第3章 力矩与平面力偶系

1、建筑力学（4）主讲单位：力学教研室杨旭1第3章力矩与平面力偶系3-1关于力矩的概念及其计算3-2关于力偶的概念3-3平面力偶系的合成与平衡23-1关于力矩的概念及其计算物理学中已经阐明，力对点之矩是力使物体绕某一点转动效应的量度。这一点称为力矩中心，简称矩心。一、平面问题中力对点之矩转动效果与三个因素有关：（1） 力 F的大小;（2） 转动中心 O到力F 作用线的距离d;（3） 力 F使扳手转动的方向。力对点的矩:力对点的矩是力使物体绕点转动效果的度量,它是一个代数量,其绝对值等于力的大小与力臂之积。正负规定:力使物体绕矩心逆时针转动时取正号,反之取负号。= Fd力矩的单位：Nm ，kNmMO

2、 (F )符号表示:33-1关于力矩的概念及其计算MO（F）=Fd= 2ADOAB（面积）例3-1求图示结构中力F 对A点的矩，rF已知 F=100N。30C解： 力臂EAB d = AD = AE sin 30o90ocos30o5m= (5m -1m = 1.634m) sin 30osin30 oDMA (F) = -Fd = -1001.634 = -163.4N.m顺时针转动41m3-1关于力矩的概念及其计算注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此可以用代数量表示。力矩的性质： (1) 力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；FFF1

3、.OOOdF2(2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；(3) 互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。53-1关于力矩的概念及其计算二、合力矩定理如果平面力系（F1、F2、 Fn）可以合成为一个合力FR，即F= F + F+L+ FR12n+ MO (Fn ) = MO (F )则： MO (FR )MO (F1) + MO (F2 ) +合力矩定理平面力系的合力对平面内任一点之矩等于所有分力对同一点之矩的代数和。63-1关于力矩的概念及其计算MO (FR ) = MO (F)二、合力矩定理y证明：由图得MO (F

4、 ) = F d = F r sin(a -q )= F r (sina cosqFyFaxAFxxry-sinq cosa )= F r sina cosq-F r sinq cosaF cosa = Fx, F sinqOda-q而a = Fyr cosq = x , r sinq = y则M(F ) = x F- y F(a)Oyx73-1关于力矩的概念及其计算MO (FR ) = MO (F)二、合力矩定理证明： MO (F ) = x Fy - y Fx(a)若作用在 A点上的是一个汇交力系（F1 、F2则利用上式可将每个力对O点之矩相加，有MO (F) = x Fy - y Fx、

5、 Fn）,(b)由式(a)，该汇交力系的合力FR=F，它对矩心O 的矩为MO (FR ) = x FR y - y FR x = x Fy - y Fx(c)MO (FR ) = MO (F)比较(b)、(c)两式有83-1关于力矩的概念及其计算二、合力矩定理例3-2（Fcosa）j已知: F , l1,求: MO(F)l2 ,.（Fsina）i解:MO (F) = F dd=?MO (F) = MO (F cos) +MO(F sin)93-1关于力矩的概念及其计算二、合力矩定理求图示结构中力P对A点的矩，已知 P=100N。例3-3PPyC解：P =Psin30=50Ny30PxPx=Pc

6、os30 =86.6NAB 据合力矩定理得：5mMA（P）= MA（Py）+ MA（Px）=505+86.6 1= 163.4Nm101m3-2关于力偶的概念一、力偶和力偶矩力偶实例FF113-2关于力偶的概念1.力偶 (F ,F )FB定义：由大小相等，方向相反而不共线的两个平行力组成的力系。dAFF=F 力偶所在的平面为力偶作用面，力偶两力之间的垂直距离 d 称为力偶臂。2.力偶的性质（1） 力偶在任何坐标轴上的投影等于零。（2） 力偶没有合力。力偶不能与一个力等效，也不能用一个力来平衡。 力偶只能与力偶等效,也只能与力偶平衡。（3） 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只

7、能改变物体的转动状态。123-2关于力偶的概念3.力偶矩力偶矩:力偶使物体转动效果的度量,它是一个代数量,其绝对值等于力偶中力的大小与力偶臂之积。正负规定:逆时针转向取正,反之取负号。= FdM符号表示:单位：牛顿.米力偶的表示：133-2关于力偶的概念思考：力偶对点之矩与点的位置有关系吗?MO (F ) + MO (F )= -F x - F (d - x)= -F dFdOFx力偶对刚体的转动效应是用力偶矩度量，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。M (F, F) = F d或 M = F d力偶三要素:(1) 力的大小;(2) 力偶臂的大小;(3) 力偶的转向。力与力

8、偶分别是力学中的两个基本参量！143-2关于力偶的概念二、同一平面内力偶的等效定理定理：在同一平面内（或两平行平面内）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。F1例如：双手操作方向盘。FF F1153-2关于力偶的概念二、同一平面内力偶的等效定理证明：设有一力偶 (F,F ),如图所示 。 运用加减平衡力系的公理并注意到：(F , F ) (F , F , F1, F1) (FR , FR ) (F , F ) (FR , FR )M (F , F )= 2SABD ,M (FR , FR )= 2SABCSABD= SABCM (F , F ) = M (FR ,

9、 FR ) M (FR , FR ) = M (FR1, FR1 ) M (F , F ) = M (FR1, FR1 )163-2关于力偶的概念注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。关于力偶性质的推论推论1:力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变;推论2:在保持力偶矩不变的情况下,可以随意地同时改变力偶中力的大小以及力偶臂的长短,而不会影响力偶对刚体的作用效果。MMCABABF2F2F1其中 F1d1=F2d217Ad1F1BAd2B3-3平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成平面力偶系:作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。平面力偶系合成的结果仍然是一个力偶！该合力

10、偶的力偶矩等于力偶系中所有力偶矩的代数和。即nM = Mii=1例3-4 已知 M1 = 10N.m , M2 = 20N.m , M3 = 15N.m 。求:合力偶矩M 。M3MM1M2解：M = Mi = 10 20 15 = 25N.m(顺时针转动）18第四节平面力偶系的合成与平衡条件二、平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件是 力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即Mi= 0应用平面力偶系的平衡方程可求 1 个未知量！长为 l=4 m的简支梁的两端A、B 处作用有两个力偶，大小=16 Nm ，M2 = 4 Nm ，转向如图。试求A、B支座的约束力。例3-5各为M1M1

11、M1M2FAAM2解：ABB 60FBd604mMi= 0, -M1 + M2 + l cos 60 FB = 0得：1(16N.m - 4N.m) = 6NF= F=AB4m 0.519第四节平面力偶系的合成与平衡条件二、平面力偶系的平衡条件例3-6三铰刚架如图所示,求在力偶矩为M 的力偶作用下,支座A 和B 的反力。FA解：BC 杆是二力构件！M = 0, -M += 02aFAFBMF= F=得：AB2a20第四节平面力偶系的合成与平衡条件例3-7已知:结构受力如图所示, 图中M, r 均为已知,且 l=2r。试画出 AB 和 BDC 杆的受力图受力分析:1. AB杆为二力杆;2. BD

12、C 杆的 A、B二处分别受有一个方向虽然未知、但可以判断出的力。21第四节平面力偶系的合成与平衡条件思考题 3- 1如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1)和(F2,F2)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？F1F1F2F2F2F2F1F1答：不平衡！合力偶不为零。22第四节平面力偶系的合成与平衡条件思考题 3- 2一力偶(F1,F1)作用在Oxy平面内,另一力偶(F2，F2)作用在Oyz平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？zF2答：不等效！F2Oy不在同一平面。F1F1x23第四节平面力偶系的合成与平衡条件思考题 3- 3图示圆盘由O点处的轴承支持，在力偶M 和力F 的作用下处于平衡。能不能说力偶被力F 所平衡？为什么？答：不能！MO思考题 3- 4F力矩和力偶有什么联系？又有什么区别？24第四节平面力偶系的合成与平衡条件思考题 3- 5两轮半径同为 r ，一轮在轮缘上受一大小为F 的力作用，另一轮在轮缘上受两个方向相反、大小都是F/2 的力作用，各轮上的力对轮心的矩是否相同？F/2rrO1O1F/2F(a)(b)答：相同！25第四节平面力偶系的合成与平衡条件思考题 3- 6图