北师大版九年级数学上学期期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形

1、期末备考压轴题专项习题：特殊的平行四边形1已知四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的任意一点，AEEF，且直线EF交正方形外角的平分线CF于点F（1）如图1，求证：AEEF；（2）如图2，当AB2，点E是边BC的中点时，请直接写出FC的长2如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF（1）判断四边形ACDF的形状；（2）当BC2CD时，求证：CF平分BCD3在菱形ABCD中，ABC60，延长BA至点F，延长CB至点E，使BEAF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G（1）求证：ACECBF；（2）求CGE的度数4如图，ABC中，AD是角平分线，DEAC交

2、AB于点E，DFAB交AC于点F（1）试判断四边形AEDF的形状（2）当ABC满足 条件时，EFBC；当ABC满足 条件时，EFAD5如图正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点（1）若EAF45，求证：EFBE+DF；（2）若该正方形ABCD的边长为1，如果CEF的周长为2求EAF的度数6一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中四边形PRBA，RQDC，QPFE为正方形记正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为S1，S2，S3，RHPQ，垂足为H（友情提示：正方形的四个内角都等于90度，四边都相等）（1）若PRQR，S116，S29，则S3 ，RH ；（2）若四边形PRBA，RQD

3、C，QPFE的面积分别为25m2、13m2、36m2求PRQ的面积；请判断PRQ和DEQ的面积的数量关系，并证明你的结论；六边形花坛ABCDEF的面积是 m27已知，如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H（1）求证：BCGDCEBHDE（2）当BH平分DE时，求GC的长8如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O做EFAC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB，DCF30，求EF的长9已知：如图，在平行四边形ABCD中

4、，G、H分别是AD、BC的中点，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接G、E、H、F（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）当平行四边形ABCD满足 条件时，四边形GEHF是菱形；（3）若BD2AB，探究四边形GEHF的形状，并说明理由10如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB6cm，BC10cm，B60，当AE cm时，四边形CEDF是矩形；当AE cm时，四边形CEDF是菱形11如图，在四边形ABCD中，ADBC，AB8，AD16，BC22，ABC

5、90，点P从点A出发，以每秒1单位的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以每秒v单位的速度向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒（1）当v3时，若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为平行四边形，且线段PQ为平行四边形的一边，求t的值；（2）若以点P，Q和点A，B，C，D中的两个点为顶点的四边形为菱形，且线段PQ为菱形的一条对角线，请直接写出t的值12如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC垂直平分BD，交BD于点F，延长DC到点E，使得CEDC，连接BE（1）求证：四边形ABCD是菱形（2）填空：当ADC 时，四边形ACEB为菱形；当A

6、DC90，BE4时，则DE 13如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，EF垂直平分AM，分别交BC，AM，AD于点E，O，F，连接AE，MF（1）求证：四边形AEMF是菱形；（2）若AB6，H为AB的中点，连接OH交AE于点P，OH+OA9，求OPE的周长14在菱形ABCD中，P、Q分别是边BC、CD的中点，连接AP、AQ（1）如图（1），求证：APAQ；（2）如图（2），连接PQ、AC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形15如图，四边形ABCD为菱形，BCD60，E为对角线AC上一点，且AEAB，F为CE的中点，接DF、BF，BGBF与AC交于点G；（1）若AB2，

7、求EF的长；（2）求证：CGEFBG参考答案1（1）证明：如图1，在AB上截取BMBE，连接ME，B90，BMEBEM45，AME135ECF，ABBC，BMBE，AMEC，在AME和ECF中，AMEECF（ASA），AEEF；（2）解：取AB中点M，连接EM，ABBC，E为BC中点，M为AB中点，AMCEBE，BMEBME45，AME135ECF，B90，BAE+AEB90，AEF90，AEB+FEC90，BAEFEC，在AME和ECF中，AMEECF（ASA），EMCF，AB2，点E是边BC的中点，BMBE1，CFME2（1）解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：四边形ABCD是矩形，

8、ABCD，BCDB90，FAECDE，E是AD的中点，AEDE，在FAE和CDE中，FAECDE（ASA），CDFA，又CDAF，四边形ACDF是平行四边形；（2）证明：BC2CD，ABCD，四边形ACDF是平行四边形，AFCD，BFBC，BCF是等腰直角三角形，BCF45，DCF45，CF平分BCD3（1）证明：ABAC，ABC60，ABC是等边三角形，BCAC，ACBABC，BEAF，BE+BCAF+AB，即CEBF，在ACE和CBF中，ACECBF（SAS）；（2）解：由（1）可知：ABC是等边三角形，ACECBF，EF，BAEFAG，E+BAEF+FAG，CGEABC，ABC60，CG

9、E604解：（1）四边形AEDF是菱形；理由如下：DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，四边形AEDF是平行四边形，EADADF，AD是ABC的角平分线，EADFAD，ADFFAD，FAFD，四边形AEDF是菱形；（2）当ABC满足ABAC条件时，EFBC；当ABC满足BAC90条件时，EFAD理由如下：由（1）得：四边形AEDF是菱形，ADEF，ABAC，AD是角平分线，ADBC，EFBC；当ABC90时，四边形AEDF是正方形，EFAD；故答案为：ABAC，BAC905（1）证明：如图，延长CD至E，使DEBE，连接AE，四边形ABCD为正方形，ABADCBCD，BADB90，ADE

10、90ABE，在ADE和ABE中，ADEABE（SAS），AEAE，DAEBAE，EAF45，DAF+BAE45，DAF+DAEEAF45EAF，在EAF和EAF中，EAFEAF（SAS），EFEF，EFDE+DFBE+DF，EFBE+DF；（2）延长CD至E使DEBE，连接AE，由（1）知，ADEABE（SAS），AEAE，DAEBAE，设BEx，DFy，正方形ABCD的边长为1，CE1x，CF1y，CEF的周长为2，CE+CF+EF2，1x+1y+EF2，EFx+yBE+DFDE+DFEF，在EAF和EAF中，EAFEAF（SSS），EAFEAF，DAE+DAFBAE+DAFEAF，DAF+

11、EAF+BAE90，EAF456解：（1）PRQR，PRQ90，PR2+RQ2PQ2，S116，S29，S316+925，PR4，RQ3，PQ5，RHPQ，PRRQPQRH，RH，故答案为：25，2.4；（2）设PHa，则QH6a，RH2PR2PH2RQ2HQ2，25a213（6a）2，解得：a4，RH2PR2PH225169，RH3，SPQR639；SPRQSDQE，证明：延长RQ到点M，使QMRQ，连结PM，QDQM，DQEMQP，QEQPDQEMQP（SAS），SDQESMQP，RQQM，SPRQSMQP，SPRQSDQE；六边形花坛ABCDEF的面积25+13+36+4974+3611

12、0m2故答案为：1107（1）证明：正方形ABCD，BCD90，BCCD，同理：CGCE，GCE90，BCDGCE90，BCGDCE（SAS），GBCCDE，在RtDCE中CDE+CED90，GBC+BEH90，BHE180（GBC+BHE）90，BHDE；（2）若BH垂直平分DE，连接BD，BDBE，BD，CGCEBEBC18解：（1）证明：O是AC的中点，且EFAC，AFCF，AECE，OAOC，四边形ABCD是矩形，ADBC，AFOCEO，在AOF和COE中，AOFCOE（AAS），AFCE，AFCFCEAE，四边形AECF是菱形；（2）四边形ABCD是矩形，CDAB，在RtCDF中，c

13、osDCF，DCF30，CF2，四边形AECF是菱形，CECF29（1）证明：连接AC，如图1所示：四边形ABCD是平行四边形，OAOC，OBOD，BD的中点在AC上，E、O、F分别是对角线BD上的四等分点，E、F分别为OB、OD的中点，G是AD的中点，GF为AOD的中位线，GFOA，GFOA，同理：EHOC，EHOC，EHGF，EHGF，四边形GEHF是平行四边形；（2）解：当ABCD满足ABBD条件时，四边形GEHF是菱形；理由如下：连接GH，如图2所示：则AGBH，AGBH，四边形ABHG是平行四边形，ABGH，ABBD，GHBD，GHEF，四边形GEHF是菱形；故答案为：ABBD；（3

14、）解：四边形GEHF是矩形；理由如下：由（2）得：四边形GEHF是平行四边形，GHAB，BD2AB，ABBDEF，GHEF，四边形GEHF是矩形10（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，CFED，FCDGCD，G是CD的中点，CGDG，在FCG和EDG中，CFGEDG（ASA），FGEG，四边形CEDF是平行四边形；（2）解：当AE7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AMBC于M，B60，AB6，BM3，四边形ABCD是平行四边形，CDAB60，DCAB6，BCAD10，AE7，DE3BM，在MBA和EDC中，MBAEDC（SAS），CEDAMB90，四边形CEDF是平行四边形，四

15、边形CEDF是矩形，故答案为：7；当AE4时，四边形CEDF是菱形，理由是：AD10，AE4，DE6，CD6，CDE60，CDE是等边三角形，CEDE，四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是菱形，故答案为：411解：（1）当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，APBQ，当APBQ时，四边形APQB为平行四 边形此时，t223t，t当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，PDQC，当PDQC时，四边形PQCD为平行四边形此时，16t3t，t4，线段PQ为平行四边形的一边，故当t或4时，线段PQ为平行四边形的一边（2）当PDBQBP时，四边形PBQD能成为菱形由PD

16、BQ，得16t223t，解得t3，当t3时，PDBQ13，APADPD16133在RtABP中，AB8，根据勾股定理得，BP13四边形PBQD不能成为菱形；如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，由题意得，解得，故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在t6时为菱形12（1）证明：AC垂直平分BD，ABAD，BFDF，ABCD，ABDCDBAFBCFD，AFBCFD （ASA），ABCD又ABCD，四边形ABCD是平行四边形，ABAD，平行四边形ABCD是菱形；（2）当ADC60，四边形ACEB为菱形，ADC60，BCE60，BCE是等边三角形，CEBE

17、，四边形ACEB为菱形，故答案为：60；当ADC90，BE4时，DE4，故答案为：413（1）证明：EF垂直平分AM，AEEM，OAOM四边形ABCD是矩形，ADBCAFOMEO，在OF和MOE中，AOFMOE（AAS）OFOE四边形AEMF是平行四边形AEEM四边形AEMF是菱形；（2）解：O、H分别为AM、AB的中点，BM2OH，AM2OA，AM+BM2OA+2OH18设BMx，则AM18x，在RtABM中，由勾股定理得：62+x2（18x）2，解得：x8，BM8，AM10OAAM5，设EMm，则BE8m，AEEMm，在RtABE中，由勾股定理得：62+（8m）2m2，解得：m，AEEM在RtAOE中，EOOPEM，1，APPE，OPEM，PEAE，OPE的周长EO+PE+OP+1014证明：（1）四边形ABCD是菱形，ABBCCDAD，BD，P、Q分别是边BC、CD的中点，BPCQ，在ABP和ADQ中，ABPADQ（SAS），APAQ，（2）APAQ，APQ是等腰三角形，BCCD，P、Q分别是边BC、CD的中点，PCCQ，PQC是等腰三角形，ABBC，ADCD，ABC，ACD是等腰三角形，图中所有的等腰三角形有ABC，APQ，ACD，CPQ15（