离散系统稳定性分析

1、实验一离散系统稳定性分析实验学时：2实验类型：常规 实验要求：必作一、实验目的：（1）掌握利用MATLAB绘制系统零极点图的方法； （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法；（3）掌握用MATALB实现离散系统频率特性分析的方法；（4）掌握逆Z变换概念及MATLAB实现方法；（5）掌握用MATLAB分析离散系统稳定性。二、实验原理：1、离散系统零极点图及零极点分析；线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即 （8-1）其中为系统的输出序列，为输入序列。将式（8-1）两边进行Z变换的 （8-2）将式（8-2）因式分解后有： （8-3）其中为常数，为的个零点，为的个极点。系统函数的零极点分布完

2、全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：l 系统单位样值响应的时域特性；l 离散系统的稳定性；l 离散系统的频率特性；1.1、零极点图的绘制 设离散系统的系统函数为则系统的零极点可用MATLAB的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量则是包含多项式所有根的列向量。如多项式为，则求该多项式根的MATLAB命令为为：A=1 3/4 1/8;P=roots(A)运行结

3、果为：P = -0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按的升幂次序排列。这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。（1）按z的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 0 2 0、B=1 3 2 2 1。（2）按的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则的零点或极点就可能被漏掉。如其分子、分母多项式系数向量分别为A=1 2 0、B=1 1/2 1/4。用root

4、s()求得的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete systemp=roots(A); %求系统极点q=roots(B); %求系统零点p=p; %将极点列向量转置为行向量q=q; %将零点列向量转置为行向量x=max(abs(p q 1);%确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x;%确定横坐标范围clfhold onaxis(-x x

5、-y y)%确定坐标轴显示范围w=0:pi/300:2*pi;t=exp(i*w);plot(t)%画单位园axis(square)plot(-x x,0 0)%画横坐标轴plot(0 0,-y y)%画纵坐标轴text(0.1,x,jImz)text(y,1/10,Rez)plot(real(p),imag(p),x)%画极点plot(real(q),imag(q),o)%画零点title(pole-zero diagram for discrete system)%标注标题hold off1.2、离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性离散系统稳定的条件为：时域条件：离散系统

6、稳定的充要条件为，即系统单位样值响应绝对可和；Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数的所有极点均位于Z平面的单位圆内。对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。2、离散系统频率特性分析；2.1、离散系统的频率响应对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：则系统的稳态响应为：定义离散系统的频率响应为其中，称为离散系统的幅频特性； 称为离散系统的相频特性；是以为周期的周期函数，只要分析在

7、范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。2.2、用MATLAB实现离散系统的频率特性分析方法（1）直接法设某因果稳定系统的系统函数，则系统的频响特性为：MATLAB提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：l H,w=freqz(B,A,N) B和A分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N为正整数，返回量H则包含了离散系统频响在范围内N个频率等分点的值，向量w则包含范围内N个频率等分点。调用中若N默认，默认值为512。l H,w=freqz(B,A,N,whole)该调用格式将计算离散系统在范围内N个频率等分点的频率响应的值。因

8、此，可以先调用freqz()函数计算系统的频率响应，然后利用abs()和angle()函数及plot()函数，即可绘制出系统在或范围内的频响曲线。（2）几何矢量法利用几何矢量求解示意图如图8-4所示。有：则系统的幅频特性和相频特性分别为： （8-7） （8-8）根据式（8-7）和（8-8），利用MATLAB来求解频率响应的过程如下：l 根据系统函数定义分子、分母多项式系数向量和；l 调用前述的ljdt()函数求出的零极点，并绘出零极点图；l 定义Z平面单位圆上的个频率分点；l 求出所有的零点和极点到这些等分点的距离；l 求出所有的零点和极点到这些等分点矢量的相角；l 根据式（8-7）和（8-8

9、）求出系统的和；l 绘制指定范围内系统的幅频曲线和相频曲线；下面是实现上述过程的实用函数dplxy()。有四个参数：k为用户定义的频率等分点数目；B和A分别为系统函数分子、分母多项式系数向量；r为程序绘制的频率特性曲线的频率范围（）。function dplxy(k,r,A,B)%The function to draw the frequency response of discrete systemp=roots(A); %求极点q=roots(B);%求零点figure(1)ljdt(A,B)%画零极点图w=0:r*pi/k:r*pi;y=exp(i*w);%定义单位圆上的k个频率等分点

10、N=length(p);%求极点个数M=length(q);%求零点个数yp=ones(N,1)*y;%定义行数为极点个数的单位圆向量yq=ones(M,1)*y;%定义行数为零点个数的单位圆向量vp=yp-p*ones(1,k+1);%定义极点到单位圆上各点的向量vq=yq-q*ones(1,k+1);%定义零点到单位圆上各点的向量Ai=abs(vp);%求出极点到单位圆上各点的向量的模Bj=abs(vq);%求出零点到单位圆上各点的向量的模Ci=angle(vp);%求出极点到单位圆上各点的向量的相角Dj=angle(vq);%求出零点到单位圆上各点的向量的相角fai=sum(Dj,1)-

11、sum(Ci,1);%求系统相频响应H=prod(Bj,1)./prod(Ai,1);%求系统幅频响应figure(2)plot(w,H);%绘制幅频特性曲线title(离散系统幅频特性曲线)xlabel(角频率)ylabel(幅度)figure(3)plot(w,fai)title(离散系统的相频特性曲线)xlabel(角频率)ylabel(相位)三、实验方法和手段：集中授课，实验现场进行指导四、实验组织运行要求：集中组织，单人单机 五、实验条件: 计算机、MATLAB软件六、实验步骤：1、打开计算机，双击桌面MATLAB软件图标，进入MATLAB工作环境；2、在命令窗口（Command W

12、indow）输入程序，按回车键执行。3、按实验内容逐一编成，将运行结果存入 WORD文档。七、实验内容：1、离散系统零极点图及零极点分析；例1：绘制如下系统函数的零极点（1）（2）解：MATLAB命令如下（1） A=1 -3 7 -5;B=3 -5 10 0;ljdt(A,B)运行结果：（2） A=1 3/4 1/8;B=1 -0.5 0;ljdt(A,B)2、离散系统频率特性分析；例2：绘制如下系统的频响曲线解：MATLAB命令如下： B=1 -0.5; A =1 0; H,w=freqz(B,A,400,whole); Hf=abs(H); Hx=angle(H); clf figure(1) plot(w,Hf)title(离散系统幅频特性曲线) figure(2) plot(w,Hx) title(离散系统相频特性曲线)运行结果：例3：已知某离散系统的系统函数为：绘出该系统的零极点图及频响特性。解：MATLAB命令如下：A=1 -1/4;B=5/4 -5/4;dplxy(500,2,A,B)运行结果：3、离散系统稳定性分析：根据实验原理和上述举