efx112),(efx法方程组为 12130ea解得： ，)(1132线性最佳平方逼近多项式为： 。xexp3)(12008 信息与计算科学专业计算方法习题参考解答 江世宏编103 证明：切比雪夫多项式序列 )arcos()(xkxTk在区间 上带权 正交。（正交多项式的证明）1,21/解：对于 ，有ldxkxlxTkl )arcos()arcos(1),(2 002 )cos()in()(cs dt