4-1向量组、线性组合

1、第四章 向量组的线性相关性,用矩阵表达或研究线性方程组？,何时有解？有多少个解？如何求解？,用矩阵的秩，矩阵的初等变换！,形式，内容，方法？,前面研究的最终落脚点，后面研究的出发点,用矩阵表达或研究线性变换？,从 x1, x2 , xn 到 y1, y2 , yn 的线性变换,何时可逆？如何求逆变换？,用矩阵的秩，,形式，内容，方法？,A满秩时可逆！,用矩阵的初等行变换求出A的逆！,用矩阵乘法求得 ！,因为矩阵的初等变换本质上是其行或列元素,与矩阵的结构有关！,与矩阵中各行或各列元素之间的关系有关！,矩阵的秩与什么有关？,与矩阵中各行或各列元素之间的什么关系有关？,与矩阵中各行或各列之间的线性

2、关系有关！,之间的线性运算！,思考如下问题：,矩阵的初等变换本质上是其行或列,矩阵的行或列本质上是一个,（k）元有序数组，,即一个（k）维向量！,矩阵的所有行或列本质上是一个,（k） 维向量组！,用另外行或列线性表示！,矩阵中各行或列之间的线性关系,就是矩阵的行或者列向量组的线性关系！,向量组的线性组合、线性相关性！,本章的基本内容,向量,向量用向量组线性表示,向量组,向量组用向量组线性表示,向量组与向量组等价,（概念、条件、方法）,（概念、条件、结论）,向量组与向量组之间关系,向量组线性相关、线性无关,向量组的极大无关组，向量组的秩,（概念、条件、方法）,（概念、方法、结论）,向量组内部向量

3、之间的关系,向量组与矩阵，,向量组与方程组,解决线性方程组解的结构性质,向量空间（概念）,（概念、条件、方法）,n 维向量,简称向量。,1 向量组及其线性组合,一、n 维向量的概念,定义1(P. 81),行向量,实数,第 i 个分量,列 向 量,实向量,矩阵？,复向量？,从矩阵角度,同一个n元有序数组构成的行向量与列向量是不同的向量！,不同向量之间的关系，同于相应矩阵之间的关系！,n个有次序的数,同于矩阵的行列分块记号！,列 向 量,O = ( 0,0,0 )，,零向量,负向量,设向量,1.加法(减法):,2.数乘:,同于矩阵的相应运算,有关运算,线性运算,是三维空间向量线性运算的推广。,同于

4、三维向量。,线性运算满足运算规律同于矩阵,n 维向量空间,中n 1 维超平面,三维向量空间,中的平面,向量的几何描述：点 点集合 点空间,（在相应坐标系中）,一个三元有序数组,一些三元有序数组构成的集合,一个n元有序数组,一些n元有序数组构成的集合,二、向量组及其线性组合,1、向量组由若干个同维数的列(行)向量构成的集合（p82）,n 个m 维列向量,A 的 列 向 量 组,维数是kk维向量组,向量组与矩阵,n 个m 维列向量,m 个 n 维行向量,A 的 列 向 量 组,A的行向量组,向量组与矩阵,m 个 n 维列向量的向量组,构成一个n行m列的矩阵,m 个 n 维行向量的向量组,构成一个m

5、行n列的矩阵,含有限个同维数向量的有序向量组与矩阵一一对应,是用矩阵研究向量组的基础！,反之：,第i 个坐标是1，其余均为零,单位坐标列向量组：,为列构成单位阵,单位坐标行向量组：,第i 个坐标是1，其余均为零,为行构成单位阵,单位坐标向量组对应单位矩阵！,向量组与矩阵对应，矩阵与线性方程组对应,从而向量组与线性方程组对应,(I),非齐次线性方程组,未知数 的系数,是m维的列向量,n个m维的列向量的组,是系数矩阵 的第j列,是系数矩阵 的列向量组,向量组与方程组,是增广矩阵的常数列,增广矩阵的列向量组是系数矩阵 的列向量组再添加常数列,由n+1个m维的列向量构成,(I),非齐次线性方程组,第i

6、个方程的系数和常数项构成增广矩阵的第i行,是增广矩阵 的行向量组,m个n+1维的行向量组成,线性方程组 的全部解,含有无限多个n维列向量的组,当 时，,为向量组A的一个线性组合。,2、向量组的线性组合与向量用向量组线性表示,称式子,（p82定义2 ）向量组的线性组合,（还是个向量！）,一个向量组的线性组合有无穷多！,向量组的一个线性组合是个向量！,反之，一个向量是否为某一个向量组的线性组合？,的一个线性组合，,线性表示(出)。,（p82定义2 ）向量由向量组线性表示,一组组合系数.,即,易见：,又,线性表示的组合系数,所以，,写出方程组,(I),求出（1）的一个解，就得,易见：,求出方程组的一

7、个解,作为组合系数 就可得 b 的一个线性表示 ；,写出方程组,(I),方程组有唯一解,=A中向量的个数，,b用向量组A线性表示形式唯一；,方程组有无穷多解,A中向量的个数，,b用向量组A线性表示形式有无穷多种。,当然，已知b的一个线性表示式,就得方程组（1）的一个解,例1(p84)已知,证明,令,思路？,解,记,R(A)=R(B)=2,再解,无穷多种表示式,解,同解方程组为,令,得方程组的通解为,取定c=1,得,一种表示式,关于向量用向量组线性表示,若向量b可用向量组A的一个部分组线性表示，,A中任何一个向量可用组A线性表示,则向量b可用向量组A线性表示。,称A中的某些向量构成的向量组为A的

8、一个部分组。,向量组A为向量组为A的一个自然部分组。,n维单位向量组,任一 n 维向量均可由n 维单位向量组线性表示,如：,因为,零向量可由任意一个向量组线性表示！,特殊的 也是重要的,且表示系数就是向量的分量,必有向量组B可由向量组C线性表示,若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示,( p83定义3 ）向量组由向量组线性表示,则称 向量组B可由向量组A线性表示。,向量组B一定可由向量组B本身线性表示!?,向量组由向量组线性表示的性质:,自反性,向量组B由向量组A线性表示,向量组A由向量组C线性表示,若向量组A与向量组B能互相线性表示，则称向量组A与向量组B 等价。,3、向量组用向量组线性

9、表示,传递性,线性表示是基础,对称性？,不成立！,两组所含向量维数相等， 个数可不等！,向量组B可由向量组A线性表示的条件？,( p84定理2 ）向量组由向量组线性表示的充要条件,表示组矩阵的秩 = 大矩阵的秩,( p85定理 ）向量组由向量组线性表示的必要条件,被表示组矩阵的秩不超过表示组矩阵的秩,（实为定理2的推论）,只证定理2,其中，,证明：,以此类推,定理2,证毕,的形式？,A,B是列向量组,K,K,K的第j列是bj用向量组A表示的系数！,组B由组A表示的系数矩阵,结论：列向量组用列向量组线性表示,（系数矩阵在右边）,K的第j列是bj用向量组A表示的系数！,行数=表示组向量个数,列数=

10、被表示组向量个数,两组所含向量个数相等时系数矩阵为方阵,K,K,（系数矩阵在左边）,K的第i行是bi用向量组A表示的系数！,行数=被表示组向量个数,列数=表示组向量个数,两组所含向量个数相等时 系数矩阵为方阵,结论：,组B能否由组A表示？,2,组B能由组A表示！,判定向量组能否由向量组表示,有了表示系数，K易写出；,如何求出系数矩阵K?,第三节有方法！,如何求表示系数？,解线性方程组！,例,向量组,其中,设有向量组,（1）列向量组B由列向量组A线性表示的系数矩阵K,（2）行向量组B由行向量组A线性表示的系数矩阵K,求：,解(1),解(2),（1）列向量组B由列向量组A线性表示的系数矩阵K,解(

11、1),表 示 系 数 为 列,（2）行向量组B由行向量组A线性表示的系数矩阵K,解(2),表示系数为行,（补1）,解,（补2）,解,当然任何向量组可由单位向量组表示！,例3(p86),能由向量组A线性表示,证明,证,证二：,都成立！,只证R(A，E)=n,能由A线性表示,向量组A用单位向量组表示是无条件的！,n ？ m,条件是好用的、重要的！,证毕,任何向量可由单位向量组表示！,单位向量组用组A表示有无条件？,证一：,线性表示？,问：,若,一方面有,C 的列向量组可由（左阵）A的 列向量组线性表示，系数矩阵就是B,另一方面也有,行的列阵,C 的行向量组可由（右阵）B的 行向量组线性表示，系数矩

12、阵就是A,乘积阵的i行=左阵的i行乘右阵,列的行阵,用向量组表示解释矩阵乘法,乘积阵的j列=右阵的j列乘右阵,完全同于矩阵乘法原理,能互相线性表示，则称向量组A与向量组B等价.,等价的充要条件（p84定理 2推论）,4、向量组与向量组等价,定义（p83),向量组的等价关系具有: 自反性、对称性、传递性！,例2(p86),设,证明,证,所以,反之不一定！,等价的必要条件,向量组与单位向量组等价的条件,能由向量组A线性表示,等价？,向量组A与向量组B等价,即B的行的向量组可由A的行的向量组线性表示，,所以，A的行的向量组可由B的行的向量组线性表示。,重要,但AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组

13、等价,向量组的等价与矩阵的等价,同理，A B A的列组与B的列组等价.,思考,矩阵等价？,AB 不能保证A与B的行向量组或列向量组等价,其标准型,但,A，F的列、行组都不等价,B与PA的列向量组等价，,B与AQ的行向量组等价,B与A的列向量组等价，,B与A的行向量组等价,例：,所以,若组A组B,则必有矩阵A,B的秩相等,但矩阵A与B等价一般不成立！,因为A与B不一定同型！,同型,反之，向量组等价？,所含向量个数相等的向量组等价时,为行（列）构成的矩阵等价！,组A可用组B表示,组B可用组A表示,等价两组所含向量个数相等,A与B列满秩,可逆！,由P70例9的结果,A与B等价,向量个数相等的等价列（

14、行）向量组构成的矩阵 列（行）满秩时，互相表示的系数矩阵可逆。,这时，组A与组B同解,方程组A 方程组B,线性方程组的等价,设有方程组,即B (A)中方程皆由A(B)中方程经线性运算得到,方程组B能由方程组A的线性表示,B的增广 矩阵的行向量组 可由A的增广矩阵的行向量组线性表示.,故,（用矩阵解决方程组的深层依据）,方程组B与方程组A等价（互推）：,反之亦然,对齐次线性方程组有同样结论,向量组,矩阵,线性方程组,行向量组为 行构成矩阵,列向量组为 列构成矩阵,矩阵的一行（列）元素 构成一个行（列）向量,矩阵的全部行（列）向量 构成行（列）向量组,一个方程的系数及常数项构成行向量,一个未知数的系数 构成列向量,系数矩阵、增广矩阵 对应行（列）向量组,向量组A与B等价,方程组等价（同解）,向量组线性组合,方程组线性组合,矩阵的乘法,向量组由向量组表示,方程组由方程组表示,矩