高等数学课件第2章微积分-极限与连续

1、微积分-极限与连续,1,第2章 极限与连续,微积分-极限与连续,2,一、数列概念,数列可看作自变量为正整数的函数(下标函数),2.1 数列的极限,2.特性:,1)有界性:,2)单调性:,1.定义:按正整数编号依次排列的一列数,称为无穷数列,简称数列,记为un.其中的每个数 称为数列的项, un称为通项(一般项).,称此数列单调增加,称此数列单调减少,微积分-极限与连续,3,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1.早期极限思想的体现,放映1,二、数列极限概念,当自变量n趋于无穷大时，数列yf (n)的变化趋势,(1)刘徽的割圆术:,极限：研究函数在自变量的某个

2、变化过程中，函数值无限趋近于某个常数的性质。,对于数列：,微积分-极限与连续,4,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,微积分-极限与连续,5,(2) 庄子的截丈问题:,第一天剩余u1,第二天剩余u2,第n天剩余un,0,但0,“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”,6,0,1,0,1,0,-1,1,2.直观定义：,数列un, 若当n无限增大时, un无限趋,近于常数a, 则称数列un以a为极限, 或称un收敛于a, 记：,发散,无限增大,例, 否则称 un发散.,7,播放,对于较简单的数列的极限, 可通过观察法求得，例:,0,2,0,1,0,微积分-极限与连续,8,问题:,“无限接近”

3、意味着什么?如何用数学语言刻划它.,微积分-极限与连续,9,3.“e N”定义：,例1,证,设有数列un, 若对任意 , 总,则称a是数列un的极限，或称un收敛于a，记作:,存在正整数N, 使得当nN时，恒有,成立, 否则称数列un发散。,则当nN时,10,注:,3.N一般与任意给定的正数e 有关,e 越小，N 越大。,例2,证,说明:常数列的极限等于同一常数.,1.e 具有二重性: 任意性和不变性。在取e 时, 对其大小不加限制，正由于这种任意性，才能用 刻划un与a任意接近。而在根据e 找 N 时它是不变的.,2. e 刻划un与a接近的程度, N刻划数列作为动点运动到什么时刻可使un与

4、a接近程度小于给定的e .若把数列看成函数, 则e 、N分别用来刻划因变量及自变量的变化过程.,4. N是不唯一的，用定义证明数列极限时, 关键是对任意 给定的e 0, 由 来寻找N, 但不必要求最小的N.,对于一切正整数n，,例3,证,(不妨设1), 则当nN时,例3可用放大手法:,注:1)“放大”是为方便解不等式。注意不能“放过头”, 上例 若将 放大为1，则1不可能小于任意给定的正数。,2)“放大”后找到的N通常比不放大解得(若易解)的要大,微积分-极限与连续,12,三、数列极限的几何意义,微积分-极限与连续,13,1.唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极

5、限唯一.,四、数列极限的性质,或:,即: a=b,14,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论(逆否命题) 无界数列必定发散.,定理 收敛的数列必定有界.,取1，则nN时un有界,则对一切正整数n, 皆有,2.有界性,微积分-极限与连续,15,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义, 几何意义;,收敛数列的性质:唯一性、有界性.,微积分-极限与连续,16,思考题：1.试判断下列论断是否正确,1)若n越大, |un-a|越接近于零, 则有,3)若对 存在正整数N, 当nN时, 数列un中有无穷多项满足不等式 , 则有,2)若 , 则n越大， 越接近于零,反例

6、：,n越大, 越接近于零, 但,反例：,反例：,或：,而,但 不存在,-1,微积分-极限与连续,17,4)若对 数列un中除了有限项外都满足不等式 , 则有,3.从几何直观层次思考：若数列为单调增加(减少)且有上界(下界)的数列，此数列的敛散性如何？,定义：从数列un中用任意一种方式选取无穷多项并按原来的相对次序排列，所得数列称为数列un的一个子列。,2.若数列un收敛，它的子列将会出现什么情况？,收敛于上(下)确界最小(大)的上(下)界.,收敛于同一个常数.,微积分-极限与连续,18,作业：,P33：2-3 (3)(4) 思考 2-4,一、x 时函数f (x)的极限,2.2 函数的极限,例f

7、 (x) 无限增大时， f (x)0,1.直观定义：,数列极限：自变量取自然数离散地趋于正无穷大;,一般的函数极限：自变量连续取值, 因而可能趋于正无穷、负无穷，或从左、右两侧趋于某一定点.,2.“e X”定义(P32):,d,x0时:,x X, x,x0时:,xX, x,例,0,0,不存在.,不存在.,不同情形,21,3.几何意义:,对无论多么小的正数 e , 总能找到正数X, 当x满足条件x X 或x X 时, 曲线yf (x)介于水平直线yAe和yAe之间。,水平渐近线：,(局部有界性),x X 或x X,微积分-极限与连续,22,例1 证明,证,则当 |x| X 时,例2 证明,证,二

8、、xx0时，函数f (x)的极限,例:f(x)x+2, x2时, f (x),x2时, f (x),4,4, x2时, f (x),x+2,1.直观定义：,函数f (x)在点x0的某空心邻域内有定义,若当x无限接近于x0,(但不等于x0)时,f (x)无限趋近,于常数A, 则称f (x)当x趋于x0时以A为极限, 记：,2.“e d ”定义(P33):,0|xx0|, | f (x)A|,d,24,注:1)e 刻划 f (x)与A的接近程度, d 刻划x与x0的接近程度。一般e 越小, d 越小。 d 是不唯一的。,2)用定义证明f (x)在x0点的极限时，关键是对任意给定的e 0，由| f

9、(x)A| e找到0|xx0| d中的d.,3)f (x)在x0的极限研究f (x)在x0附近的变化趋势,与x0点的定义无关，故有关问题讨论均假定xx0 .,例3 证明,证,只要0 |x-2| e , e,取de，则当 0 |x-2| d 时，有,微积分-极限与连续,25,例4 证明,任取d,取de,例5 证明: 当x00时,只要, e,取d,证,则当0|x-x0| d时,O,x0,x,？,3.几何意义:,任意给定正数e,无论它多小, 总存在x0的去心邻域0|x-xo| d,使得y=f(x)在该去 心邻域内的图 形介于两条平 行线y=A-e和y=A+e之间.,(局部有界性),0|xx0| d,

10、 |f (x)A| e,微积分-极限与连续,27,0|xx0| d, | f (x)A|e,0xx0 d , | f (x)A|e,d,d,0x0 x d , | f (x)A|e,d,或 x0x x0+ d,或 x0 d x x0,右极限,左极限,4.单侧极限,微积分-极限与连续,28,解：,1,1,微积分-极限与连续,29,例7,试讨论当x0及x1时，函数f(x)的极限是否存在。,前述七种形式的极限：,其本质都是研究在自变量的某个变化过程中, 函数值的变化趋势: f(x)A, 抓住这一本质, 将它们统一表示为：,三、变量的极限,变量的极限lim f(x) A 或 f(x) A,0|xx0|

11、时,X0,nN,正整数N,|x|X,X0,xX,X0,x X,d 0,0 x0 x 时,d 0,0 xx0时,d 0,微积分-极限与连续,31,作业：,P38：2-6 2-7 (2)(3) 思考：8 预习：2.4无穷小与无穷大,微积分-极限与连续,32,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,一、无穷大量,1.定义:,记作:,分析定义:,0|xx0|时,d 0,有| f(x)| M,M 0,|x| X 时,X 0,有| f(x)| M,M 0,2.3 无穷大量与无穷小量,f (x)在X上无界,比较:,微积分-极限与连续,33,3.单说变量是无穷大量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,注意,1

12、. 无穷大量是变量, 不能与很大的数混淆;,4. 无穷大量是无界变量, 但无界变量未必是无穷大量.,当n是无界变量, 但不是无穷大量.,例:,f(x)xsinx,当x是无界变量, 但不是无穷大量;,微积分-极限与连续,34,微积分-极限与连续,35,2. 正无穷大、负无穷大:,注： 正(负)无穷大不可笼统地写作无穷大;,例:,微积分-极限与连续,36,图示：,微积分-极限与连续,37,1.定义:,极限为零的变量称为无穷小(量). 记作:,二、无穷小量,分析定义:,0|xx0|时,d 0,X0,|x|X,微积分-极限与连续,38,例如,注意,1.无穷小量是变量, 不能与很小的数混淆;,2.零是可

13、以作为无穷小量的唯一的数；,3.单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。,ex当 时是无穷小量; lnx当 时是无穷小量.,x-,x 1,微积分-极限与连续,39,2. 变量极限与无穷小量的关系:,证,仅对xx0的情形证明。,|f(x)-A|e,0|x-x0|d 时,|(x)|e,0|x-x0|d 时,即|f (x)-A|e,定理,微积分-极限与连续,40,3. 无穷小的运算性质:,(1)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量.,证,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,e,当|x|X1时, 有| ,当|x|X2时, 有| .,微积分-极限与连续,41,(3)无穷小量与有界变量之

14、积仍为无穷小量.,证,(2) 有限个无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|xx0| d2时, |(x)| e.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,例如:,e,f (x)在x0的某空心邻域内有界, 即,微积分-极限与连续,42,(4)无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,证,设A0.,？,?,?,0,结论？,思考!,微积分-极限与连续,43,4. 无穷小量阶的比较,例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。商呢?,=0,=3,=1,无穷小量的商未必是无穷小量。,微积分-极限与连续,44,定义:,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的

15、无穷小量。,(后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算),微积分-极限与连续,45,定理 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义:关于无穷大的讨论, 都可归结为关于无穷小的讨论.,则,即,微积分-极限与连续,46,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,当 时是无穷大量;,当 时是无穷小量.,x 1,或 x 2,x,x,x +,练习:,无穷大:,ln(2x)为无穷小,(t)2x 1,无穷小:,ln(2x)为无穷大,(t)2x+,x 或 x 2,x 1,或(t)2x0,(画lnt的图形!),(画lnt的图形!)

16、,微积分-极限与连续,47,试说出下列极限的数学定义：,证明,M 0,证明：,只要x lnM,M ,则当xX 时,取X=lnM(不妨设M1),要e x,e x M,解答:,2.不能保证. 例,1. 未必例,不存在且不为无穷大,思考题:,1. 任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？,故当x0时,无穷小 与x不可以比较阶的高低,微积分-极限与连续,49,小 结,1. 主要内容:,三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.,2. 几点注意:,无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.,(1) 无穷小(大)量是变量,不能与很小(大)的数混淆, 零是唯一的无穷小的数；,(2) 无穷多个无穷小的代数和(乘积)未

17、必是无穷小;,(3) 无界变量未必是无穷大量.,3.无穷小量的比较:,反映了同一过程中, 两个无穷小量趋于零的速度快慢.,高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.,微积分-极限与连续,50,作业：,P52：2-14 思考：2-13、2-17 (下次课后做在书上),微积分-极限与连续,51,绝对值无限增大的变量称为无穷大(量).,分析定义:,0|xx0|时,d 0,有| f(x)| M,M 0,|x| X 时,X 0,有| f(x)| M,M 0,比较:,f (x)在X上无界,无穷大量与无穷小量,三个定义;两个定理;四个性质;一个推论.,定义1.,极限为零的变量称为无穷小(量).,定义2.

18、,微积分-极限与连续,52,(4) 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍为无穷小量.,(3) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,(2) 有限个无穷小的乘积是无穷小.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,(1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2.在同一过程中, 无穷大量的倒数为无穷小量;,定理1.,定义3.,恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.,2.4 极限的性质与运算法则,一、极限的性质,1(唯一性). 若limf(x)存在，则极限值唯一。,2(局部有界性). 若,存在，,则函数f (x)在x0的某空心邻域内有界.,3(保号性). 若,且A0,则在x0的某空心邻域内f (

19、x)0,(或A0)，,(或f (x)0).,4(保号性). 若在x0的某空心邻域内f (x)0,则A0,且,(或A0).,(或0),反证！,在x0的某空心邻域内f (x)0,A0,且,反例:,微积分-极限与连续,54,即,二、极限的四则运算法则,在极限存在的条件下，和、差、积、商(分母不为0)的极限等于极限的和、差、积、商.,注意法则条件,极限存在; 分母极限不为零.,微积分-极限与连续,55,证：由极限与无穷小量的关系，,再由极限与无穷小量的关系,法则(1)、 成立。,都,其中lim=lim=0,(2)、,(3),是无穷小量,微积分-极限与连续,56,推论:,故推论(3)中的n还可推广到分数

20、以至任何实数.,由直观得:,(1)法则可推广到有限个函数的和、差、积,(“函数极限”一节已证),微积分-极限与连续,57,三、极限不等式,若在x0的某空心邻域内f (x)g (x)，且,则AB,证：由f (x)g (x)得f (x)g (x)0，,由极限性质4(保号性),AB0,即AB,仅对xx0情形叙述、证明, 其它情形有类似结论.,注:与“保号性”类似, 即使条件改为“f (x)g (x)”,结论仍为“AB”,定理,微积分-极限与连续,58,例1,解,四、求极限举例,微积分-极限与连续,59,小结:,原式=,若Q(x0)=0, 则商的法则不能应用,微积分-极限与连续,60,解,例3,(消去

21、零因子法),微积分-极限与连续,61,例4,微积分-极限与连续,62,例5,解,变:,=0,微积分-极限与连续,63,小结:,微积分-极限与连续,64,例6,=1,例7,1,(-型),(-型),x1+:+(-),x1-:-+(+),微积分-极限与连续,65,例8,解,无穷多项之和, 不可用法则. 先变形再求极限.,66,例9,a3-b3 =,(a-b)(a2+ab+b2),(0型),微积分-极限与连续,67,例10 设,=1,解,=1,注意解题步骤,微积分-极限与连续,68,例11 无穷递缩等比数列求和公式推导,等比数列,前n项和,无穷递缩等比数列所有项之和,微积分-极限与连续,69,例12,

22、解,若 , 求a，b,微积分-极限与连续,70,小结已经学过的几种求极限的方法 在简单的情形可通过直观分析来求极限 利用左、右极限与极限的关系来求极限 利用无穷大量与无穷小量的关系求极限 利用无穷小量的性质来求极限 利用极限四则运算法则求极限(可能需要预先对函数式作适当的变形) 后面我们将进一步讨论较复杂极限的求解方法.,微积分-极限与连续,71,解答,没有极限,假设 有极限，,有极限，,由极限运算法则可知：,必有极限，,与已知矛盾，,故假设错误,思考题,在某个过程中，若 有极限， 无极限，那么 是否有极限？为什么？,微积分-极限与连续,72,作业：,P46：2-9 (3)(12)(14) 2

23、-10 P52：2-16 (1)(4)(5),微积分-极限与连续,73,1.唯一性,定理 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,四、数列极限的性质,微积分-极限与连续,74,几何解释:,2.5 极限存在准则与两个重要极限,一、极限存在准则,(1)单调递增有上界；,准则 单调有界数列必有极限.,注: 根据准则只能判断极限存在, 无法求出极限值.,(2)单调递减有下界.,微积分-极限与连续,75,证明,=,例1,微积分-极限与连续,76,又,微积分-极限与连续,77,例2,(1)证,(舍去),两边取极限得,并求极限值.,(2)解,微积分-极限与连续,78,准则夹逼准则 若

24、数列xn、yn及zn满足下列条件:,(1) N0，nN时, ynxnzn ;,则,注: 1)函数极限的夹逼准则 若f(x)、g(x)及h(x)满足:,2)利用夹逼准则求极限关键:,(1),(|x|X),(2),则,g(x)f (x)h(x) ;,(X0),时,构造yn与zn ，且其极限易求.,微积分-极限与连续,79,例3,解,由夹逼定理得,80,二、两个重要极限,1.,证,81,注: 1.,2.,(图!),3. ,微积分-极限与连续,82,例4,故有：,(a为非零常数!),x0时，sinxx tanx sinaxax tanax,微积分-极限与连续,83,等价无穷小替换,定理 (等价无穷小替

25、换定理),证,微积分-极限与连续,84,常用等价无穷小:,(待证),微积分-极限与连续,85,例5,解,例6,不能滥用等价无穷小代换.,对于代数和中的各无穷小不能分别替换.,注意,微积分-极限与连续,86,例7,错解,解,微积分-极限与连续,87,例8,解,例9,思考:例7可否拆成两个极限之差?,不可!拆开后为型,微积分-极限与连续,88,2.,数列情形已证, 可推广至x + 及x ,利用该重要极限解题时抓住特征：,微积分-极限与连续,89,例11,解,一般地：,例10,解,不要仿照教材解题步骤勿作变换!,= e k,=e2,=e1,2,1,微积分-极限与连续,90,例12,解 原式,例13,

26、2,=e2,解 原式,2a,=e2a,微积分-极限与连续,91,例14,例15,解,解,2,=e2,=e3,微积分-极限与连续,92,本金A0，年利率r，连续复利,本利和作为新本金, 重复计算利息), t年后本利和A?,1. 先不考虑连续复利，只每年末结息:,满一年本利和,满两年本利和,满t年本利和,2. 每年分n次记息, 年利率仍为r, 则每次结算利率,3. 最后，连续复利:,三、连续复利问题(重要极限2的一个经济应用),(利息随时记入本金,t年共结算nt次，故满t年本利和:,93,这种将利息计入本金重复计算复利的方法称为连续复利。类似于连续复利问题的数学模型在人口增长、林木增长、细菌繁殖、

27、物体冷却、放射性元素的衰变等许多实际问题中都会遇到，因此有很重要的实际意义。,例16 一机器原价值100000元，不断变旧，每年减少价值0.9，求其10年后的价值.,100000(1-0.9)10,未考虑连续复利, 不科学.,中学做法:,解 A0=100000, r =0.9%, t =10.故10年后机器价值,微积分-极限与连续,94,(补证),= 1,微积分-极限与连续,95,证明: 当,时,证:,微积分-极限与连续,96,小结,1.两个准则,2.两个重要极限,夹逼准则; 单调有界准则 .,3. 经济应用,连续复利, 年利率r, 本金A0, t年后本利和A=,微积分-极限与连续,97,解答

28、,思考题,求极限,= 910 = 9,微积分-极限与连续,98,作业：,P47：2-11 (4)(6)(10)(12) P53：2-18 (3)(6),99,故极限存在，,备用题,1.设, 且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,微积分-极限与连续,100,例,微积分-极限与连续,101,2.6 函数的连续性,一、变量的改变量(增量),函数y=f (x):,x0 x,(可正可负可为零),变量u：u0u1 ,u,u1u0,xxx0 即,xx0 x,yf (x) f (x0) ,f (x0 x)f (x0),x,y,102,二、连续函数概念,当x0时, 曲线y

29、f (x) 上的动点M(x, f(x)无限趋近于该曲线上的定点M0 (x0 , f(x0) ).,103,1. 函数f (x)在点x0处连续,定义1 函数f (x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称f (x)在点x0处连续, 并称x0为f (x)的连续点.,例1 证明函数y=sinx在(-,+)内任意一点处连续.,证 任取x0 (-,+)，则,即y=sinx在x0处连续.,故y=sinx在(-,+)内任意点连续.,同理可证：y=cosx在(-,+)内任意点连续.,ysin(x0 x)sin(x0),微积分-极限与连续,104,定义2 函数f (x)在点x0的某邻域内有定义，若,则称f (x)在

30、x0处连续, x0为f (x)的连续点.,例2 证明函数y=ax+b在(-,+)内任意一点处连续.,注：例1 不可用定义2证明.,例3,证,0 = f (0),函数f (x)在x=0处连续.,x =0左右两侧表达式相同，不必用左、右极限.,x0 xx0,y0 f (x)f (x0),定义3(e d 定义)略,105,3.左连续 与 右连续,2. 函数f (x)在(a,b)内连续:,f (x)在(a,b)内每一点连续,由前例,多项式函数,正弦、余弦函数在其定义域R内连续.,连续用极限定义, 极限有“左、右极限”概念, 故有:,定理,连续,左连续,右连续,左端点a处右连续，右端点b处左连续.,4.

31、 函数f (x)在a, b上连续:,f (x)在(a,b)内连续, 且在,几何意义：图形是一条连续不断的曲线。,分段函数在不同表达式的区间分界点处连续性的讨论.,106,例4 讨论函数 的连续性.,思路: 由于多项式函数在任意一点连续, 所以对此分段函数, 主要是讨论在区间分界点处的连续性。,解,函数f (x)在x=0处连续.,函数f (x)在x=1处不连续，但左连续.,f (x)在(-,0), (0,1), (1,+)内连续(都是多项式函数), f (x)的连续区间为(-, 1, (1,+).,求连续区间,微积分-极限与连续,107,三、函数的间断点,1.定义,若函数f(x)在点x0处不满足

32、连续的条件, 则称,(1)f (x0)不存在;,f (x)在点x0处不连续(间断), 并称x0为f (x)的间断点.即至少有下列情况之一出现：,第一类：左、右极限存在 相等：可去间断点 不相等：跳跃间断点 第二类：其它,2.间断点分类,微积分-极限与连续,108,第一类间断点图示 1 2 3,可 去 间 断 点,跳跃间断点,109,1).可去间断点,例5 讨论函数 在x = 1处的连续性,解,上例中,注：可去间断点只要改变或补充定义其函数值, 则可使其变为连续点.,x = 0为函数的可去间断点.,改变定义f (1)=2，,微积分-极限与连续,110,2).跳跃间断点,解,第一类间断点特点：,x

33、 = 0为函数的跳跃间断点.,函数f (x)在点x0处的左、右极限都存在.,函数 在x = 0,例6 讨论函数 在x = 0处的连续性.,没有定义，故间断。,0,x = 0为f(x)的可去间断点.,f (0)=0, 则f (x)在x=0连续(即例3).,补充定义,微积分-极限与连续,111,例7 讨论函数 在x = 0处的连续性.,解,3).第二类间断点,f (x)在x = 0没有定义，故间断。,x = 0为f(x)的第二类间断点.,这种情况称为振荡间断点.,微积分-极限与连续,112,例8 讨论函数 在x = 0处的连续性.,解,(左、右极限至少有一个为无穷大),x = 0为f(x)的第二类

34、间断点.,这种情况称为无穷间断点.,微积分-极限与连续,113,1.连续函数的四则运算,例如,四、连续函数的性质, sinx 、cosx在(,)内连续.,tanx 、cotx 、secx 、cscx在其定义域内连续.,微积分-极限与连续,114,意义:,1.对连续函数, 极限符号可以与函数符号互换;,例9,解,定理1,2. 复合函数的连续性,2.变量代换(u=(x)的理论依据 .,= 1,微积分-极限与连续,115,例10,解,同理可得,(证得),= 1,记忆：,微积分-极限与连续,116,定理2,例如,注意定理2是定理1的特殊情况.,严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,3. 反函数

35、的连续性,y=sin u 在(, )内连续.,1. 初等函数在其定义域内不一定连续;,例如,这些孤立点的邻域内没有定义.,注:,注: 2. 初等函数求极限的方法：代入法.,基本初等函数在其定义域内连续；,定理,4. 初等函数的连续性,注: 3. 讨论分段函数的连续性，可利用初等函数的连续性说明各段子区间内函数的连续性，再用连续的充要条件单独讨论分段点的连续性.,(见前例4 解题步骤与格式),初等函数在其定义区间内连续的.,微积分-极限与连续,118,例11,例12,解,解,微积分-极限与连续,119,五、闭区间上连续函数的性质,1. 最值定理：闭区间上的连续函数一定有最大、最小值。,推论(有界性定理)闭区间上的连续函数在该区间上有界.,微积分-极限与连续,120,例 y1sinx，,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成