高中数学第一章函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值第2课时函数的最大（小）值课件.pptx

1、第2课时函数的最大(小)值,1.理解函数最大值和最小值的概念,明确定义中“任意”和“存在”表达的含义. 2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值. 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.,1,2,1.最大值和最小值,1,2,知识拓展1.定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x)=-x2(xR)的最大值为0,有f(0)=0. 2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. 3.最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中

2、至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.,1,2,【做一做1】 设函数f(x)=2x-1(0 x1),则f(x)() A.有最大值,无最小值 B.有最小值,无最大值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,也无最小值 解析:函数f(x)=2x-1在x0,1)上单调递增, f(x)在x=0时取得最小值,无最大值. 答案:B,1,2,函数的最值与单调性的关系 剖析:(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质. (2)若函数f(x)在a,b上是增(减)函数,则f(x)在a,b上的最小(大)值是

3、f(a),最大(小)值是f(b). (3)若函数f(x)在a,b上是增(减)函数,在b,c上是减(增)函数,则f(x)在a,c上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.,题型一,题型二,题型三,题型四,【例1】 已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域. 分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思图象法求函数y=f(x)的最值的步骤: (1)画出函数y=f(x)的图象; (2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)画出f(x)的图象;

4、(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值. 解:(1)函数f(x)的图象如图所示. (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.,题型一,题型二,题型三,题型四,(1)判断f(x)在1,2和2,3上的单调性; (2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值. 分析:(1)证明单调性的流程为:取值作差变形判断符号结论; (2)借助最值与单调性的关系,写出最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用函数的单调性求函数最值的步骤: (1)判断函数f(x)的单调性; (2)借助最值与单调性的关系写出最值.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,

5、题型三,题型四,【例3】 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,则售价应为多少元?最大利润是多少? 分析:设出售价及利润,建立利润与售价的函数关系式,具体如下:,题型一,题型二,题型三,题型四,解:设售价为x元,利润为y元, 则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个. y=(x-40)500-10(x-50) =-10(x-70)2+9 000, 当x=70时,ymax=9 000, 即售价为70元时,利润最大为9 000元. 反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数

6、关系式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练3】 如图所示,动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍,可供建造围墙的材料总长为30 m,问每间笼舍的宽度x(单位:m)为多少时,才能使得每间笼舍面积y(单位:m2)达到最大?每间最大面积为多少? 解:由题意知笼舍的宽为x m,则笼舍的总长为(30-3x)m,每间笼舍的面积为 当x=5时,y取得最大值37.5, 即每间笼舍的宽度为5 m时,每间笼舍面积y达到最大,最大面积为37.5 m2.,题型一,题型二

7、,题型三,题型四,易错点求最值时忽视单调性致错 【例4】 若函数f(x)=x2-6x+m在区间2,+)内的最小值是-3,则实数m的值为. 错解:f(x)在2,+)内单调递增, f(x)的最小值为f(2)=4-12+m=m-8, m-8=-3,m=5. 错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间2,+)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是x=3,开口向上,所以函数f(x)在2,3上单调递减,在3,+)内单调递增,故函数在x=3处取得最小值. 由f(3)=32-63+m=-3,解得m=6. 故实数m的值为6.