点到直线的距离公式的七种推导方法

1、；点到直线的距离公式的七种推导方法已知点P( x0 , y0 ) 直线 l : AxByC0( A0, B0) 求点 P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、定义法证：根据定义， 点 P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点 P 到直线 l的垂线为l ，垂足为 Q，由 l l 可知 l 的斜率y PlBQl 为 Axy y0B ( x x0 )图1l 的方程：A与 l 联立方程组解得交点Q( B2x0ABy0AC, A2 y0ABx0BC )A2B2A2B22B2 x0 ABy0ACx)2(A2 y0ABx0BCy )2| PQ

2、|(A2B20A2B20(A2 x0ABy0AC ) 2(B2 y0ABx0BC ) 2A2B2A2B2A2 ( Ax0By0C )2B2 ( Ax0 By0C )2( Ax0By0C ) 2( A2B2 ) 2( A2B2 )2A2B2| Ax0 By0C |PQ |A2B2二、 函数法证：点 P 到直线 l上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线 l的距离。 在 l 上取任意点Q ( x, y) 用两点的距离公式有，为了利用条件 AxByC0 上式变形一下，配凑系数处理得：.；( A2B2 )( xA2 (xx0 ) 2 A(xx0 ) A( xx0 )x0 ) 2( y y0 ) 2 B

3、2 ( y y0 )2A2 ( y y0 )2B2 ( x x0 )2B( yy)2 A( yy )B( xx0)200B( yy0 )2( Ax0By0C)2 (Ax By C 0)( x x )2( y y)2| Ax0 By0C |00A2B2当 且 仅 当 A( yy0 ) B（ xx0） 时 取 等 号 所 以 最 小 值 就 是| Ax0By0 C |dA2B2三、不等式法证：点 P 到直线 l 上任意一点 Q( x, y) 的距离的最小值就是点P到 直 线l的 距 离 。 由 柯 西 不 等 式 ：( A2B2 )( xx0 ) 2( yy0 ) 2 A(xx0 )B( yy0

4、)2( Ax0By0C )2Ax By C 0,( x x0 )2( y y0 ) 2| Ax0By0C |A2B2当 且 仅 当 A( yy0 )B（ x x0） 时 取 等 号 所 以 最 小 值 就 是d| Ax0 By0C |A2B2四、转化法yPllyPP 作 PMMQQM证：设直线 l 的倾斜角为过点xx y 轴 交 l于M ( x1 , y1 ) 显 然 x1x0 所 以图2图 3y1Ax0C| PM | | y0Ax0CAx0By0CbB| |B|易得 MPQ（图 2）或 MPQ 1800（图 3）在 两 种 情 况 下 都 有tan 2MPQtan2A2所 以B2cosMPQ

5、1| B |1tan2A2B2.；Ax0 By0 C| B | Ax0 By0 C | PQ | | PM | cos MPQ |B2A2B2BA2五、三角形法证： P 作 PM y 轴交 l 于 M，过点 P 作 PN x 轴交（图 4）由解法三知| PM | | Ax0By0C |；同理得| PN | | Ax0By0BA在 Rt MPN中， PQ是斜边上的高| PM | | PN | Ax0By0C | PQ | PN |2A2B2| PM |2y PNl 于 NMQxl图4C |六、参数方程法l xx0t cos:t sin 交直线 l 于点 Q。 ( 如图证：过点 P( x0 , y

6、0 ) 作直线yy01)由 直 线 参 数 方 程 的 几 何 意 义 知 | t | | PQ | ， 将l 代 入l 得Ax0At cosBy0Bt sinC0整理后得 | t | |Ax0 By0 C|.(1)AcosB sin当 l l 时，我们讨论与 l 的倾斜角的关系：tanA0,不妨令 A0,B0,B0 ）有当B900 （图 3）.；得到的结果和上述形式相同，将此结果代入得| t | Ax0By0C | Ax0By0C |yPQA2B2A2B2n|B2|A2A2B2lx七、向量法图五证：如图五， 设直线 l : AxByC0( A0, B0) 的一个n(1, B )，Q直线上任意

7、一点， 则 PQ( x1x0 , y1y0 ) 。从而法向量A点 P 到直线的距离为：| n PQ | xxB ( yy ) | A( x1x0 ) B( y1y0 ) |10A10d| n |B2A2B21A2P点在直线 l 上 ,Ax1By1C| Ax1By1Ax0By0 | Ax0By0C |0, 从而 dA2B2A2B2附：方案一：设点P到直线 l 的垂线段为，垂足yPQ为，由 l 可知，直线RP(x0 ,y0)的斜dQPQPQQB率为 A（ A 0），根据点斜式写出直oSxl线 PQ的方程，并由 l 与 PQ的方程求出点 Q的坐标；由此根据两点距离公式求出 PQ，得到点 P到直线 l 的距离为 d王新敞方案二：设0， 0，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点PAB作 x 轴的平行线，交l 于点 R(x1 , y0 ) ；作 y 轴的平行线，交l 于点S( x0 , y2 ) ，.；A1 x1By0C0By0CAx0C由 Ax0By2C0 得 x1