第十章两学时版

1、第十章截面的几何性质10-1静矩和形心z1.静矩Sz= yydAdAzACy(10-1)A zS=zdAy常用单位： m3或mm3Oy2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得）z = Ay = Az dAy dA,(10-2)AA3.静矩与形心坐标的关系(4-1) 代入(4-2)，得Sy= z ASz= y A ,(10-3)推论：若截面对某轴的静距为零，则该轴必过形心；反之，若某轴过形心，则截面对该轴的静矩为零。4.组合截面的静矩与形心nn= Ai= Aiyi,ziS zS y(10-4)i=1i=1nn Ai Aiyizi y =z =i=1 Aii=1i=1 Aii=1,(10-

2、5)nn10-2 惯性矩惯性积惯性半径z1.惯性矩= A zd A2= A yd A ,2I yI z分别称为截面对z轴和y轴的惯性矩。y2.极惯性矩= A rd A2I p称为截面对o点极惯性矩。zdAOyr2= y2 + z2= r 2 d A = ( y2 + z2)d AI pAA= y2 d A + z2 d AzAA= I+ II即pzy3.惯性积I yz= A yz d A称为截面对z轴和y轴的惯性积。以上各量常用单位:m4 或 mm4yzdAOy4.惯性半径I y= i2 AIi=yyyAIzi=I= i2 AzzzAiy ，iz 分别称为截面对 y 、z 轴的惯性半径。单位：

3、m 或 mm结论：截面的极惯性矩、惯性矩、惯性积与坐标轴的位置有关。截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。惯性矩和极惯性矩恒为正值，而惯性积可正、可负，也可能为零，但量纲均为长度4 。截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积 为零。简单图形的惯性矩dA = bdzz矩形h2hA=z2 d A =bz2 d zI y-23= bhyC123= hb bI z同理12h dzz圆zD4I p=32y= I y由对称性I z+ I y = II z又pD= Ip4= D=所以I zI y264空心圆zD4d 4=-I zI y64D464y(1 - a 4

4、)=64dDa = dD组合截面的惯性矩和惯性积依定义易得：组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：nnnI y= I yIz= I yzi=1II yzziiii=1i=1常见截面几何性质的计算公式见书中表10-1。10-3平行移轴公式zc yzy = yc+ bz = zc+ aycdAzcycz= A zd A2CI yo( z+ a)2 d AyA=cab= A zcd A + 2a zd A + a d A22AcAdA = AAAz dA = S= 0 ,z 2dA = I,cyccycAI y= I ycIz= Izc+ a2 A+

5、 b2 A 平行移轴公式同理= I+ abAIyzyzcc注意： (1) 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。(2) 等号右边各首项为相对于形心轴的量。例10-3-1求图示截面对其形心轴yc、 zc的惯性矩。zc 500 120yc 580 250 125125czc 500 解：(1) 求形心位置将截面分为、两部分。取参考坐标系yozc 120yc 580 y = 0由对称知：z I+ AII AI+ AIIz = AIz IIy 250 125125500 120 (580 + 60) + 250 580 580= 2= 392mm500 120 + 250 580I zcIIozc

6、500 (2) 求惯性矩= I I+ I IIIycycyc 120= 500 1203+500 120 yc12 580 250 5803(580 - 392 + 60) +212+ 250 580 (392 - 580 )22y125 250 125= 932 107mm4= 120 5003580 2503= 2 10I+94mmz1212cI zcIIo10-4转轴公式主惯性矩一、转轴公式任意面元dA 在新、旧坐标系中的坐标之间的关系为：yy1z1 = z cosa + ysinay1 = y cosa - z sina代入惯性矩的定义式：zdAyza1zaoA= ( y cosa -

7、 z sin a )2dAIz=y2 d A1A1= cos2 a y2 d A + sin2 a z2 d AAA-2sina cosa A yz d A= Iz cosa + Isina - 2Isina cosa22yyz利用三角函数关系，上式化为= Iz+ I y- I y+ Izcos 2a - Isin 2a转轴公式Iz1yz22- I y= Iz+ I y- Izcos 2a + Isin 2aIy1yz22= Iz- I ysin 2a + Icos 2aIy1z1yz2二、主惯性轴主惯性矩由转轴公式可知，当坐标轴旋转时，惯性积Iy1z1 将随着a角连续变化，且有正有负。因此，必有一特 定的角度a0，使Iy1z1=0。主惯性轴主惯性矩Iy1z1=0的一对坐标轴。截面对于主惯性轴的惯性矩。形心主惯性轴形心主惯性矩通过图形形心的主惯性轴。截面对形心主轴的惯性矩。由Iy1z1=0，有Iz- I ysin 2acos 2a+ I= 00yz02得-2Itan 2a=yz0I- Izy由上式求出cos2a0、sin2a0的表达式，再代入转轴公式可得：最大值Imax+ Iy- IyIz