《概率论与数理统计》习题及答案

概率论与数理统计第1页（共57页）概率论与数理统计第一部份习题第一章概率论基本概念一、填空题1、设A，B，C为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为。2、设，且A与B互不相容，则。0,10BPBP3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为。4、某人射击的命中率为07，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为。5、某市有50的住户订晚报，有60的住户订日报，有80的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为。6、设A，B为两事件，则。30,70BAPBAP7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为。8、设A，B为两事件，则。2,59、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为。10、将一骰子独立地抛掷2次，以X和Y分别表示先后掷出的点数，10YXA，则。YXB|ABP11、设是两事件，则的差事件为。A,12、设构成一完备事件组，且则，C,70,5BPCABP。13、设与为互不相容的两事件，则。B,|A14、设与为相互独立的两事件，且，则。A407概率论与数理统计第2页（共57页）15、设是两事件，则。BA,360,90ABPBAP16、设是两个相互独立的事件，则。,4217、设是两事件，如果，且，则,20,7|。18、设，则。21,41,3BAPAPBAP19、假设一批产品中一、二、三等品各占60，30，10。从中随机取一件，结果不是三等品，则为一等品的概率为20、将个球随机地放入个盒子中，则至少有一个盒子空的概率为。NN二、选择题1、设，则下列成立的是0ABPA和B不相容A和B独立0BORPAAPB2、设是三个两两不相容的事件，且，则的最大值C,AC为1/211/31/43、设A和B为2个随机事件，且有，则下列结论正确的是1|ABCPPC1BPA4、下列命题不成立的是BABA5、设为两个相互独立的事件，则有（）,0,P01BPA|A1|AB|BP6、设为两个对立的事件，则不成立的是（）,概率论与数理统计第3页（共57页）0011BPA|A|BAPABP7、设为事件，则有（）,A和B不相容A和B独立A和B相互对立8、设为两个相互独立的事件，则为（）,0,PBAP111P9、设为两事件，且，则当下面条件（）成立时，有BA,A3070与独立与互不相容与对立不包含BABAB10、设为两事件，则表示（）,必然事件不可能事件与恰有一个发生与不同时发生11、每次试验失败的概率为，则在3次重复试验中至少成功一次的概率为10P（）13P313213PC12、10个球中有3个红球7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人一球，则最后三个分到球的小朋友中恰有一个得到红球的概率为（）103C210213073102713、设，则下列结论成立的是（）8|,7,8BAPAP与独立与互不相容BBPA14、设为三事件，正确的是（）C,1ABP1PAB15、掷2颗骰子，记点数之和为3的概率为，则为（）P1/21/41/181/36概率论与数理统计第4页（共57页）16、已知两事件的概率都是1/2,则下列结论成立的是（）BA,1P1BAPABP2117、为相互独立事件，则下列4对事件中不相互独立的是（）C,0C与与与与BAC18、对于两事件，与不等价的是（）,BAAB19、对于概率不为零且互不相容的两事件，则下列结论正确的是（）,与互不相容与相容ABABPAAP三、计算题1、某工厂生产的一批产品共有100个，其中有5个次品。从中取30个进行检查，求次品数不多于1个的概率。2、某人有5把形状近似的钥匙，其中有2把可以打开房门，每次抽取1把试开房门，求第三次才打开房门的概率。3、某种灯泡使用1000小时以上的概率为02，求3个灯泡在使用1000小时以后至多有1个坏的概率。4、甲、乙、丙3台机床加工同一种零件，零件由各机床加工的百分比分别为45，35，20。各机床加工的优质品率依次为85，90，88，将加工的零件混在一起，从中随机抽取一件，求取得优质品的概率。若从中取1个进行检查，发现是优质品，问是由哪台机床加工的可能性最大。6、某人买了三种不同的奖券各一张，已知各种奖券中奖的概率分别为CBA,；并且各种奖券中奖是相互独立的。如果只要有一种奖券中奖则此人一定02,13赚钱，求此人赚钱的概率。7、教师在出考题时，平时练习过的题目占60，学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为95，平时没有练习过的题目在考试时答对的概率为30。求答对而平时没有练习过的概率8、有两张电影票，3人依次抽签得票。求每个人抽到电影票的概率。9、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。概率论与数理统计第5页（共57页）10、一批产品的次品率为01，现任取3个产品，问3个产品中有几个次品的概率的可能性最大。11、有5个除颜色外完全相同的球，其中三个白色，两个红色。从中任取两个，（1）求这两个球颜色相同的概率；（2）两球中至少有一红球的概率。12、设是两个事件，用文字表示下列事件。BA,BAA,13、从1100这100个自然数中任取1个，求（1）取到奇数的概率；（2）取到的数能被3整除的概率；（3）取到的数能被6整除的偶数。14、对次品率为5的某箱灯泡进行检查，检查时，从中任取一个，如果是次品，就认为这箱灯泡不合格而拒绝接受，如果是合格品就再取一个进行检查，检查过的产品不放回，如此进行五次。如果5个灯泡都是合格品，则认为这箱灯泡合格而接受，已知每箱灯泡有100个，求这箱灯泡被接受的概率。15、某人有5把形状近似的钥匙，其中只有1把能打开他办公室的门，如果他一把一把地用钥匙试着开门，试过的钥匙放在一边，求（1）他试了3次才能打开他办公室的门的概率；（2）他试了5次才能打开他办公室的门的概率16、10个塑料球中有3个黑色，7个白色，今从中任取2个，求已知其中一个是黑色的条件下，另一个也是黑色的概率。17、装有10个白球，5个黑球的罐中丢失一球，但不知是什么颜色。为了猜测丢失的球是什么颜色，随机地从罐中摸出两个球，结果都是白色球，问丢失的球是黑色球的概率。18、设有三只外形完全相同的盒子，号盒中装有14个黑球，6个白球；号盒中装有5个黑球,25个白球；号盒中装有8个黑球，42个白球。现从三个盒子中任取一盒，再从中任取一球，求（1）取到的球为黑色球的概率；（2）如果取到的球为黑色球，求它是取自号盒的概率。19、三种型号的圆珠笔杆放在一起，其中型的有4支，型的有5支，型的有6支；这三种型号的圆珠笔帽也放在一起，其中型的有5个，型的有7个，型的有8个。现在任意取一个笔杆和一个笔帽，求恰好能配套的概率。20、有两张电影票，3人依次抽签得票，如果第1个人抽的结果尚未公开，由第2个人抽的结果去猜测第1个人抽的结果。问如果第2个人抽到电影票，问第1个人抽到电影票的概率。21、甲、乙、丙、丁4人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为02,03,04,07,求此密码能译出的概率是多少。22、袋中10个白球，5个黄球，10个红球，从中取1个，已知不是白球，求是黄球的概率。23、设每次试验事件发生的概率相同，已知3次试验中至少出现一次的概率为AA19/27，求事件在一次试验中出现的概率。24、甲、乙、丙3台机床独立工作，由1个人看管，某段时间甲、乙、丙3台机床不需概率论与数理统计第6页（共57页）看管的概率分别为09，08，085，求在这段时间内机床因无人看管而停工的概率。25、一批产品共有100件，对其进行检查，整批产品不合格的条件是在被检查的4件产品中至少有1件废品。如果在该批产品中有5是废品，问该批产品被拒收的概率是多少。26、将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的个数的最大值为2的概率。27、甲、乙2班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女同学15名，求碰到甲班同学时，正好碰到女同学的概率。28、一幢10层的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。电梯在每一层都停，乘客在第二层起离开电梯。假设每位乘客在哪一层离开是等可能的，求没有2位及2位以上乘客在同一层离开的概率。29、某种动物由出生到20岁的概率为08，活到25岁的概率为04，问现在20岁的动物活到25岁的概率为多少30、每门高射炮（每射一发）击中目标的概率为06，现有若干门高射炮同时发射（每炮射一发），欲以99以上的概率击中目标，问至少需要配置几门高射炮31、电路由电池A与2个并联的电池B和C串联而成，设电池A，B，C损坏的概率分别为02，03，03，求电路发生间断的概率。32、袋中10个白球，5个黄球，从中不放回地取3次，试求取出的球为同颜色的球的概率。33、假设目标在射程之内的概率为07，这时射击的命中率为06，试求两次独立射击至少有一次击中的概率。34、假设某地区位于甲乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某段时期内甲河流泛滥的概率为01，乙河流泛滥的概率为02，当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为03，求（1）该时期内这地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率。35、甲、乙、丙3人同向飞机射击。击中飞机的概率分别为04，05，07。如果有1人击中，则飞机被击落的概率为02，如果有2人击中，则飞机被击落的概率为06，如果有3人击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。36、一射手命中10环的概率为07，命中9环的概率为03，求该射手3发子弹得到不小于29环的概率。38、甲、乙2名乒乓球运动员进行单打比赛，如果每赛局甲胜的概率为06，乙胜的概率04，比赛既可采用三局两胜制，也可采用五局三胜制，问采用哪种比赛制度对甲更有利。39、有2500人参加人寿保险，每年初每人向保险公司交付保险费12元。若在一年内死亡，则其家属可以从保险公司领取2000元。假设每人在一年内死亡的概率都是0002，求保险公司获利不少于10000元的概率。40、在12名学生中有8名优等生，从中任取9名，求有5名优等生的概率。41、特色医院接待患者的比例为K型50，L型30，M型20，对应治愈率为07，08，09，一患者已治愈，问他属于L型的概率42、某人从甲地到乙地，乘火车、轮船、飞机的概率分别为02，04，04，乘火车迟到概率论与数理统计第7页（共57页）的概率为05、乘轮船迟到的概率为02、乘飞机不会迟到。问这个人迟到的概率；又如果他迟到，问他乘轮船的概率是多少43、一对骰子抛掷25次，问出现双6和不出现双6的概率哪个大44、一副扑克（52张），从中任取13张，求至少有一张“A”的概率45、据以往资料表明，某三口之家，患某种传染病的概率有以下规律。孩子得病的概率为06，孩子得病下母亲得病的概率为05，母亲及孩子得病下父亲得病的概率为04，求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。46、某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随机地拨号。求他拨号不超过3次的概率；若已知最后一位数字为奇数，此概率是多少47、某场战斗准备调甲、乙两部队参加，每支部队能按时赶到的概率为，若只有一支部队参加战斗，则取胜的概率为04；若两部队参加战斗，则必胜；若两部队未能按时赶到则必败。欲达09以上的概率取胜，求的最低值。48、工人看管三台设备，在1小时内每台设备不需要看管的概率均为08，求（1）三台设备均不需要看管的概率；（2）至少有一台设备需要看管的概率；（3）三台设备均需要看管的概率。四、证明题1、假设我们掷两次骰子，并定义事件“第一次掷得偶数点”，“第二次掷得奇AB数点”，“两次都掷奇数点或偶数点”，证明A，B，C两两独立，但A，B，C不C相互独立。2、设每次试验发生的概率，“次独立重复试验中至少出现一次A10,PN”证明1NNPLIM3、设，证明,PBX,DXE4、证明，如果，则|AB|BP5、当时，证明BPAA,BA1|6、证明，则01|APB7、设三事件相互独立，则与相互独立。CB,C8、设，则AI3,21I2321概率论与数理统计第8页（共57页）9、已知同时发生，则发生，证明21,A121AP10、10个考签中有4个难签，3人依次抽签参加考试，证明3人抽到难签的概率相等。11、设A，B为两事件，证明BABP12、证明如果与独立，则与独立、与独立、与独立13、如果，证明与独立的充分必要条件是0P|PA第二章随机变量及其分布一、填空题1、设随机变量X的分布律为，则。0,21KAPA2、设随机变量X服从参数为1/3的01分布，则X的分布函数为。3、设随机变量，则。,4XN4、设随机变量X的分布律为，则。0,2,NKAPA5、设随机变量X服从0,1区间上的均匀分布，则随机变量的密度函数为。2XY6、随机变量X的密度函数为，则。812XEFK7、随机变量X的密度函数为则。,4N8、若，则。2112,1XXPXP21XXP9、设离散型随机变量的分布函数为BAXF32021X且，则，。1XP10、设连续型随机变量的密度函数为则X02XKEF概率论与数理统计第9页（共57页），。K21XP2XP11、设5个晶体管中有2个次品，3个正品，如果每次从中任取1个进行测试，测试后的产品不放回，直到把2个次品都找到为止，设为需要进行测试的次数，则3XP。12、设为离散型随机变量的分布函数为，若，XFAFBXAP则。BXP13、一颗均匀骰子重复掷10次，设表示点3出现的次数，则的分布律XKXP。14、设为连续型随机变量，且，且，75029PY1250Y则。K15、设随机变量服从POISSON分布，且，则X2XP1。16、连续型随机变量为，则22461XEXFCCDXFFC。17、设为分布函数，为分布函数，则,21FX0,21A21FAX。2A18、若连续型随机变量的分布函数，则。6012XAXFA19、设随机变量的概率密度，则的分布函数为。X|XEFX20、若随机变量，则的密度函数。50,12NF二、选择题概率论与数理统计第10页（共57页）1、若函数是一随机变量的密度函数，则（）XFX的定义域为0,1值域为0,1非负在连续XFXFXF1R2、如果是（），则一定不可以为某一随机变量的分布函数。XFF非负函数连续函数有界函数单调减少函数3、下面的数列中，能成为一随机变量的分布律的是（）,2101KE,21KE,210K,21K4、下面的函数中，能成为一连续型随机变量的密度函数的是（）0SINXF其他30SINXH其他3COG其他2CO1XU其他25、设随机变量，为其分布函数，则（）。1,0NXXXXP121216、设离散型随机变量的分布律为，则（）。,KB的实数01B117、设随机变量，则增大时，是（）,2NX|XP单调增大单调减少保持不变增减不定8、设随机变量的分布密度，分布函数，为关于轴对称，则有（XFXFFY）1AF21AA12AF9、设为分布函数，为分布函数，则下列成立的是（）,2X21X53153,2123,123,1概率论与数理统计第11页（共57页）10、要使是密度函数，则为（）GXXF0COS21G,22,11、设随机变量的分布密度为则的密度函数为（）,12XFXY12X42X42412X12、设连续型随机变量的分布函数为，密度，则（）XXFXF0XXPPFXPXXPF13、设随机变量的密度函数为，则（）其他2102XXF510750875510D51D14、设随机变量，分布函数为，密度，则有（）X,NXFXF0P1X三、计算题1、10个灯泡中有2个是坏的，从中任取3个，用随机变量描述这一试验结果，并写出这个随机变量的分布律和分布函数及所取的三个灯泡中至少有两个好灯泡的概率。2、罐中有5个红球，3个白球，有放回地每次任取一球，直到取得红球为止。用X表示抽取的次数，求X的分布律，并计算。1XP3、设随机变量的分布律为，试求的值。,21KAKA4、已知离散型随机变量的分布律为概率论与数理统计第12页（共57页）1求；1XP（2）求的分布律；2Y（3）求的分布函数。5、已知离散型随机变量的分布律为，且KKPC441951XP求。P6、对某一目标射击，直到击中时为止。如果每次射击的命中率为，求射击次数的PX分布律。7、已知离散型随机变量的分布律为，其中，XK21,2求的分布律。SINY28、设连续型随机变量的分布函数为XBAXFARCTN求1常数2的概率密度。BA,X9、已知随机变量的密度函数为012XF1|求（1）系数；A（2）落入的概率；X21,（3）的分布函数。10、某车间有20部同型号机床，每部机床开动的概率为08，若假定各机床是否开动是独立的，每部机床开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗的电能不少于270个单位的概率。11、设随机变量，求的分布。2,0UX2XY12、设测量误差的密度函数为，求32041XEXF（1）测量误差的绝对值不超过30的概率；（2）测量3次，每次测量独立，求至少有1次测量误差的绝对值不超过30的概率。210121/51/61/51/1511/30概率论与数理统计第13页（共57页）13、在下列两种情形下，求方程有实根的概率。012XT（1）等可能取1,2，3,4，5,6；X（2）,1U14、设球的直径（单位MM），求球的体积的概率密度。1,0U15、已知离散型随机变量只取1，0，1，相应的概率为，X2AA167,8543,2求的值并计算A|P16、设某种电子管的寿命的密度函数012XF（1）若1个电子管在使用150小时后仍完好，那么该电子管使用时间少于200小时的概率是多少（2）若1个电子系统中装有3个独立工件的这种电子管，在使用150小时后恰有1个损坏的概率是多少。17、设钻头的寿命即钻头直到磨损为止所钻的地层厚度，以米为单位服从指数分布，钻头平均寿命为1000米，现要打一口深度为2000米的井，求1只需一根钻头的概率；2恰好用两根钻头的概率。18、某公共汽车站从上午7时起第15分钟发一班车，如果乘客到达此汽车站的时间是7时至7时30分的均匀分布，试求乘客在车站等候X（1）不超过15分钟的概率；（2）超过10分钟的概率。19、自动生产线在调整以后出现废品的概率为01，生产过程中出现废品时重新进行调整，问在两次调整之间能以06的概率保证生产的合格品数不少于多少20、设在一段时间内进入某一商店的顾客人数服从POSSION分布，每个顾客购买某种物品的概率为，并且各个顾客是否购买该物品是相互独立的，求进入商店的顾客购买该P种物品人数的分布律。21、设每页书上的印刷错误个数服从泊松分布，现从一本有500个印刷错误的500页的书上随机地取5页，求这5页各页上的错误都不超过2个的概率。22、已知每天到某炼油厂的油船数X服从参数为2的泊松分布，而港口的设备一天只能为三只油船服务，如果一天中到达的油船超过三只，超出的油船必须转到另一港口。求（1）这一天必须有油船转走的概率；（2）设备增加到多少，才能使每天到达港口的油船有90可以得到服务。（3）每天到达港口油船的最可能只数。概率论与数理统计第14页（共57页）23、某实验室有12台电脑，各台电脑开机与关机是相互独立的，如果每台电脑开机占总工作时间的3/4，试求在工作时间任一时刻关机的电脑台数超过两台的概率以及最有可能有几台电脑同时开机。24、设有各耗电75KW的车床10台，每台车床使用情况是相互独立的，且每台车床每小时平均开车12分钟，为这10台车床配电设备的容量是55KW，试求该配电设备超载的概率。25、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这种电子管的寿命（单位小时）服从指数分布，且平均寿命为1000小时。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为95，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概率为70，若两个以上电子管损坏，则设备不能正常工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作的概率各电子管工作相互独立。26、某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以MMHG计）服从。在该地12,0N区任选一18岁的女青年，测量她的血压X。（1）求，15P；（2）确定最小的X,使。10XP0X9564,796527、将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内。调节器整定在D,液体的温度X是一个随机变量，且1若D90,求X小于89的概率。（2）若要求保持液体的0,2DN温度至少为80的概率不低于099，问D至少为多少9720,3728、设随机变量的分布函数EXDCXBAF1LN（1）确定的值；（2）DCBA,2|EXP29、设连续型随机变量的分布函数为X0XBAXF0求1常数A，B的值；2130、有一个半径为2米的圆盘形靶子，设击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，并设均能中靶，如以表示击中点与靶心的距离，求的分布函数和密度函数。XX概率论与数理统计第15页（共57页）31、设随机变量的密度函数，求的密度函数。X其他10|1XXF12XY32、设随机变量的分布律为X4243020107求随机变量的分布函数。SINY33、已知10个元件中有7个合格品和3个次品，每次随机地抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品找到为止，求需测试次数的分布律。X34、已知的分布函数为，求的分布函数。X2103XXXFX26XSINY35、设某产品的寿命服从的正态分布，若要求寿命低于120小时的概率不T,602N超过01，试问应控制在什么范围内，并问寿命超过210小时的概率在什么范围内36、某厂决定在工人中增发高产奖，并决定对每月生产额最高的5的工人发放高产奖，已知每人每月生产额，试问高产奖发放标准应把月生产额定为多少,42X37、在长为1的线段随机地选取一点，短的一段与长的一段之比小于1/4的概率是多少38、设的分布密度为求的密度函数。,02XFXSINXY39、设的分布密度为X|21XXEF求（1）（3）的概率密度。|2Y|LNX四、证明题1、设为随机变量的分布函数，证明当时，有XFX21X21XF概率论与数理统计第16页（共57页）2、证明若服从参数为的指数分布，则X|RXPSRXP3、证明服从上均匀分布，则也服从均匀分布。BA,DCY4、设随机变量的分布函数为严格单调连续函数，则服从均匀分布。XFXFYX5、设随机变量的分布密度，分布函数，为关于轴对称，证明FXFFY对于任意正数有A1ADA206、设随机变量的分布密度，分布函数，为关于轴对称，证明XXFXFY对于任意正数有|FP7、设是两个随机变量的密度函数，证明对于任意正数，,XGF10有是某一随机变量的密度函数。1第三章多维随机变量及其分布一、填空题1、因为二元函数不满足，所以不是某一个10,YXF0YX,YXF二维随机变量的联合分布函数。2、设二维随机变量的联合分布律为XY123121/163/81/161/121/61/4则。2|1XYP概率论与数理统计第17页（共57页）3、设X和Y是独立的随机变量，其分布密度函数为，01XF其他X0YYEF则的联合分布密度函数为。,4、设二维随机变量的联合分布律为XY123121/61/91/181/3AB若X和Y独立，则A,B。5、设，且三个随机变量相互独立，则,30,21NXN。60P6、若随机变量，且，则。,4,PBYX951P1YP7、设的联合密度函数为则。,Y0,YXCEXF其他0,C8、设区域D上服从均匀分布，其中D是由轴，轴及直线所围成,12XY的区域，则。21,8XP9、设和是两个随机变量，且，Y730,YXP740YPX则。0,MAX10、设相互独立的和具有同一分布律，且，则随机变量X21的分布律为。YZ,A11、设相互独立的和具有同一分布律，且，则随机变量210XP的分布律为。YXZ,MIN概率论与数理统计第18页（共57页）12、设平面区域D由曲线及直线，区域D上服从XY12,10EXY,YX均匀分布，则关于的边缘密度在处的值为。,YX213、设相互独立的和具有同一分布，且，则,NXZ。二、选择题1、设随机变量相互独立，分布函数为，则的分布函数为YX,YFXYX,MAXYXMAXXFINYX11XYX2、设随机变量相互独立，且，则下列各式成立的是,4,20NYX210P2PYX13、设随机变量，相互独立，则的密度函数为1,0NX,0YYX（）21YXE421YXE42XE421XE4、设随机变量相互独立且同分布，则下列结论正YX,501XP确的是50PP4Y41Y5、设随机变量相互独立，且，则为YX,221NXX,2121N,212122概率论与数理统计第19页（共57页）6、设的联合密度函数为则与为（）,YX01,YXF其他12YXXY独立同分布独立不同分布不独立同分布不独立也不同分布7、设随机变量相互独立，且均服从（0,1）均匀分布，则下列中服从均匀分布的是,（）,YXY2XYX8、随机变量相互独立同分布，则和（）,Y不独立独立不相关相关9、设的联合分布律为,YYX01011/4B1/4A已知事件与事件相互独立，则值为（）1,3,6BA8,BA613B41,BA三、计算题1、设二维连续型随机变量X，Y的联合概率密度为求1系数A；2PX，YD，其中D为由直线YX,X1，及X轴围成的三角形区域。2、设随机变量X，Y相互独立，且X，Y的分布律如下表X321Y123P1/41/42/4P2/51/51/5求1X，Y的联合分布律；2Z2XY的分布律；3UXY的分布律。3、甲、乙两人约定晚上在某处见面，但没有说好具体时间，已知甲、乙到达该处的时间分别为随机变量X和Y，且甲到达的时间均匀分布在6时至8时之间；而乙到达的时间均匀分布在7时至10时之间。已知X，Y的联合概率密度为,1,2YXYXYF概率论与数理统计第20页（共57页）求先到一人等候对方不超过10分钟的概率。其他0107,861,YXYXF4、设随机变量和相互独立，且，求方程有两个不相等的实XY3,1,2UYX根的概率。方程02TT5、一口袋中有4个球，标有1，2，3，4。从中任取1个，不放回，再从袋中任取1个球，以和表示第一、二次取得的球的数字，求、的联合分布。XYXY6、设随机变量和相互独立，求的分布。,2N,UYX7、随机变量和的联合分布函数为2ARCTN2ARCTN1,2YXYXF求边缘分布函数和边缘密度函数。8、设二维随机变量和的联合密度函数为XY03,2YXF其他10,求（1）联合分布函数；（2）边缘密度函数；（3）1P9、甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为02，乙的命中率为05，以和X表示甲和乙的命中次数，求和的联合分布。YXY10、已知随机变量和的分布律为且求4120X21010XP（1）和的联合分布；（2）和是否独立。YY11、一电子仪器由两部件构成，以和表示两部件的寿命，已知和的联合分布函XY数为其他0,01,55YXEEYXFYXY（1）和是否独立；（2）求两部件的寿命都超过100小时的概率。XY12、设随机变量和独立，其概率密度分别为概率论与数理统计第21页（共57页）求的分布密度。010YEFXXFYX，其他YXZ213、设随机变量和独立联合密度为其他XYXXF0,13,求41|8XYP14、设和独立联合密度为其他XYXYXF0,10284,求边缘密度。15、设和独立联合密度为求（1）XY其他,2YXCYXFC（2）边缘密度。（3）条件分布16、设和独立，且服从，求的概率密度。Y02N2YXZ17、设和独立，X其他XEXFX其他0YEYF求的概率密度Z18、设和独立，Y其他0XEXFX其他0YYEYF求的概率密度。,MAZ19、设和独立，Y其他0XEXFX其他0YYEYF求的概率密度。,INZ20、设和独立联合密度为求联合分布函数。Y其他10,04,YXYXF四、证明题概率论与数理统计第22页（共57页）1、证明若，且两随机变量独立，则,21YX21YX2、证明若，且两随机变量独立，则,0N,0N3、证明若随机变量以概率1取常数，则它与任何随机变量相互独立。C第四章随机变量的数字特征第五章极限定理一、填空题1、设随机变量的数学期望为，均方差为，则当，时，X0AB2、设与独立，且，则。Y1,0DYXEY2YXE3、设连续型随机变量的密度函数为且，XF0B其他1X81DX则，。AB4、一颗均匀骰子重复掷10次，则10次中点数3平均出现的次数为，最可能出现点数3的次数为。5、设随机变量服从一区间上的均匀分布，且，则的密度函数为X31,DXE。2P6、设随机变量则，。,41,2,XEPNBNP7、设随机变量服从参数为2的指数分布，服从参数为4的指数分布，则XY。32YE8、从废品率为5的一大批产品每次取一个产品，直到取到废品为止，平均要取个产品。9、设随机变量X和Y独立，且，则。3,20EYUXYE10、设相互独立，且1021,10,2,10IKXPI则。1NIIP概率论与数理统计第23页（共57页）11、已知随机变量X的密度函数为，12XEXF则。_,DE12、设，则3,20,6021EXNUX321XD。13、设随机变量X和Y独立，则,0,YYED14、设随机变量，则随机变量，则。2,1U01XYYD15、若随机变量的分布律为，且，X,2KBAXPAE则，。AB16、设表示10次独立重复射击命中次数，每次命中的概率为04，则2X。二、选择题1、设，则为EXXEE3/215/33/42、已知随机变量，的方差存在，且YDY,，则下列一定成立的是（）,0,XD与一定独立与一定不相关XYDYX3、设的分布律为，如果（），则不一定存在。KPXPE概率论与数理统计第24页（共57页）收敛NK,211,2KPX收敛收敛1,0,KPX1,0,K4、设随机变量的方差存在，为常数，则（）XDBA,BAXDBA225、设为随机变量，则（）1011010006、已知随机变量，相互独立，且都服从POISSON分布，又知，XY3,2EYX则（）2E511025307、设随机变量，则（）,2NX1,3DXE1XP1242448、设随机变量，则（）2,124219、设随机变量服从指数分布，且，则的密度函数为（X50DXXF）02XE021XE04XE041XE10、设随机变量X的概率密度为则错误的是01XEF概率论与数理统计第25页（共57页）分布函数XE011EXPXEXF111、设随机变量满足，则正面正确的是Y,YD相互独立不相关,00YD12、设随机变量的分布函数为则X13XF1XE04DX103DX014D03DX13、有一群人受某种疾病感染的占20，现从他们中随机抽取50人，则其中患病人数的数学期望与方差是25和810和2825和6410和814、设随机变量均服从区间0，2上的均匀分布，则321,X321XE1341215、设为独立同分布的随机变量序列，若（）时，则服从,2NNX切贝晓夫大数定律。的分布律的是IX,210KEXPI的分布律的是I,I的密度函数为IX12XXF的密度函数为I03XAG16、设独立同分布，且服从参数为1/的指数分布，则下列结论正确的是NX,21概率论与数理统计第26页（共57页）1XNXPLIMNIIN1XNXPLIMNIIN1XNLINIIN1XNLINIIN17、设为独立同分布的随机变量序列，,1021X且，则下列中不正确的是（）IPBI10II,1010PBII10ABXAPII010QQXAPII三、计算题1、设随机变量和相互独立且均服从，求的数学期望。Y21,N|YX2、设球的直径（单位MM），求球的体积的数学期望。0UX3、已知，设，求的数学期望5,4,3122YNX23ZZ和方差及与的相关系数。Z4、某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20，今随机抽查100个索赔户，求其中被盗索赔户不少于14户但也不多于30户的概率。5、甲乙两队比赛，若有一队先胜四场，则比赛结束，假设每次比赛甲队获胜的概率为06，求比赛场数的数学期望。6、某城市的市民在一年内遭受交通事故的概率为千分之一。为此，一家保险公司决定在这个城市新开一种交通事故险，每个投保人每年交付保险费18元，一旦发生事故，将得到1万元的赔偿。经调查，预计有10万人购买这种险种。假设其他成本共40万元求（1）保险公司亏本的概率是多少（2）平均利润为多少7、设随机变量X有有限期望EX及方差，试用切贝谢夫不等式估计2DX概率论与数理统计第27页（共57页）的值。33EXP8、设随机变量X的方差为25，试用切贝谢夫不等式估计概率的值。5|EXP9、某计算机系统有120个终端，各终端使用与否相互独立，如果每个终端有20的时间在使用，求使用终端个数在30个至50个之间的概率。10、一系统由100个相互独立的部件组成，在系统运行期间部件损坏的概率为005，而系统只有在损坏的部件不多于10个时才能正常运行，求系统的可靠度。11、某电站供应一万户用电，假设用电高峰时，每户用电的概率为09，利用中心极限定理计算1同时用电户数在9030户以上的概率；2若每户用电200瓦，问电站至少应具有多大的发电量，才能以95的概率保证供电12、对次品率为005的一批产品进行抽样检查，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不合格，那么应检查多少个产品，才能使这批产品被认为是不合格的概率可信度达到90。13、据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率。14、某厂产品的寿命服从指数分布，其概率密度为，工厂规定，041XETFT售出的产品若在一年内损坏可以调换。若工厂售出1个产品，能获利120元；调换1个产品，工厂要花费350元，试求工厂出售1个产品的平均获利。15、一商店经销某种商品，每周进货的数量与商品的需求量相互独立，且均服从均XY匀分布。商店每售出一单位商品可得利润1000元，若需求量超过进货量，商20,1U店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品可得利润500元，试计算此商店经营该各商品每周平均获利。16、在一家保险公司有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，一年内一个人死亡的概率为0006,其家属可获得1000元赔偿费，求（1）保险公司没有利润的概率；（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率。三、证明题1、设在单位圆内服从均匀分布，试证与Y不相关，但不相互独立。,YXX2、设，则与不相关，但不相互独立10N|Y3、设与Y都是01分布，试证与Y不相关的充分必要条件是与Y独立。X概率论与数理统计第28页（共57页）4、证明取值于区间上的随机变量，必有,BAX42ABD5、设是两事件，BA,不出现若出现若A1X不出现若出现若B1Y证明与Y独立的充分必要条件是独立。XB,数理统计一、填空题1、设为总体X的一个样本，如果，NX,21,21NXG则称为统计量。G2、设总体已知，则在求均值的区间估计时，使用的随机变量为,2N3、设总体X服从方差为1的正态分布，根据来自总体的容量为100的样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信水平为95的置信区间为。4、假设检验的统计思想是。小概率事件在一次试验中不会发生5、某产品以往废品率不高于5，今抽取一个样本检验这批产品废品率是否高于5，此问题的原假设为。6、某地区的年降雨量，现对其年降雨量连续进行5次观察，得数据为,2NX单位MM587672701640650，则的矩估计值为。27、设两个相互独立的样本与分别取自正态总体与211,5,Y2,1N，分别是两个样本的方差，令，已知1,2N21,S212SBAS，则。402_,BA8、假设随机变量，则服从分布。NTX219、假设随机变量已知，则。,05XP_概率论与数理统计第29页（共57页）10、设样本来自标准正态分布总体，为样本均值，而1621,X1,0NX，则0XP_11、假设样本来自正态总体，令，则1621,2161043IIIIXY的分布Y12、设样本来自标准正态分布总体，与分别是样本均值和1021,X1,0NX2S样本方差，令，若已知，则。2SYP_13、如果都是总体未知参数的估计量，称比有效，则满足,1212。14、假设样本来自正态总体，是NX,21,2N12NIIIXC的一个无偏估计量，则。2_C15、假设样本来自正态总体，测得样本均值，则的置921,810,5X信度是的置信区间为。95016、假设样本来自正态总体，与未知，测得样本均值1021,X,2N2，样本方差，则的置信度是的置信区间为。XS95017、假设样本来自正态总体，与未知，则原假设N,21,22的检验选用的统计量为。0H5T二、选择题1、下列结论不正确的是设随机变量都服从标准正态分布，且相互独立，则YX,22YX独立，,515,1022YY概率论与数理统计第30页（共57页）来自总体的样本，是样本均值，NX,21,2NX则NII122与均来自总体的样本，并且相互独立，N,2NY,21,2N分别为样本均值，则YX,1,12NFXNIIII2、设是参数的两个估计量，正面正确的是21,，则称为比有效的估计量2D12，则称为比有效的估计量1是参数的两个无偏估计量，则称为比有效的估计量2,21D12是参数的两个无偏估计量，则称为比有效的估计量13、设是参数的估计量，且，则有（）0不是的无偏估计是的无偏估计222不一定是的无偏估计不是的估计量24、下面不正确的是（）Z1221N1NTT,1,1MF5、总体均值的区间估计中，正确的是（）置信度一定时，样本容量增加，则置信区间长度变长；置信度一定时，样本容量增加，则置信区间长度变短；置信度增大，则置信区间长度变短；1置信度减少，则置信区间长度变短。概率论与数理统计第31页（共57页）6、对于给定的正数，设是标准正态分布的上侧分位数，则有（10Z）2ZZP|2ZZP1|7、某工厂所生产的某种细纱支数服从正态分布为已知，现从某日生产2020,N的一批产品中随机抽取16缕进行支数测量，求得样本均值和样本方差，要检验细纱支数的均匀度是否变劣，则应提出假设（）0H0100H01022228、设样本抽自总体，来自总体，NX,21MY,21,1NX，则的分布为,2NYMIIIIYN121/,NF,N,NMF1,NF9、设为来自的样本观察值，未知，NX,21,2NX2,IX1则的极大似然估计值为（）NIIX12NIIX1NIIX12NIIX110、样本来自总体，NX,21,0NNIIX12SNII12则下列结论正确的是（）概率论与数理统计第32页（共57页）1,0NXN1,0NXNIIX121NTSX11、假设随机变量是来自的样本，为样本均值。已0212,知，则下列成立的是（）,0NBXAY5,5,BA51,BA51,BA12、设样本来自正态总体，与分别是样本均值和样本方N,21,2NX2S差，则下面结论不成立的是（）与相互独立与相互独立X2S21N与相互独立与相互独立NIIX122XII1213、样本取自正态总体，已知，未知。则下列随机5432,N2变量中不能作为统计量的是（）X21X5122IIX5123IIX14、设样本来自正态总体，与分别是样本均值和样本方N,21,N2S差，则下面结论成立的是（）,212NX1,2NFSXN2NST15、设样本来自总体，则下列估计量中不是总体均值的无偏估计量NX,21的是（）。XN214610NX321X16、假设样本来自正态总体。总体数学期望已知，则下列估X,2N概率论与数理统计第33页（共57页）计量中是总体方差